William Kingdon Clifford FRS (4 de mayo de 1845 - 3 de marzo de 1879) fue un matemático y filósofo británico . Basándose en el trabajo de Hermann Grassmann , introdujo lo que ahora se denomina álgebra geométrica , un caso especial del álgebra de Clifford nombrado en su honor. Las operaciones del álgebra geométrica tienen el efecto de reflejar, rotar, trasladar y mapear los objetos geométricos que se están modelando a nuevas posiciones. Las álgebras de Clifford en general y el álgebra geométrica en particular han sido de creciente importancia para la física matemática , [1] la geometría , [2] y la computación . [3] Clifford fue el primero en sugerir que la gravitación podría ser una manifestación de una geometría subyacente. En sus escritos filosóficos acuñó la expresión materia mental .
Nacido en Exeter , William Clifford se educó en la Academia del Doctor Templeton en Bedford Circus y mostró una gran promesa en la escuela. [4] Asistió al King's College de Londres (a los 15 años) y al Trinity College de Cambridge , donde fue elegido miembro en 1868, después de ser segundo Wrangler en 1867 y segundo premio Smith. [5] [6] En 1870, formó parte de una expedición a Italia para observar el eclipse solar del 22 de diciembre de 1870. Durante ese viaje sobrevivió a un naufragio en la costa siciliana. [7]
En 1871, fue nombrado profesor de matemáticas y mecánica en el University College de Londres , y en 1874 se convirtió en miembro de la Royal Society . [5] También fue miembro de la London Mathematical Society y de la Metaphysical Society .
Clifford se casó con Lucy Lane el 7 de abril de 1875, con quien tuvo dos hijos. [8] A Clifford le gustaba entretener a los niños y escribió una colección de cuentos de hadas, The Little People . [9]
En 1876, Clifford sufrió una crisis nerviosa, probablemente provocada por el exceso de trabajo. Enseñaba y administraba durante el día y escribía por la noche. Unas vacaciones de medio año en Argelia y España le permitieron reanudar sus funciones durante 18 meses, tras los cuales volvió a sufrir un colapso. Se fue a la isla de Madeira para recuperarse, pero murió allí de tuberculosis al cabo de unos meses, dejando viuda a su madre y a dos hijos.
Clifford y su esposa están enterrados en el cementerio de Highgate de Londres , cerca de las tumbas de George Eliot y Herbert Spencer , justo al norte de la tumba de Karl Marx .
La revista académica Advances in Applied Clifford Algebras publica sobre el legado de Clifford en cinemática y álgebra abstracta .
"Clifford fue ante todo y por encima de todo un geómetra".
— Henry John Stephen Smith [5]
El descubrimiento de la geometría no euclidiana abrió nuevas posibilidades en la geometría en la era de Clifford. Nació el campo de la geometría diferencial intrínseca, con el concepto de curvatura ampliamente aplicado al espacio mismo, así como a las líneas y superficies curvas. Clifford quedó muy impresionado por el ensayo de Bernhard Riemann de 1854 "Sobre las hipótesis que se encuentran en las bases de la geometría". [10] En 1870, informó a la Sociedad Filosófica de Cambridge sobre los conceptos de espacio curvo de Riemann, e incluyó especulaciones sobre la curvatura del espacio por la gravedad. La traducción de Clifford [11] [12] del artículo de Riemann se publicó en Nature en 1873. Su informe en Cambridge, "Sobre la teoría espacial de la materia", se publicó en 1876, anticipándose a la relatividad general de Albert Einstein por 40 años. Clifford elaboró la geometría del espacio elíptico como un espacio métrico no euclidiano . Ahora se dice que las curvas equidistantes en el espacio elíptico son paralelas de Clifford .
