Teorema de Arzelà-Ascoli

Sobre cuándo una familia de funciones reales y continuas tiene una subsecuencia uniformemente convergente

El teorema de Arzelà-Ascoli es un resultado fundamental del análisis matemático que proporciona las condiciones necesarias y suficientes para decidir si cada secuencia de una familia dada de funciones continuas de valores reales definidas en un intervalo cerrado y acotado tiene una subsucesión uniformemente convergente . La condición principal es la equicontinuidad de la familia de funciones. El teorema es la base de muchas demostraciones en matemáticas, incluidas las del teorema de existencia de Peano en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias , el teorema de Montel en análisis complejo y el teorema de Peter-Weyl en análisis armónico y varios resultados relacionados con la compacidad de los operadores integrales .

La noción de equicontinuidad fue introducida a finales del siglo XIX por los matemáticos italianos Cesare Arzelà y Giulio Ascoli . Una forma débil del teorema fue demostrada por Ascoli (1883-1884), que estableció la condición suficiente para la compacidad, y por Arzelà (1895), que estableció la condición necesaria y dio la primera presentación clara del resultado. Una generalización adicional del teorema fue demostrada por Fréchet (1906), a conjuntos de funciones continuas de valor real con dominio un espacio métrico compacto (Dunford y Schwartz 1958, p. 382). Las formulaciones modernas del teorema permiten que el dominio sea Hausdorff compacto y que el rango sea un espacio métrico arbitrario. Existen formulaciones más generales del teorema que dan las condiciones necesarias y suficientes para que una familia de funciones de un espacio de Hausdorff generado de forma compacta a un espacio uniforme sea compacta en la topología compacta-abierta ; Véase Kelley (1991, página 234).

Enunciado y primeras consecuencias

Por definición, una secuencia de funciones continuas en un intervalo I = [ a , b ] está uniformemente acotada si existe un número M tal que ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \left|f_{n}(x)\right|\leq M}$

para cada función f _n perteneciente a la secuencia, y cada x ∈ [ a , b ] . (Aquí, M debe ser independiente de n y x .)  

Se dice que la secuencia es uniformemente equicontinua si, para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|<\varepsilon }$

siempre que | x − y | < δ  para todas las funciones f _n en la secuencia. (Aquí, δ puede depender de ε , pero no de x , y o n .)  

Una versión del teorema puede enunciarse de la siguiente manera:

Considérese una sucesión de funciones continuas de valores reales {  f _n  } _{n ∈ N} definidas en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] de la recta real . Si esta sucesión es uniformemente acotada y uniformemente equicontinua , entonces existe una subsucesión {  f _{n k}  } _{k ∈ N} que converge uniformemente .

Lo inverso también es cierto, en el sentido de que si cada subsecuencia de {  f _n  } tiene una subsecuencia uniformemente convergente, entonces {  f _n  } es uniformemente acotada y equicontinua.

Prueba

La prueba se basa esencialmente en un argumento de diagonalización . El caso más simple es el de funciones de valor real en un intervalo cerrado y acotado:

• Sea I = [ a , b ] ⊂ R un intervalo cerrado y acotado. Si F es un conjunto infinito de funciones f   : I → R que es uniformemente acotado y equicontinuo, entonces existe una sucesión f _n de elementos de F tal que f _n converge uniformemente a I . 

Fijemos una enumeración { x _i } _{i ∈ N} de números racionales en I . Como F está uniformemente acotado, el conjunto de puntos { f ( x ₁ )} _{f ∈ F} está acotado y, por tanto, por el teorema de Bolzano-Weierstrass , existe una sucesión { f _{n 1} } de funciones distintas en F tal que { f _{n 1} ( x ₁ )} converge. Repitiendo el mismo argumento para la sucesión de puntos { f _{n 1} ( x ₂ )} , existe una subsucesión { f _{n 2} } de { f _{n 1} } tal que { f _{n 2} ( x ₂ )} converge.

Por inducción, este proceso puede continuar indefinidamente, por lo que existe una cadena de subsecuencias.

${\displaystyle \left\{f_{n_{1}}\right\}\supseteq \left\{f_{n_{2}}\right\}\supseteq \cdots }$

tal que, para cada k = 1, 2, 3, ..., la subsucesión { f _{n k} } converge en x ₁ , ..., x _k . Ahora forma la subsucesión diagonal { f } cuyo término m f _m es el término m en la subsucesión m { f _{n m} } . Por construcción, f _m converge en cada punto racional de I .

