La notación posicional (o notación de valor posicional , o sistema numérico posicional ) generalmente denota la extensión a cualquier base del sistema numérico hindú-árabe (o sistema decimal ). De manera más general, un sistema posicional es un sistema numérico en el que la contribución de un dígito al valor de un número es el valor del dígito multiplicado por un factor determinado por la posición del dígito. En los primeros sistemas de numeración , como los números romanos , un dígito tenía un solo valor: I significa uno, X significa diez y C cien (sin embargo, el valor puede negarse si se coloca antes de otro dígito). En los sistemas posicionales modernos, como el sistema decimal , la posición del dígito significa que su valor debe multiplicarse por algún valor: en 555, los tres símbolos idénticos representan cinco centenas, cinco decenas y cinco unidades, respectivamente, debido a su diferentes posiciones en la cadena de dígitos.
El sistema de numeración babilónico , base 60, fue el primer sistema posicional que se desarrolló, y su influencia está presente hoy en la forma en que se cuentan el tiempo y los ángulos en las cuentas relacionadas con 60, como 60 minutos en una hora y 360 grados en un círculo. . Hoy en día, el sistema de numeración hindú-árabe ( base diez ) es el sistema más utilizado a nivel mundial. Sin embargo, el sistema de numeración binaria (base dos) se utiliza en casi todas las computadoras y dispositivos electrónicos porque es más fácil de implementar de manera eficiente en los circuitos electrónicos .
Se han descrito sistemas con base negativa, base compleja o dígitos negativos. La mayoría de ellos no requieren un signo menos para designar números negativos.
El uso de un punto de base (punto decimal en base diez), se extiende para incluir fracciones y permite representar cualquier número real con precisión arbitraria. Con la notación posicional, los cálculos aritméticos son mucho más sencillos que con cualquier sistema numérico antiguo; esto llevó a la rápida difusión de la notación cuando se introdujo en Europa occidental.
Hoy en día, el sistema de base 10 ( decimal ), que presumiblemente está motivado por contar con diez dedos , es omnipresente. En el pasado se han utilizado otras bases y algunas se siguen utilizando en la actualidad. Por ejemplo, el sistema de numeración babilónico , acreditado como el primer sistema de numeración posicional, tenía base 60 . Sin embargo, le faltaba un cero real . Inicialmente se dedujo sólo del contexto, pero más tarde, alrededor del año 700 a. C., el cero pasó a indicarse mediante un "espacio" o un "símbolo de puntuación" (como dos cuñas inclinadas) entre los números. [1] Era un marcador de posición en lugar de un cero verdadero porque no se usaba solo o al final de un número. Números como 2 y 120 (2×60) parecían iguales porque el número mayor carecía de un marcador de posición final. Sólo el contexto podría diferenciarlos.
El erudito Arquímedes (ca. 287-212 a. C.) inventó un sistema posicional decimal en su Sand Reckoner que se basó en 10 8 [2] y más tarde llevó al matemático alemán Carl Friedrich Gauss a lamentar las alturas que la ciencia ya habría alcanzado en sus días. si Arquímedes hubiera realizado plenamente el potencial de su ingenioso descubrimiento. [3]
Antes de que la notación posicional se convirtiera en estándar, se usaban sistemas aditivos simples ( notación de valor de signo ), como los números romanos , y los contadores de la antigua Roma y durante la Edad Media usaban el ábaco o contadores de piedra para hacer aritmética. [4]
Se han utilizado varillas para contar y la mayoría de los ábacos para representar números en un sistema de numeración posicional. Con varillas contadoras o ábacos para realizar operaciones aritméticas, la escritura de los valores inicial, intermedio y final de un cálculo podría realizarse fácilmente con un sencillo sistema aditivo en cada posición o columna. Este enfoque no requería memorización de tablas (al igual que la notación posicional) y podía producir resultados prácticos rápidamente.
El sistema de notación posicional más antiguo que existe es el de los números de barra chinos , utilizados al menos desde principios del siglo VIII, o quizás los números jemeres , que muestran posibles usos de los números posicionales en el siglo VII. Los números jemeres y otros números indios se originan con los números brahmi de aproximadamente el siglo III a. C., cuyos símbolos, en ese momento, no se usaban posicionalmente. Los números indios medievales son posicionales, al igual que los números arábigos derivados , registrados desde el siglo X.
