Posteriormente se encontraron muchos otros contraejemplos. El espacio de operadores acotados en un espacio de Hilbert de dimensión infinita no tiene la propiedad de aproximación. [2] Los espacios para y (véase Espacio de sucesiones ) tienen subespacios cerrados que no tienen la propiedad de aproximación.
Definición
Se dice que un espacio vectorial topológico localmente convexo X tiene la propiedad de aproximación , si el mapa identidad puede aproximarse, uniformemente en conjuntos precompactos , mediante mapas lineales continuos de rango finito. [3]
Para un espacio localmente convexo X , las siguientes son equivalentes: [3]
X tiene la propiedad de aproximación;
el cierre de in contiene el mapa de identidad ;
es denso en ;
para cada espacio localmente convexo Y , es denso en ;
para cada espacio localmente convexo Y , es denso en ;
donde denota el espacio de operadores lineales continuos de X a Y dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos precompactos de X .
Sea un espacio de Banach y sea . Decimos que X tiene la propiedad de -aproximación ( -AP ), si, para cada conjunto compacto y cada , existe un operador de rango finito tal que , para cada , y .
Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación acotada ( PAA ), si tiene la -PA para algún .
Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación métrica ( MAP ), si es 1-AP.
Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación compacta ( CAP ), si en la definición de AP un operador de rango finito se reemplaza por un operador compacto.
Ejemplos
Todo subespacio de un producto arbitrario de espacios de Hilbert posee la propiedad de aproximación. [3] En particular,
Todo espacio de Hilbert tiene la propiedad de aproximación.
Todo límite proyectivo de los espacios de Hilbert, así como cualquier subespacio de dicho límite proyectivo, posee la propiedad de aproximación. [3]
Todo espacio de Frechet separable que contiene una base de Schauder posee la propiedad de aproximación. [3]
Todo espacio con base de Schauder tiene el AP (podemos utilizar las proyecciones asociadas a la base como las de la definición), por lo que se pueden encontrar muchos espacios con el AP. Por ejemplo, los espacios , o el espacio simétrico de Tsirelson .
^ Szankowski, A.: B(H) no tiene la propiedad de aproximación. Acta Math. 147, 89-108(1981).
^ abcde Schaefer y Wolff 1999, págs. 108-115.
Bibliografía
Bartle, RG (1977). "MR0402468 (53 #6288) (Reseña de "Un contraejemplo del problema de aproximación en espacios de Banach" de Per Enflo, Acta Mathematica 130 (1973), 309–317)". Reseñas matemáticas . MR 0402468.
Enflo, P. : Un contraejemplo de la propiedad de aproximación en espacios de Banach. Acta Math. 130, 309–317(1973).
Grothendieck, A .: Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires . Memorándum. América. Matemáticas. Soc. 16 (1955).
Paul R. Halmos , “¿Se ha ralentizado el progreso de las matemáticas?”, Amer. Math. Monthly 97 (1990), núm. 7, 561-588. MR 1066321
William B. Johnson "Espacios de Banach separables y complementablemente universales" en Robert G. Bartle (ed.), 1980 Estudios en análisis funcional , Mathematical Association of America.
Kwapień, S. "Sobre el ejemplo de Enflo de un espacio de Banach sin la propiedad de aproximación". Séminaire Goulaouic-Schwartz 1972—1973: Équations aux dérivées partielles et analyse fonctionnelle, Exp. N° 8, 9 págs. Centre de Math., École Polytech., París, 1973. MR 407569
Lindenstrauss, J. ; Tzafriri, L.: Espacios de Banach clásicos I, Espacios de secuencias, 1977.
Nedevski, P.; Trojanski, S. (1973). "P. Enflo resolvió en negativo el problema de Banach sobre la existencia de una base para cada espacio de Banach separable". Fiz.-Mat. Spis. Bulgar. Akad. Nauk . 16 (49): 134–138. MR 0458132.
Pietsch, Albrecht (2007). Historia de los espacios de Banach y los operadores lineales. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. pp. xxiv+855 pp. ISBN 978-0-8176-4367-6.Sr. 2300779 .
Cantante, Iván. Bases en espacios de Banach. II . Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucarest; Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1981. viii+880 págs. ISBN 3-540-10394-5 . Señor 610799