Función de Bessel-Clifford

La función de Bessel-Clifford evaluada en n=3 dividido por 22 como C(3 dividido 22,z) de -2-2i a 2+2i

En análisis matemático , la función de Bessel-Clifford , llamada así en honor a Friedrich Bessel y William Kingdon Clifford , es una función completa de dos variables complejas que se puede utilizar para proporcionar un desarrollo alternativo de la teoría de funciones de Bessel .

${\displaystyle \pi (x)={\frac {1}{\Pi (x)}}={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}}$

es la función completa definida por medio de la función gamma recíproca , entonces la función de Bessel-Clifford está definida por la serie

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\pi (k+n){\frac {z^{k}}{k!}}}$

La razón de términos sucesivos es z / k ( n  +  k ), que para todos los valores de z y n tiende a cero con el aumento  de k . Por la prueba de razón , esta serie converge absolutamente para todos los z y  n , y uniformemente para todas las regiones con | z | acotado , y por lo tanto la función de Bessel-Clifford es una función completa de las dos variables complejas n y  z .

Ecuación diferencial de la función de Bessel-Clifford

De la serie anterior sobre la diferenciación con respecto a x se desprende que satisface la ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(x)}$

${\displaystyle xy''+(n+1)y'=y.\qquad }$

Esta ecuación es de tipo hipergeométrico generalizado, y de hecho la función de Bessel-Clifford es hasta un factor de escala una función hipergeométrica de Pochhammer-Barnes ; tenemos

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=\pi (n)\ _{0}F_{1}(;n+1;z).}$

A menos que n sea un entero negativo, en cuyo caso el lado derecho no está definido, las dos definiciones son esencialmente equivalentes; la función hipergeométrica se normaliza de modo que su valor en z = 0 es uno.

Relación con las funciones de Bessel

La función de Bessel del primer tipo se puede definir en términos de la función de Bessel-Clifford como

${\displaystyle J_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right);}$

cuando n no es un entero. De esto podemos ver que la función de Bessel no es entera. De manera similar, la función de Bessel modificada de primera clase se puede definir como

${\displaystyle I_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right).}$

Por supuesto, el procedimiento se puede invertir, de modo que podemos definir la función de Bessel-Clifford como

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=z^{-n/2}I_{n}(2{\sqrt {z}});}$

pero desde este punto de partida necesitaríamos entonces demostrarlo en su totalidad. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Relación de recurrencia

De la serie definitoria se desprende inmediatamente que ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mathcal {C}}_{n}(x)={\mathcal {C}}_{n+1}(x).}$

Usando esto, podemos reescribir la ecuación diferencial como ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle x{\mathcal {C}}_{n+2}(x)+(n+1){\mathcal {C}}_{n+1}(x)={\mathcal {C}}_{n}(x),}$

que define la relación de recurrencia para la función de Bessel-Clifford. Esto es equivalente a una relación similar para ₀ F ₁ . Tenemos, como caso especial de la fracción continua de Gauss

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {C}}_{n+1}(x)}{{\mathcal {C}}_{n}(x)}}={\cfrac {1}{n+1+{\cfrac {x}{n+2+{\cfrac {x}{n+3+{\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}}.}$

Se puede demostrar que esta fracción continua converge en todos los casos.

La función de Bessel-Clifford de segundo tipo

La ecuación diferencial de Bessel-Clifford

${\displaystyle xy''+(n+1)y'=y\qquad }$

tiene dos soluciones linealmente independientes. Como el origen es un punto singular regular de la ecuación diferencial y como es entero, la segunda solución debe ser singular en el origen. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Si nos ponemos

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-t-{\frac {x}{t}}\right){\frac {dt}{t^{n+1}}}}$

que converge para , y la continuamos analíticamente, obtenemos una segunda solución linealmente independiente de la ecuación diferencial. ${\displaystyle \Re (x)>0}$

Se inserta el factor 1/2 para hacer corresponder las funciones de Bessel de segunda especie. Tenemos ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle K_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

y

${\displaystyle Y_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left(-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

En términos de K , tenemos

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}(x)=x^{-n/2}K_{n}(2{\sqrt {x}}).}$

Por lo tanto, así como la función de Bessel y la función de Bessel modificada del primer tipo pueden expresarse en términos de , las del segundo tipo pueden expresarse en términos de . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Función generadora

Si multiplicamos las series absolutamente convergentes para exp( t ) y exp( z / t ), obtenemos (cuando t no es cero) una serie absolutamente convergente para exp( t  +  z / t ). Al agrupar los términos en t , encontramos que, al comparar con la definición de serie de potencias , tenemos ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$

${\displaystyle \exp \left(t+{\frac {z}{t}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}{\mathcal {C}}_{n}(z).}$

Esta función generadora puede luego usarse para obtener otras fórmulas, en particular podemos usar la fórmula integral de Cauchy y obtener para el entero n como ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\exp(t+z/t)}{t^{n+1}}}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\exp(z\exp(-i\theta )+\exp(i\theta )-ni\theta )\,d\theta .}$

Referencias

• Clifford, William Kingdon (1882), "Sobre las funciones de Bessel", Mathematical Papers , Londres: 346–349.
• Greenhill, A. George (1919), "La función de Bessel-Clifford y sus aplicaciones", Philosophical Magazine , Sexta serie: 501–528.
• Legendre, Adrien-Marie (1802), Éléments de Géometrie , Nota IV, París.
• Schläfli, Ludwig (1868), "Sulla relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazzione di Riccati", Annali di Matematica Pura ed Applicata , 2 (I): 232–242.
• Watson, GN (1944), Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel (segunda edición), Cambridge: Cambridge University Press.
• Wallisser, Rolf (2000), "Sobre la prueba de Lambert de la irracionalidad de π", en Halter-Koch, Franz; Tichy, Robert F. (eds.), Teoría algebraica de números y análisis diofántico , Berlín: Walter de Gruyer, ISBN 3-11-016304-7.