Por lo tanto, dado cualquier ε > 0 y racional x _k en I , existe un entero N = N ( ε , x _k ) tal que

${\displaystyle |f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|<{\tfrac {\varepsilon }{3}},\qquad n,m\geq N.}$

Como la familia F es equicontinua, para este ε fijo y para cada x en I , existe un intervalo abierto U _x que contiene a x tal que

${\displaystyle |f(s)-f(t)|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}$

para todo f  ∈  F y todo s ,  t en I tales que s , t ∈ U _x .

La colección de intervalos U _x , x  ∈ I , forma una cubierta abierta de I . Como I es cerrada y acotada, por el teorema de Heine-Borel I es compacta , lo que implica que esta cubierta admite una subcubierta finita U ₁ , ..., U _J . Existe un entero K tal que cada intervalo abierto U _j , 1 ≤ j ≤ J , contiene un racional x _k con 1 ≤ k ≤ K . Finalmente, para cualquier t  ∈  I , existen j y k de modo que t y x _k pertenecen al mismo intervalo U _j . Para esta elección de k ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{n}(t)-f_{m}(t)\right|&\leq \left|f_{n}(t)-f_{n}(x_{k})\right|+|f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|+|f_{m}(x_{k})-f_{m}(t)|\\&<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\end{aligned}}}$

para todo n , m > N = máx{ N ( ε , x ₁ ), ..., N ( ε , x _K )}. En consecuencia, la sucesión { f _n } es uniformemente de Cauchy y, por lo tanto, converge a una función continua, como se afirma. Esto completa la prueba.

Ejemplos inmediatos

Funciones diferenciables

Las hipótesis del teorema se satisfacen para una sucesión uniformemente acotada {  f _n  } de funciones diferenciables con derivadas uniformemente acotadas. En efecto, la acotación uniforme de las derivadas implica, por el teorema del valor medio, que para todas las x e y ,

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|,}$

donde K es el supremo de las derivadas de las funciones en la secuencia y es independiente de n . Por lo tanto, dado ε > 0 , sea δ = ⁠mi/2 mil⁠ para verificar la definición de equicontinuidad de la sucesión. Esto demuestra el siguiente corolario:

• Sea { f _n } una sucesión uniformemente acotada de funciones diferenciables de valores reales en [ a , b ] tales que las derivadas { f _n ′} están uniformemente acotadas. Entonces existe una subsucesión { f _{n k} } que converge uniformemente en [ a , b ] .

Si, además, la secuencia de derivadas segundas también está uniformemente acotada, entonces las derivadas también convergen uniformemente (hasta una subsucesión), y así sucesivamente. Otra generalización es válida para funciones continuamente diferenciables . Supóngase que las funciones f _n son continuamente diferenciables con derivadas f _n ′ . Supóngase que f _n ′ son uniformemente equicontinuas y uniformemente acotadas, y que la secuencia {  f _n  }, está acotada puntualmente (o solo acotada en un único punto). Entonces hay una subsucesión de {  f _n  } que converge uniformemente a una función continuamente diferenciable.  

El argumento de diagonalización también puede utilizarse para demostrar que una familia de funciones infinitamente diferenciables, cuyas derivadas de cada orden están uniformemente acotadas, tiene una subsucesión uniformemente convergente, cuyas derivadas también son uniformemente convergentes. Esto es particularmente importante en la teoría de distribuciones.

Funciones continuas de Lipschitz y Hölder

El argumento expuesto anteriormente demuestra algo más, concretamente:

• Si {  f _n  } es una secuencia uniformemente acotada de funciones de valores reales en [ a , b ] tales que cada f _n es Lipschitz continua con la misma constante de Lipschitz K :

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|}$

para todo x , y ∈ [ a , b ] y todo f _n , entonces hay una subsecuencia que converge uniformemente en [ a , b ] .  

La función límite también es Lipschitz continua con el mismo valor K para la constante de Lipschitz. Se realiza una ligera modificación

• Un conjunto F de funciones f en [ a , b ] que está uniformemente acotado y satisface una condición de Hölder de orden α , 0 < α ≤ 1 , con una constante fija M ,  

${\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|\leq M\,|x-y|^{\alpha },\qquad x,y\in [a,b]}$

es relativamente compacta en C([ a , b ]) . En particular, la bola unidad del espacio de Hölder C ^{0, α} ([ a , b ]) es compacta en C([ a , b ]) .