Después de la Revolución Francesa (1789-1799), el nuevo gobierno francés impulsó la extensión del sistema decimal. [5] Algunos de esos esfuerzos pro-decimal, como el tiempo decimal y el calendario decimal , no tuvieron éxito. Otros esfuerzos franceses a favor del decimal ( la decimalización de la moneda y la métrica de pesos y medidas) se extendieron ampliamente desde Francia a casi todo el mundo.
J. Lennart Berggren señala que las fracciones decimales posicionales fueron utilizadas por primera vez por el matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ya en el siglo X. [6] El matemático judío Immanuel Bonfils utilizó fracciones decimales alrededor de 1350, pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. [7] El matemático persa Jamshīd al-Kāshī hizo el mismo descubrimiento de las fracciones decimales en el siglo XV. [6] Al Khwarizmi introdujo fracciones en los países islámicos a principios del siglo IX; su presentación de fracciones era similar a las fracciones matemáticas tradicionales chinas de Sunzi Suanjing . [8] Esta forma de fracción con numerador arriba y denominador abajo sin barra horizontal también fue utilizada por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi del siglo X y por la obra "Clave aritmética" de Jamshīd al-Kāshī del siglo XV. [8] [9]
La adopción de la representación decimal de los números menores que uno, una fracción , suele atribuirse a Simon Stevin a través de su libro de texto De Thiende ; [10] pero tanto Stevin como EJ Dijksterhuis indican que Regiomontanus contribuyó a la adopción europea de decimales generales : [11]
En opinión de Dijksterhuis, "después de la publicación de De Thiende sólo fue necesario un pequeño avance para establecer el sistema completo de fracciones posicionales decimales, y este paso fue dado rápidamente por varios escritores... junto a Stevin, la figura más importante En este desarrollo estuvo Regiomontanus." Dijksterhuis señaló que [Stevin] "da todo el crédito a Regiomontanus por su contribución anterior, diciendo que las tablas trigonométricas del astrónomo alemán en realidad contienen toda la teoría de los 'números del décimo progreso'". [11] : 19
En los sistemas de numeración matemáticos, la base r suele ser el número de dígitos únicos , incluido el cero, que un sistema de numeración posicional utiliza para representar números. En algunos casos, como con una base negativa , la base es el valor absoluto de la base b . Por ejemplo, para el sistema decimal la base (y la base) es diez, porque utiliza los diez dígitos del 0 al 9. Cuando un número "llega" al 9, el siguiente número no será otro símbolo diferente, sino un "1". seguido de un "0". En binario, la base es dos, ya que después de llegar a "1", en lugar de "2" u otro símbolo escrito, salta directamente a "10", seguido de "11" y "100".
El símbolo más alto de un sistema de numeración posicional generalmente tiene el valor uno menos que el valor de la base de ese sistema de numeración. Los sistemas de numeración posicional estándar se diferencian entre sí sólo en la base que utilizan.
La base es un número entero mayor que 1, ya que una base de cero no tendría ningún dígito y una base de 1 solo tendría el dígito cero. Rara vez se utilizan bases negativas. En un sistema con más de dígitos únicos, los números pueden tener muchas representaciones posibles diferentes.
Es importante que la base sea finita, de lo que se deduce que el número de dígitos es bastante bajo. De lo contrario, la longitud de un número no sería necesariamente logarítmica en su tamaño.
(En ciertos sistemas de numeración posicional no estándar , incluida la numeración biyectiva , la definición de la base o los dígitos permitidos se desvía de lo anterior).
En la notación posicional estándar de base diez ( decimal ), hay diez dígitos decimales y el número
En base dieciséis estándar ( hexadecimal ), están los dieciséis dígitos hexadecimales (0–9 y A–F) y el número
donde B representa el número once como símbolo único.
En general, en base b , hay b dígitos y el número
tiene Nota que representa una secuencia de dígitos, no una multiplicación .
Al describir la base en notación matemática , la letra b se usa generalmente como símbolo de este concepto, por lo que, para un sistema binario , b es igual a 2. Otra forma común de expresar la base es escribirla como un subíndice decimal después del número que se siendo representado (esta notación se utiliza en este artículo). 1111011 2 implica que el número 1111011 es un número de base 2, igual a 123 10 (una representación de notación decimal ), 173 8 ( octal ) y 7B 16 ( hexadecimal ). En libros y artículos, cuando se utilizan inicialmente las abreviaturas escritas de las bases numéricas, la base no se imprime posteriormente: se supone que el binario 1111011 es lo mismo que 1111011 2 .