Los contemporáneos de Clifford lo consideraban agudo y original, ingenioso y cálido. A menudo trabajaba hasta altas horas de la noche, lo que pudo haber acelerado su muerte. Publicó artículos sobre una variedad de temas, incluidas las formas algebraicas y la geometría proyectiva , y el libro de texto Elements of Dynamic . Su aplicación de la teoría de grafos a la teoría de invariantes fue seguida por William Spottiswoode y Alfred Kempe . [13]
En 1878, Clifford publicó un trabajo seminal, basado en el extenso álgebra de Grassmann. [14] Había logrado unificar los cuaterniones , desarrollados por William Rowan Hamilton , con el producto externo de Grassmann (también conocido como producto exterior ). Comprendió la naturaleza geométrica de la creación de Grassmann y que los cuaterniones encajaban perfectamente en el álgebra que Grassmann había desarrollado. Los versores en los cuaterniones facilitan la representación de la rotación. Clifford sentó las bases para un producto geométrico, compuesto por la suma del producto interno y el producto externo de Grassmann. El producto geométrico fue finalmente formalizado por el matemático húngaro Marcel Riesz . El producto interno equipa al álgebra geométrica con una métrica, incorporando completamente las relaciones de distancia y ángulo para líneas, planos y volúmenes, mientras que el producto externo otorga a esos planos y volúmenes propiedades similares a las de los vectores, incluido un sesgo direccional.
La combinación de ambos permitió la operación de división, lo que amplió enormemente nuestra comprensión cualitativa de cómo interactúan los objetos en el espacio. Fundamentalmente, también proporcionó los medios para calcular cuantitativamente las consecuencias espaciales de esas interacciones. El álgebra geométrica resultante, como la llamó, finalmente logró el objetivo largamente buscado [i] de crear un álgebra que reflejara los movimientos y proyecciones de los objetos en el espacio tridimensional. [15]
Además, el esquema algebraico de Clifford se extiende a dimensiones superiores. Las operaciones algebraicas tienen la misma forma simbólica que en dos o tres dimensiones. La importancia de las álgebras generales de Clifford ha crecido con el tiempo, mientras que sus clases de isomorfismo -como álgebras reales- se han identificado en otros sistemas matemáticos más allá de los cuaterniones. [16]
Los ámbitos del análisis real y del análisis complejo se han ampliado a través del álgebra H de cuaterniones, gracias a su noción de una esfera tridimensional incrustada en un espacio de cuatro dimensiones. Los versores de cuaterniones , que habitan esta 3-esfera, proporcionan una representación del grupo de rotación SO(3) . Clifford notó que los biquaterniones de Hamilton eran un producto tensorial de álgebras conocidas, y propuso en cambio otros dos productos tensoriales de H : Clifford argumentó que los "escalares" tomados de los números complejos C podrían tomarse en cambio de los números complejos divididos D o de los números duales N. En términos de productos tensoriales, produce biquaterniones divididos , mientras que forma cuaterniones duales . El álgebra de cuaterniones duales se usa para expresar el desplazamiento de tornillo , una aplicación común en cinemática.
Como filósofo, el nombre de Clifford se asocia principalmente con dos frases de su propia invención: materia mental y yo tribal . La primera simboliza su concepción metafísica , sugerida por su lectura de Baruch Spinoza , [5] que Clifford (1878) definió de la siguiente manera: [18]
A ese elemento del que, como hemos visto, hasta el sentimiento más simple es un complejo, lo llamaré sustancia mental. Una molécula de materia inorgánica en movimiento no posee mente ni conciencia, pero posee una pequeña parte de sustancia mental. Cuando las moléculas se combinan de tal manera que forman la película que recubre la parte inferior de una medusa, los elementos de sustancia mental que las acompañan se combinan de tal manera que forman los débiles comienzos de la sensibilidad. Cuando las moléculas se combinan de tal manera que forman el cerebro y el sistema nervioso de un vertebrado, los elementos correspondientes de sustancia mental se combinan de tal manera que forman algún tipo de conciencia; es decir, los cambios en el complejo que tienen lugar al mismo tiempo se vinculan de tal manera que la repetición de uno implica la repetición del otro. Cuando la materia toma la forma compleja de un cerebro humano vivo, la sustancia mental correspondiente toma la forma de una conciencia humana, dotada de inteligencia y voluntad.