Esto es válido de forma más general para funciones escalares en un espacio métrico compacto X que satisface una condición de Hölder con respecto a la métrica en X.

Generalizaciones

Espacios euclidianos

El teorema de Arzelà–Ascoli se cumple, de forma más general, si las funciones f _n toman valores en el espacio euclidiano d -dimensional R ^d , y la demostración es muy sencilla: basta con aplicar la versión R -valuada del teorema de Arzelà–Ascoli d veces para extraer una subsucesión que converja uniformemente en la primera coordenada, luego una subsubsucesión que converja uniformemente en las dos primeras coordenadas, y así sucesivamente. Los ejemplos anteriores se generalizan fácilmente al caso de funciones con valores en el espacio euclidiano.  

Espacios métricos compactos y espacios compactos de Hausdorff

Las definiciones de acotación y equicontinuidad se pueden generalizar al contexto de espacios métricos compactos arbitrarios y, de manera más general, espacios de Hausdorff compactos . Sea X un espacio de Hausdorff compacto y sea C ( X ) el espacio de funciones continuas de valor real en X . Se dice que un subconjunto F ⊂ C ( X ) es equicontinuo si para cada x  ∈ X y cada ε > 0 , x tiene una vecindad U _x tal que

${\displaystyle \forall y\in U_{x},\forall f\in \mathbf {F} :\qquad |f(y)-f(x)|<\varepsilon .}$

Se dice que un conjunto F ⊂ C ( X , R ) está acotado puntualmente si para cada x  ∈ X ,

${\displaystyle \sup\{|f(x)|:f\in \mathbf {F} \}<\infty .}$

Una versión del Teorema se cumple también en el espacio C ( X ) de funciones continuas de valor real en un espacio de Hausdorff compacto X (Dunford & Schwartz 1958, §IV.6.7):

Sea X un espacio de Hausdorff compacto. Entonces un subconjunto F de C ( X ) es relativamente compacto en la topología inducida por la norma uniforme si y solo si es equicontinuo y puntualmente acotado.

El teorema de Arzelà-Ascoli es pues un resultado fundamental en el estudio del álgebra de funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto .

Son posibles varias generalizaciones del resultado citado anteriormente. Por ejemplo, las funciones pueden asumir valores en un espacio métrico o en un espacio vectorial topológico (de Hausdorff) con solo cambios mínimos en el enunciado (véase, por ejemplo, Kelley y Namioka (1982, §8), Kelley (1991, Capítulo 7)):

Sea X un espacio de Hausdorff compacto e Y un espacio métrico. Entonces F ⊂ C ( X , Y ) es compacto en la topología compacta-abierta si y solo si es equicontinuo , relativamente compacto puntualmente y cerrado.

Aquí, relativamente compacto puntualmente significa que para cada x  ∈  X , el conjunto F _x = {  f  ( x ) :   f   ∈ F } es relativamente compacto en Y .

En el caso de que Y sea completa , la prueba dada anteriormente puede generalizarse de una manera que no dependa de la separabilidad del dominio. En un espacio de Hausdorff compacto X , por ejemplo, se utiliza la equicontinuidad para extraer, para cada ε = 1/ n , una cobertura abierta finita de X tal que la oscilación de cualquier función en la familia sea menor que ε en cada conjunto abierto en la cobertura. El papel de los racionales puede ser desempeñado entonces por un conjunto de puntos extraídos de cada conjunto abierto en cada una de las coberturas contables obtenidas de esta manera, y la parte principal de la prueba procede exactamente como antes. Se utiliza un argumento similar como parte de la prueba para la versión general que no supone la completitud de Y.

Funciones en espacios no compactos

El teorema de Arzela-Ascoli se generaliza a funciones donde no es compacto. Particularmente importantes son los casos donde es un espacio vectorial topológico . Recordemos que si es un espacio topológico y es un espacio uniforme (como cualquier espacio métrico o cualquier grupo topológico , metrisable o no), existe la topología de convergencia compacta en el conjunto de funciones ; está configurado de modo que una secuencia (o más generalmente un filtro o red ) de funciones converge si y solo si converge uniformemente en cada subconjunto compacto de . Sea el subespacio de que consiste en funciones continuas, dotado de la topología de convergencia compacta. Entonces una forma del teorema de Arzelà-Ascoli es la siguiente: ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$