La base b también puede indicarse mediante la frase "base- b ". Entonces los números binarios son "base-2"; los números octales son "base 8"; los números decimales son "base-10"; etcétera.
Para una base b dada , el conjunto de dígitos {0, 1, ..., b −2, b −1} se denomina conjunto estándar de dígitos. Así, los números binarios tienen dígitos {0, 1}; los números decimales tienen dígitos {0, 1, 2, ..., 8, 9}; etcétera. Por lo tanto, los siguientes son errores de notación: 52 2 , 2 2 , 1A 9 . (En todos los casos, uno o más dígitos no están en el conjunto de dígitos permitidos para la base dada).
Los sistemas de numeración posicional funcionan utilizando la exponenciación de la base. El valor de un dígito es el dígito multiplicado por el valor de su lugar. Los valores posicionales son el número de la base elevado a la enésima potencia, donde n es el número de otros dígitos entre un dígito dado y el punto de la base . Si un dígito dado está en el lado izquierdo del punto de la base (es decir, su valor es un número entero ), entonces n es positivo o cero; si el dígito está en el lado derecho del punto de la base (es decir, su valor es fraccionario), entonces n es negativo.
Como ejemplo de uso, el número 465 en su respectiva base b (que debe ser al menos base 7 porque el dígito más alto en él es 6) es igual a:
Si el número 465 estuviera en base 10, entonces sería igual a:
(465 10 = 465 10 )
Sin embargo, si el número estuviera en base 7, entonces sería igual a:
(465 7 = 243 10 )
10 b = b para cualquier base b , ya que 10 b = 1× b 1 + 0× b 0 . Por ejemplo, 10 2 = 2; 10 3 = 3; 10 16 = 16 10 . Tenga en cuenta que se indica que el último "16" está en base 10. La base no hace ninguna diferencia para los números de un dígito.
Este concepto se puede demostrar mediante un diagrama. Un objeto representa una unidad. Cuando el número de objetos es igual o mayor que la base b , entonces se crea un grupo de objetos con b objetos. Cuando el número de estos grupos excede b , entonces se crea un grupo de estos grupos de objetos con b grupos de b objetos; etcétera. Así, el mismo número en diferentes bases tendrá diferentes valores:
241 en base 5: 2 grupos de 5 2 (25) 4 grupos de 5 1 grupo de 1 ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo + + o ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo
241 en base 8: 2 grupos de 8 2 (64) 4 grupos de 8 1 grupo de 1 ooooooo ooooooooo ooooooo ooooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooooo ooooooo ooooooo + + o ooooooo ooooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooooo ooooooo ooooooooo ooooooo ooooooooo
La notación se puede aumentar aún más permitiendo un signo menos al principio. Esto permite la representación de números negativos. Para una base dada, cada representación corresponde exactamente a un número real y cada número real tiene al menos una representación. Las representaciones de números racionales son aquellas representaciones que son finitas, usan la notación de barras o terminan con un ciclo de dígitos que se repite infinitamente.
Un dígito es un símbolo que se utiliza para la notación posicional y un número consta de uno o más dígitos que se utilizan para representar un número con notación posicional. Los dígitos más comunes en la actualidad son los dígitos decimales "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" y "9". La distinción entre un dígito y un número es más pronunciada en el contexto de una base numérica.
Un número distinto de cero con más de una posición de dígito significará un número diferente en una base numérica diferente, pero en general, los dígitos significarán lo mismo. [12] Por ejemplo, el número de base 8 23 8 contiene dos dígitos, "2" y "3", y con un número de base (subíndice) "8". Cuando se convierte a base 10, 23 8 es equivalente a 19 10 , es decir, 23 8 = 19 10 . En nuestra notación aquí, el subíndice " 8 " del número 23 8 es parte del número, pero puede que no siempre sea así.