— "Sobre la naturaleza de las cosas en sí" (1878)
Respecto del concepto de Clifford, Sir Frederick Pollock escribió:
En pocas palabras, la concepción es que la mente es la única realidad última; no la mente tal como la conocemos en las formas complejas del sentimiento y el pensamiento conscientes, sino los elementos más simples a partir de los cuales se construyen el pensamiento y el sentimiento. El hipotético elemento último de la mente, o átomo de la sustancia mental, corresponde precisamente al átomo hipotético de la materia, siendo el hecho último del cual el átomo material es el fenómeno. La materia y el universo sensible son las relaciones entre organismos particulares, es decir, la mente organizada en conciencia , y el resto del mundo. Esto conduce a resultados que en un sentido amplio y popular se llamarían materialistas . Pero la teoría, como teoría metafísica , debe considerarse del lado idealista. Para hablar técnicamente, es un monismo idealista . [5]
Por otra parte, el yo tribal proporciona la clave de la visión ética de Clifford, que explica la conciencia y la ley moral mediante el desarrollo en cada individuo de un "yo" que prescribe la conducta que conduce al bienestar de la "tribu". Gran parte de la prominencia contemporánea de Clifford se debió a su actitud hacia la religión . Animado por un intenso amor a su concepción de la verdad y la devoción al deber público, libró una guerra contra los sistemas eclesiásticos que, a su parecer, favorecían el oscurantismo y colocaban las reivindicaciones de la secta por encima de las de la sociedad humana. La alarma era mayor, ya que la teología todavía no estaba reconciliada con el darwinismo , y Clifford era considerado un peligroso defensor de las tendencias antiespirituales que entonces se imputaban a la ciencia moderna. [5] También ha habido debate sobre hasta qué punto la doctrina de Clifford de la " concomitancia " o " paralelismo psicofísico " influyó en el modelo del sistema nervioso de John Hughlings Jackson y, a través de él, en el trabajo de Janet, Freud, Ribot y Ey. [19]
En su ensayo de 1877, The Ethics of Belief (La ética de la creencia) , Clifford sostiene que es inmoral creer en cosas de las que no se tienen pruebas. [20] Describe a un armador que planeaba enviar al mar un barco viejo y mal construido lleno de pasajeros. El armador tenía dudas de que el barco podría no estar en condiciones de navegar: "Estas dudas lo acosaban y lo hacían infeliz". Consideró la posibilidad de reparar el barco, aunque sería caro. Al final, "logró superar estas melancólicas reflexiones". Observó la partida del barco "con el corazón alegre... y cobró el dinero del seguro cuando se hundió en medio del océano y no contó nada". [20]
Clifford sostiene que el propietario del barco era culpable de la muerte de los pasajeros a pesar de que creía sinceramente que el barco estaba en buenas condiciones: " No tenía derecho a creer en las pruebas que tenía ante sí ". [ii] Además, sostiene que incluso en el caso de que el barco llegara con éxito a su destino, la decisión sigue siendo inmoral, porque la moralidad de la elección queda definida para siempre una vez que se hace, y el resultado real, definido por el azar, no importa. El propietario del barco no sería menos culpable: su mala conducta nunca se descubriría, pero aun así no tenía derecho a tomar esa decisión dada la información que tenía a su disposición en ese momento.
Clifford concluye con lo que se conoce como el principio de Clifford : "es incorrecto siempre, en todas partes y para cualquier persona creer algo sobre la base de evidencia insuficiente". [20]
Como tal, argumenta en oposición directa a los pensadores religiosos para quienes la "fe ciega" (es decir, la creencia en las cosas a pesar de la falta de evidencias que las respalden) era una virtud. Este artículo fue célebremente atacado por el filósofo pragmático William James en su conferencia " Voluntad de creer ". A menudo, estas dos obras se leen y publican juntas como piedras de toque para el debate sobre el evidencialismo , la fe y la creencia excesiva .