Sea un espacio topológico, un espacio uniforme de Hausdorff y un conjunto equicontinuo de funciones continuas tal que sea relativamente compacto en para cada . Entonces sea relativamente compacto en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H\subset {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$ ${\displaystyle \{h(x):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$

Este teorema proporciona inmediatamente las afirmaciones más especializadas anteriores en los casos en que es compacto y la estructura uniforme de está dada por una métrica. Hay algunas otras variantes en términos de la topología de convergencia precompacta u otras topologías relacionadas en . También es posible extender la afirmación a funciones que solo son continuas cuando se restringen a los conjuntos de una cobertura de por subconjuntos compactos. Para más detalles, se puede consultar Bourbaki (1998), Capítulo X, § 2, n.° 5. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$

Funciones no continuas

Las soluciones de los esquemas numéricos para ecuaciones parabólicas suelen ser constantes a trozos y, por lo tanto, no continuas en el tiempo. Sin embargo, como sus saltos tienden a volverse pequeños a medida que el paso de tiempo se acerca a , es posible establecer propiedades de convergencia uniforme en el tiempo utilizando una generalización a funciones no continuas del teorema clásico de Arzelà-Ascoli (véase, por ejemplo, Droniou y Eymard (2016, Apéndice)). ${\displaystyle 0}$

Denotamos por el espacio de funciones de a dotadas de métrica uniforme ${\displaystyle S(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle d_{S}(v,w)=\sup _{t\in X}d_{Y}(v(t),w(t)).}$

Entonces tenemos lo siguiente:

Sea un espacio métrico compacto y un espacio métrico completo. Sea una sucesión en tal que existe una función y una sucesión que satisfacen ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle S(X,Y)}$ ${\displaystyle \omega :X\times X\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \{\delta _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset [0,\infty )}$

${\displaystyle \lim _{d_{X}(t,t')\to 0}\omega (t,t')=0,\quad \lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0,}$

${\displaystyle \forall (t,t')\in X\times X,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad d_{Y}(v_{n}(t),v_{n}(t'))\leq \omega (t,t')+\delta _{n}.}$

Supóngase también que, para todo , es relativamente compacto en . Entonces es relativamente compacto en , y cualquier límite de en este espacio está en . ${\displaystyle t\in X}$ ${\displaystyle \{v_{n}(t):n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle S(X,Y)}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle C(X,Y)}$

Necesidad

Mientras que la mayoría de las formulaciones del teorema de Arzelà–Ascoli afirman condiciones suficientes para que una familia de funciones sea (relativamente) compacta en alguna topología, estas condiciones son típicamente también necesarias. Por ejemplo, si un conjunto F es compacto en C ( X ), el espacio de Banach de funciones continuas de valor real en un espacio de Hausdorff compacto con respecto a su norma uniforme, entonces está acotado en la norma uniforme en C ( X ) y en particular está acotado puntualmente. Sea N ( ε , U ) el conjunto de todas las funciones en F cuya oscilación sobre un subconjunto abierto U ⊂ X es menor que ε :

${\displaystyle N(\varepsilon ,U)=\{f\mid \operatorname {osc} _{U}f<\varepsilon \}.}$

Para un x ∈ X y ε fijos , los conjuntos N ( ε , U ) forman una cobertura abierta de F a medida que U varía en todos los entornos abiertos de x . La elección de una subcobertura finita da como resultado la equicontinuidad.

Más ejemplos

• A toda función g que sea p -integrable en [0, 1] , con 1 < p ≤ ∞ , asociar la función G definida en [0, 1] por

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t.}$

Sea F el conjunto de funciones G correspondientes a funciones g en la bola unidad del espacio L ^p ([0, 1]) . Si q es el conjugado de Hölder de p , definido por ⁠1/pag⁠ + ⁠1/q⁠ = 1 , entonces la desigualdad de Hölder implica que todas las funciones en F satisfacen una condición de Hölder con α = ⁠1/q⁠ y constante M = 1 .

De ello se deduce que F es compacto en C ([0, 1]) . Esto significa que la correspondencia g → G define un operador lineal compacto T entre los espacios de Banach L ^p ([0, 1]) y C ([0, 1]) . Al componer con la inyección de C ([0, 1]) en L ^p ([0, 1]) , se ve que T actúa de forma compacta desde L ^p ([0, 1]) hacia sí mismo. El caso p = 2 puede verse como un ejemplo simple del hecho de que la inyección desde el espacio de Sobolev en L ² (Ω) , para Ω un conjunto abierto acotado en R ^d , es compacta. ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

• Cuando T es un operador lineal compacto de un espacio de Banach X a un espacio de Banach Y , su transpuesta T ^∗ es compacta del dual (continuo) Y ^∗ a X ^∗ . Esto se puede comprobar mediante el teorema de Arzelà–Ascoli.