Imagine que el número "23" tiene un número base ambiguo. Entonces "23" probablemente podría ser cualquier base, desde la base 4 hacia arriba. En base 4, el "23" significa 11 10 , es decir, 23 4 = 11 10 . En base 60, el "23" significa el número 123 10 , es decir, 23 60 = 123 10 . El numeral "23" entonces, en este caso, corresponde al conjunto de números en base 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ... , 121, 123} mientras que sus dígitos "2" y El "3" siempre conserva su significado original: el "2" significa "dos de" y el "3" significa "tres de".
En determinadas aplicaciones, cuando un número con un número fijo de posiciones necesita representar un número mayor, se puede utilizar una base numérica más alta con más dígitos por posición. Un número decimal de tres dígitos sólo puede representar hasta 999 . Pero si la base numérica se aumenta a 11, digamos, añadiendo el dígito "A", entonces las mismas tres posiciones, maximizadas a "AAA", pueden representar un número tan grande como 1330 . Podríamos aumentar la base numérica nuevamente y asignar "B" a 11, y así sucesivamente (pero también existe una posible encriptación entre número y dígito en la jerarquía número-dígito-número). Un número de tres dígitos "ZZZ" en base 60 podría significar215 999 . Si utilizamos toda la colección de nuestros caracteres alfanuméricos , en última instancia podríamos servir un sistema numérico de base 62 , pero eliminamos dos dígitos, "I" mayúscula y "O" mayúscula, para reducir la confusión con los dígitos "1" y "0". [13] Nos quedamos con un sistema numérico de base 60, o sexagesimal, que utiliza 60 de los 62 caracteres alfanuméricos estándar. (Pero consulte el sistema sexagesimal a continuación). En general, el número de valores posibles que se pueden representar mediante unnúmero de dígitos en basees.
Los sistemas numéricos comunes en informática son el binario (base 2), el octal (base 8) y el hexadecimal (base 16). En binario, sólo los dígitos "0" y "1" están en los números. En los números octales , están los ocho dígitos del 0 al 7. Hex es 0–9 A–F, donde los diez números conservan su significado habitual y los alfabéticos corresponden a los valores 10–15, para un total de dieciséis dígitos. El número "10" es el número binario "2", el número octal "8" o el número hexadecimal "16".
La notación se puede extender a los exponentes negativos de la base b . Por lo tanto, el llamado punto de base, generalmente ».«, se utiliza como separador de las posiciones con exponente no negativo de aquellas con exponente negativo.
Los números que no son enteros usan lugares más allá del punto de base . Para cada posición detrás de este punto (y por tanto después del dígito de las unidades), el exponente n de la potencia b n disminuye en 1 y la potencia se acerca a 0. Por ejemplo, el número 2,35 es igual a:
Si la base y todos los dígitos del conjunto de dígitos no son negativos, no se pueden expresar números negativos. Para superar esto, se agrega un signo menos , aquí »-«, al sistema numérico. En la notación habitual, se antepone a la cadena de dígitos que representan el número que de otro modo no sería negativo.
La conversión a base de un número entero n representado en base se puede realizar mediante una sucesión de divisiones euclidianas ; el dígito más a la derecha en base es el resto de la división de n ; el segundo dígito más a la derecha es el resto de la división. del cociente por y así sucesivamente. El dígito más a la izquierda es el último cociente. En general, el késimo dígito de la derecha es el resto de la división por del ( k −1) ésimo cociente.
Por ejemplo: convertir A10B hexadecimal a decimal (41227):
0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (lugar de las unidades)0x101A/10 = 0x19C R: 2 (decenas) 0x19C/10 = 0x29 R: 2 (centenas) 0x29/10 = 0x4 R: 1... 4
Al convertir a una base más grande (como de binario a decimal), el resto se representa como un solo dígito, usando dígitos de . Por ejemplo: convertir 0b11111001 (binario) a 249 (decimal):
0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" para el lugar de uno) 0b11000/10 = 0b10 R: 0b100 (0b100 = "4" para decenas) 0b10/10 = 0b0 R: 0b10 (0b10 = "2" para centenas)
Para la parte fraccionaria , la conversión se puede realizar tomando dígitos después del punto de la base (el numerador) y dividiéndolos por el denominador implícito en la base objetivo. Es posible que se necesite una aproximación debido a la posibilidad de que haya dígitos no terminales si el denominador de la fracción reducida tiene un factor primo distinto de cualquiera de los factores primos de la base al que convertir. Por ejemplo, 0.1 en decimal (1/10) es 0b1/0b1010 en binario, al dividir esto en esa base, el resultado es 0b0.0 0011 (porque uno de los factores primos de 10 es 5). Para fracciones y bases más generales consulte el algoritmo para bases positivas .