Aunque Clifford nunca construyó una teoría completa del espacio-tiempo y la relatividad , hizo algunas observaciones notables que prefiguraron estos conceptos modernos: en su libro Elements of Dynamic (1878), introdujo el "movimiento cuasi-armónico en una hipérbola". Escribió una expresión para una hipérbola unitaria parametrizada , que otros autores usaron más tarde como modelo para la velocidad relativista. En otra parte afirma: [21]
Este pasaje hace referencia a los biquaterniones , aunque Clifford los convirtió en biquaterniones divididos como su desarrollo independiente. El libro continúa con un capítulo "Sobre la curvatura del espacio", la esencia de la relatividad general . Clifford también discutió sus puntos de vista en On the Space-Theory of Matter en 1876.
En 1910, William Barrett Frankland citó la teoría espacial de la materia en su libro sobre paralelismo: «La audacia de esta especulación es sin duda insuperable en la historia del pensamiento. Sin embargo, hasta el presente presenta la apariencia de un vuelo icariano». [22] Años más tarde, después de que Albert Einstein propusiera la relatividad general , varios autores señalaron que Clifford se había anticipado a Einstein. Hermann Weyl (1923), por ejemplo, mencionó a Clifford como uno de los que, como Bernhard Riemann , anticiparon las ideas geométricas de la relatividad. [23]
En 1940, Eric Temple Bell publicó El desarrollo de las matemáticas , en el que analiza la presciencia de Clifford sobre la relatividad: [24]
John Archibald Wheeler , durante el Congreso Internacional de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia (CLMPS) de 1960 en Stanford , presentó su formulación geometrodinámica de la relatividad general al acreditar a Clifford como el iniciador. [25]
En La filosofía natural del tiempo (1961), Gerald James Whitrow recuerda la presciencia de Clifford, citándolo para describir la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker en cosmología. [26]
Cornelius Lanczos (1970) resume las premoniciones de Clifford: [27]
Asimismo, Banesh Hoffmann (1973) escribe: [28]
En 1990, Ruth Farwell y Christopher Knee examinaron el registro del reconocimiento de la previsión de Clifford. [29] Llegaron a la conclusión de que "fue Clifford, no Riemann, quien anticipó algunas de las ideas conceptuales de la Relatividad General". Para explicar la falta de reconocimiento de la presciencia de Clifford, señalan que era un experto en geometría métrica, y que "la geometría métrica era demasiado desafiante para la epistemología ortodoxa como para ser practicada". [29] En 1992, Farwell y Knee continuaron su estudio de Clifford y Riemann: [30]
[Ellos] sostienen que una vez que se utilizaron tensores en la teoría de la relatividad general, existió el marco en el que se pudo desarrollar una perspectiva geométrica en física y permitió redescubrir las desafiantes concepciones geométricas de Riemann y Clifford.
"Yo… sostengo que en el mundo físico no ocurre nada más que esta variación [de la curvatura del espacio]".
— Documentos matemáticos (1882)
"No hay ningún descubridor científico, ningún poeta, ningún pintor, ningún músico, que no te diga que encontró ya hecho su descubrimiento, su poema o su cuadro, que le vino de fuera y que no lo creó conscientemente desde dentro."
— "Algunas de las condiciones del desarrollo mental" (1882), conferencia en la Royal Institution
"Es erróneo siempre, en todas partes y para cualquier persona, creer en algo sin pruebas suficientes".
— La ética de la creencia (1879) [1877]
"Si un hombre, que sostiene una creencia que le enseñaron en la infancia o de la que fue persuadido después, reprime y aleja cualquier duda que surja sobre ella en su mente, evita deliberadamente la lectura de libros y la compañía de hombres que la cuestionan o la discuten, y considera impías aquellas preguntas que no se pueden hacer fácilmente sin perturbarla, la vida de ese hombre es un largo pecado contra la humanidad".
— La ética de la creencia (1879) [1877]
"No fui, y fui concebido. Amé y trabajé un poco. No soy y no me aflijo."
— Epitafio
Conferencias sobre diez matemáticos británicos del siglo XIX.(Véase especialmente las páginas 78-91)
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