De hecho, la imagen T ( B ) de la bola unitaria cerrada B de X está contenida en un subconjunto compacto K de Y . La bola unitaria B ^∗ de Y ^∗ define, restringiendo de Y a K , un conjunto F de funciones continuas (lineales) en K que es acotado y equicontinuo. Por Arzelà–Ascoli, para cada secuencia { y^*
_n}, en B ^∗ , hay una subsecuencia que converge uniformemente en K , y esto implica que la imagen de esa subsecuencia es Cauchy en X ^∗ . ${\displaystyle T^{*}(y_{n_{k}}^{*})}$

• Cuando f es holomorfo en un disco abierto D ₁ = B ( z ₀ , r ) , con módulo acotado por M , entonces (por ejemplo por la fórmula de Cauchy ) su derivada f  ′ tiene módulo acotado por ⁠   2 millones/a⁠ en el disco más pequeño D ₂ = B ( z ₀ , ⁠a/2⁠ ). Si una familia de funciones holomorfas en D ₁ está acotada por M en D ₁ , se deduce que la familia F de restricciones a D ₂ es equicontinua en D ₂ . Por lo tanto, se puede extraer una secuencia que converge uniformemente en D ₂ . Este es un primer paso en la dirección del teorema de Montel .
• Sea dotada de la métrica uniforme Supongamos que es una secuencia de soluciones de una cierta ecuación diferencial parcial (EDP), donde la EDP asegura las siguientes estimaciones a priori: es equicontinua para todo , es equitativa para todo , y, para todo y todo , es suficientemente pequeña cuando es suficientemente pequeña. Entonces, por el teorema de Fréchet-Kolmogorov , podemos concluir que es relativamente compacta en . Por lo tanto, podemos, por (una generalización del) teorema de Arzelà-Ascoli, concluir que es relativamente compacta en ${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$ ${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,T]}\|v(\cdot ,t)-w(\cdot ,t)\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}.}$ ${\displaystyle u_{n}=u_{n}(x,t)\subset C([0,T];L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$ ${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (t,t')\in [0,T]\times [0,T]}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \|u_{n}(\cdot ,t)-u_{n}(\cdot ,t')\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}}$ ${\displaystyle |t-t'|}$ ${\displaystyle \{x\mapsto u_{n}(x,t):n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle \{u_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N})).}$

Véase también

• Teorema de selección de Helly
• Teorema de Fréchet-Kolmogorov

Referencias

• Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Ciencia. Ist. Bolonia Cl. Ciencia. Fis. Estera. , 5 (5): 55–74.
• Arzelà, Cesare (1882–1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell'Acad. R. Delle Sci. dell'Istituto di Bolonia : 142-159.
• Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limite di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memoria della Cl. Ciencia. Fis. Estera. Nat. , 18 (3): 521–586.
• Bourbaki, Nicolas (1998), Topología general. Capítulos 5–10 , Elements of Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64563-4, Sr.  1726872.
• Dieudonné, Jean (1988), Fundamentos del análisis moderno , Academic Press, ISBN 978-0-12-215507-9
• Droniou, Jérôme; Eymard, Robert (2016), "Convergencia uniforme en el tiempo de métodos numéricos para ecuaciones parabólicas degeneradas no lineales", Numer. Math. , 132 (4): 721–766, arXiv : 2003.09067 , doi :10.1007/s00211-015-0733-6, S2CID  5287603.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Operadores lineales, volumen 1 , Wiley-Interscience.
• Fréchet, Maurice (1906), "Sur quelques point du calcul fonctionnel", Rend. Circo. Estera. Palermo , 22 : 1–74, doi :10.1007/BF03018603, hdl :10338.dmlcz/100655, S2CID  123251660.
• Teorema de Arzelà-Ascoli en Enciclopedia de Matemáticas
• Kelley, JL (1991), Topología general , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1
• Kelley, JL; Namioka, I. (1982), Espacios topológicos lineales , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90169-5
• Rudin, Walter (1976), Principios del análisis matemático , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8

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