En la práctica, el método de Horner es más eficiente que la división repetida requerida anteriormente [14] [ se necesita mejor fuente ] . Un número en notación posicional puede considerarse como un polinomio, donde cada dígito es un coeficiente. Los coeficientes pueden ser mayores que un dígito, por lo que una forma eficiente de convertir bases es convertir cada dígito y luego evaluar el polinomio mediante el método de Horner dentro de la base objetivo. La conversión de cada dígito es una tabla de búsqueda simple , lo que elimina la necesidad de costosas operaciones de división o módulo; y la multiplicación por x se desplaza hacia la derecha. Sin embargo, otros algoritmos de evaluación polinomial también funcionarían, como la elevación al cuadrado repetida para dígitos únicos o dispersos. Ejemplo:
Convertir 0xA10B a 41227 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0) Tabla de búsqueda: 0x0 = 0 0x1 = 1 ... 0x9 = 9 0xA = 10 0xB = 11 0xC = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 Por lo tanto, los dígitos decimales de 0xA10B son 10, 1, 0 y 11. Distribuya los dígitos así. El dígito más significativo (10) se "elimina": 10 1 0 11 <- Dígitos de 0xA10B --------------- 10 Luego multiplicamos el número inferior de la base fuente (16), el producto se coloca debajo del siguiente dígito del valor fuente y luego sumamos: 10 1 0 11 160 --------------- 10 161 Repita hasta realizar la adición final: 10 1 0 11 160 2576 41216 --------------- 10 161 2576 41227 y eso es 41227 en decimal.
Convertir 0b11111001 a 249 Tabla de búsqueda: 0b0 = 0 0b1 = 1Resultado: 1 1 1 1 1 0 0 1 <- Dígitos de 0b11111001 2 6 14 30 62 124 248 ------------------------- 1 3 7 15 31 62 124 249
Los números que tienen una representación finita forman el semianillo.
Más explícitamente, si es una factorización de en números primos con exponentes , [15] entonces con el conjunto de denominadores no vacíos tenemos
donde está el grupo generado por y es la llamada localización de con respecto a .
El denominador de un elemento de contiene, si se reduce a sus términos más bajos, solo factores primos de . Este anillo de todas las fracciones que terminan en la base es denso en el campo de los números racionales . Su finalización para la métrica habitual (de Arquímedes) es la misma que para , es decir, los números reales . Entonces, si entonces no debe confundirse con , el anillo de valoración discreto para el primo , que es igual a .
Si se divide , tenemos
La representación de números no enteros se puede ampliar para permitir una cadena infinita de dígitos más allá del punto. Por ejemplo, 1.12112111211112... base-3 representa la suma de la serie infinita :
Dado que no se puede escribir explícitamente una cadena infinita completa de dígitos, los puntos suspensivos finales (...) designan los dígitos omitidos, que pueden seguir o no un patrón de algún tipo. Un patrón común es cuando una secuencia finita de dígitos se repite infinitamente. Esto se designa trazando un vínculo a través del bloque repetido:
Se trata de la notación decimal periódica (para la cual no existe una única notación o fraseología universalmente aceptada). Para la base 10 se le llama decimal periódico o decimal periódico.
Un número irracional tiene una representación infinita y no repetida en todas las bases enteras. Si un número racional tiene una representación finita o requiere una representación repetida infinita depende de la base. Por ejemplo, un tercio puede estar representado por:
Para números enteros p y q con mcd ( p , q ) = 1, la fracción p / q tiene una representación finita en base b si y solo si cada factor primo de q es también un factor primo de b .
Para una base determinada, cualquier número que pueda representarse mediante un número finito de dígitos (sin utilizar la notación de barras) tendrá múltiples representaciones, incluidas una o dos representaciones infinitas:
Un número irracional (real) tiene una representación infinita y no repetida en todas las bases enteras.
Algunos ejemplos son las raíces n -ésimas no solubles
con y y ∉ Q , números que se llaman algebraicos , o números como
que son trascendentales . El número de trascendentales es incontable y la única manera de escribirlos con un número finito de símbolos es dándoles un símbolo o una secuencia finita de símbolos.
En el sistema de numeración hindú-árabe decimal (base 10) , cada posición que comienza desde la derecha es una potencia superior de 10. La primera posición representa 10 (1), la segunda posición 10 1 (10), la tercera posición 10 2 ( 10 × 10 o 100), la cuarta posición 10 3 ( 10 × 10 × 10 o 1000), y así sucesivamente.
Los valores fraccionarios se indican mediante un separador , que puede variar en diferentes ubicaciones. Generalmente este separador es un punto o punto , o una coma . Los dígitos a la derecha se multiplican por 10 elevados a una potencia o exponente negativo. La primera posición a la derecha del separador indica 10 −1 (0,1), la segunda posición 10 −2 (0,01), y así sucesivamente para cada posición sucesiva.
Como ejemplo, el número 2674 en un sistema numérico de base 10 es:
o
El sistema sexagesimal o de base 60 fue usado para las porciones integrales y fraccionarias de los números babilónicos y otros sistemas mesopotámicos, por los astrónomos helenísticos que usaron números griegos solo para la porción fraccionaria, y todavía se usa para el tiempo y los ángulos modernos, pero solo para los minutos y segundos. Sin embargo, no todos estos usos fueron posicionales.
La época moderna separa cada posición por dos puntos o un símbolo primo . Por ejemplo, la hora podría ser 10:25:59 (10 horas 25 minutos 59 segundos). Los ángulos usan notación similar. Por ejemplo, un ángulo podría ser 10°25′59″ (10 grados 25 minutos 59 segundos ). En ambos casos, solo los minutos y segundos usan notación sexagesimal: los grados angulares pueden ser mayores que 59 (una rotación alrededor de un círculo es de 360°, dos rotaciones son de 720°, etc.), y tanto el tiempo como los ángulos usan fracciones decimales de segundo. . [ cita necesaria ] Esto contrasta con los números utilizados por los astrónomos helenísticos y renacentistas , que usaban tercios , cuartos , etc. para incrementos más finos. Donde podríamos escribir 10°25′59.392″ , habrían escrito 10°25 59 23 31 12 o 10°25 i 59 ii 23 iii 31 iv 12 v .
El uso de un conjunto de dígitos con letras mayúsculas y minúsculas permite una notación breve para números sexagesimales, por ejemplo, 10:25:59 se convierte en 'ARz' (al omitir I y O, pero no i y o), lo cual es útil para usar en URL. etc., pero no es muy inteligible para los humanos.
En la década de 1930, Otto Neugebauer introdujo un sistema de notación moderno para los números babilónicos y helenísticos que sustituye la notación decimal moderna del 0 al 59 en cada posición, mientras usa un punto y coma (;) para separar las partes integrales y fraccionarias del número y usa una coma. (,) para separar las posiciones dentro de cada porción. [16] Por ejemplo, el mes sinódico medio usado por los astrónomos babilónicos y helenísticos y todavía usado en el calendario hebreo es 29;31,50,8,20 días, y el ángulo usado en el ejemplo anterior se escribiría 10;25 ,59,23,31,12 grados.
En informática , las bases binaria (base-2), octal (base-8) y hexadecimal (base-16) son las más utilizadas. Las computadoras, en el nivel más básico, trabajan sólo con secuencias de ceros y unos convencionales, por lo que en este sentido es más fácil trabajar con potencias de dos. El sistema hexadecimal se utiliza como "taquigrafía" del binario: cada 4 dígitos binarios (bits) se relacionan con uno y sólo un dígito hexadecimal. En hexadecimal, los seis dígitos después del 9 se indican con A, B, C, D, E y F (y, a veces, a, b, c, d, e y f).
El sistema de numeración octal también se utiliza como otra forma de representar números binarios. En este caso la base es 8 y por tanto sólo se utilizan los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Al convertir de binario a octal, cada 3 bits se relacionan con un solo dígito octal.
Se han utilizado bases hexadecimales, decimales, octales y una amplia variedad de otras para la codificación de binario a texto , implementaciones de aritmética de precisión arbitraria y otras aplicaciones.
Para obtener una lista de bases y sus aplicaciones, consulte lista de sistemas de numeración .
Los sistemas de base 12 ( duodecimal o docenal) han sido populares porque la multiplicación y la división son más fáciles que en base 10, siendo la suma y la resta igual de fáciles. Doce es una base útil porque tiene muchos factores . Es el mínimo común múltiplo de uno, dos, tres, cuatro y seis. Todavía existe una palabra especial para "docena" en inglés y, por analogía con la palabra para 10 2 , cien , el comercio desarrolló una palabra para 12 2 , bruto . El reloj estándar de 12 horas y el uso común de 12 en unidades inglesas enfatizan la utilidad de la base. Además, antes de su conversión a decimal, la antigua moneda británica, la libra esterlina (GBP), utilizaba parcialmente la base 12; había 12 peniques (d) por chelín (s), 20 chelines por libra (£) y, por tanto, 240 peniques por libra. De ahí el término LSD o, más propiamente, £sd .
La civilización maya y otras civilizaciones de la Mesoamérica precolombina utilizaron la base 20 ( vigesimal ), al igual que varias tribus norteamericanas (dos de ellas en el sur de California). También se encuentran evidencias de sistemas de conteo de base 20 en los idiomas de África central y occidental .
También existen en francés restos de un sistema galo de base 20, como se ve hoy en los nombres de los números del 60 al 99. Por ejemplo, sesenta y cinco es soixante-cinq (literalmente, "sesenta [y] cinco"), mientras que setenta y cinco es soixante-quinze (literalmente, "sesenta [y] quince"). Además, para cualquier número entre 80 y 99, el número de "columna de decenas" se expresa como un múltiplo de veinte. Por ejemplo, ochenta y dos es quatre-vingt-deux (literalmente, cuatro veinte[s] [y] dos), mientras que noventa y dos es quatre-vingt-douze (literalmente, cuatro veinte[s] [y] doce). En francés antiguo, cuarenta se expresaba como dos veinte y sesenta tres veinte, de modo que cincuenta y tres se expresaba como dos veinte [y] trece, y así sucesivamente.
En inglés, el mismo conteo en base 20 aparece en el uso de " scores ". Aunque en su mayoría es histórico, ocasionalmente se usa coloquialmente. El versículo 10 del Salmo 90 en la versión King James de la Biblia comienza: "Los días de nuestros años son sesenta años diez; y si por la fuerza son ochenta años, su fuerza es trabajo y dolor". El discurso de Gettysburg comienza: "Hace cuatro veintenas y siete años".
El idioma irlandés también utilizó la base 20 en el pasado, siendo veinte fichid , cuarenta dhá fhichid , sesenta trí fhichid y ochenta ceithre fhichid . Un resto de este sistema puede verse en la palabra moderna 40, daoichead .
El idioma galés sigue utilizando un sistema de conteo de base 20 , particularmente para la edad de las personas, fechas y frases comunes. 15 también es importante, siendo 16-19 "uno contra 15", "dos contra 15", etc. 18 es normalmente "dos nueves". Generalmente se utiliza un sistema decimal.
Las lenguas inuit utilizan un sistema de conteo de base 20 . Estudiantes de Kaktovik, Alaska, inventaron un sistema de numeración de base 20 en 1994 [17]
Los números daneses muestran una estructura similar de base 20 .
El idioma maorí de Nueva Zelanda también tiene evidencia de un sistema subyacente de base 20 como se ve en los términos Te Hokowhitu a Tu que se refieren a un grupo de guerra (literalmente "los siete años 20 de Tu") y Tama-hokotahi , que se refiere a un gran guerrero. ("el hombre igual a 20").
El sistema binario se utilizó en el Imperio Antiguo de Egipto, del 3000 a.C. al 2050 a.C. Era cursiva redondeando números racionales menores que 1 a 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 , desechando un término de 1/64 (el sistema se llamaba Ojo de Horus ).
Varias lenguas aborígenes australianas emplean sistemas de conteo binarios o similares. Por ejemplo, en Kala Lagaw Ya , los números del uno al seis son urapon , ukasar , ukasar-urapon , ukasar-ukasar , ukasar-ukasar-urapon , ukasar-ukasar-ukasar .
Los nativos de América del Norte y Central utilizaron la base 4 ( cuaternaria ) para representar los cuatro puntos cardinales. Los mesoamericanos tendieron a agregar un segundo sistema de base 5 para crear un sistema de base 20 modificado.
En muchas culturas se ha utilizado un sistema de base 5 ( quinario ) para contar. Claramente se basa en el número de dígitos de una mano humana. También puede considerarse como una subbase de otras bases, como base 10, base 20 y base 60.
Un sistema de base 8 ( octal ) fue ideado por la tribu Yuki del norte de California, que utilizaba los espacios entre los dedos para contar, correspondientes a los dígitos del uno al ocho. [18] También hay evidencia lingüística que sugiere que los protoindoeuropeos de la Edad del Bronce (de quienes descienden la mayoría de las lenguas europeas e índicas) podrían haber reemplazado un sistema de base 8 (o un sistema que solo podía contar hasta 8) con un sistema base 10. La evidencia es que algunos sugieren que la palabra para 9, newm , deriva de la palabra para "nuevo", newo- , sugiriendo que el número 9 había sido inventado recientemente y llamado "nuevo número". [19]
Muchos sistemas de conteo antiguos utilizan cinco como base principal, y casi seguramente provienen del número de dedos de la mano de una persona. A menudo estos sistemas se complementan con una base secundaria, a veces diez, a veces veinte. En algunas lenguas africanas la palabra para cinco es la misma que "mano" o "puño" ( lengua Dyola de Guinea-Bissau , lengua Banda de África Central ). El conteo continúa sumando 1, 2, 3 o 4 a combinaciones de 5, hasta llegar a la base secundaria. En el caso de veinte, esta palabra suele significar "hombre completo". Este sistema se denomina quinquavigesimal . Se encuentra en muchos idiomas de la región de Sudán .
El idioma telefol , hablado en Papúa Nueva Guinea , se destaca por poseer un sistema de numeración de base 27.
Existen propiedades interesantes cuando la base no es fija o positiva y cuando los conjuntos de símbolos de dígitos denotan valores negativos. Hay muchas más variaciones. Estos sistemas tienen valor práctico y teórico para los informáticos.
Ternario equilibrado [20] usa una base de 3 pero el conjunto de dígitos es { 1,0,1 } en lugar de {0,1,2}. El " 1 " tiene un valor equivalente a −1. La negación de un número se forma fácilmente cambiando los unos por los unos. Este sistema se puede utilizar para resolver el problema del equilibrio, que requiere encontrar un conjunto mínimo de contrapesos conocidos para determinar un peso desconocido. Se pueden utilizar pesos de 1, 3, 9, ... 3 n unidades conocidas para determinar cualquier peso desconocido hasta 1 + 3 + ... + 3 n unidades. Se puede utilizar un peso en cualquier lado de la balanza o no utilizarlo. Las pesas utilizadas en el platillo de la balanza con peso desconocido se designan con 1 , con 1 si se usan en el platillo vacío y con 0 si no se usan. Si un peso desconocido W está equilibrado con 3 (3 1 ) en su plato y 1 y 27 (3 0 y 3 3 ) en el otro, entonces su peso en decimal es 25 o 10 1 1 en base 3 equilibrado.
El sistema numérico factorial utiliza una base variable, dando factoriales como valores posicionales; están relacionados con el teorema del resto chino y las enumeraciones del sistema de números de residuos . Este sistema enumera efectivamente permutaciones. Un derivado de esto utiliza la configuración del rompecabezas de las Torres de Hanoi como sistema de conteo. La configuración de las torres se puede poner en correspondencia 1 a 1 con el recuento decimal del paso en el que se produce la configuración y viceversa.
No es necesario que cada posición sea posicional en sí misma. Los números sexagesimales babilónicos eran posicionales, pero en cada posición había grupos de dos tipos de cuñas que representaban unidades y decenas (una cuña vertical estrecha | para el uno y una cuña abierta que apunta hacia la izquierda ⟨ para las diez): hasta 5+9=14 símbolos por posición (es decir, 5 decenas ⟨⟨⟨⟨⟨ y 9 unidades ||||||||| agrupadas en uno o dos cuadrados cercanos que contienen hasta tres niveles de símbolos, o un marcador de posición (\\) por falta de una posición). [21] Los astrónomos helenísticos utilizaron uno o dos números griegos alfabéticos para cada posición (uno elegido entre 5 letras que representan del 10 al 50 y/o uno elegido entre 9 letras que representan del 1 al 9, o un símbolo cero ). [22]
Ejemplos:
Temas relacionados:
Otro:
![{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c948f50917ced2d3036c8c5edc92ee14a6b43a)
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