Teorema de convolución

Teorema en matemáticas

En matemáticas , el teorema de convolución establece que, en condiciones adecuadas, la transformada de Fourier de una convolución de dos funciones (o señales ) es el producto puntual de sus transformadas de Fourier. De manera más general, la convolución en un dominio (por ejemplo, el dominio del tiempo ) es igual a la multiplicación puntual en el otro dominio (por ejemplo, el dominio de la frecuencia ). Otras versiones del teorema de convolución son aplicables a varias transformadas relacionadas con Fourier .

Funciones de una variable continua

Considere dos funciones y con transformadas de Fourier y : ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$

donde denota el operador de transformada de Fourier . La transformada se puede normalizar de otras maneras, en cuyo caso aparecerán factores de escala constantes (normalmente o ) en el teorema de convolución siguiente. La convolución de y está definida por: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .}$

En este contexto, el asterisco indica convolución, en lugar de multiplicación estándar. En su lugar, a veces se utiliza el símbolo del producto tensorial . ${\displaystyle \otimes }$

El teorema de convolución establece que : ^{[1] [2] : eq.8}

La aplicación de la transformada inversa de Fourier produce el corolario : ^{[2] : ecuaciones 7, 10} ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1},}$

Teorema de convolución

El teorema también se aplica generalmente a funciones multidimensionales.

Este teorema también es válido para la transformada de Laplace , la transformada de Laplace bilateral y, cuando se modifica adecuadamente, para la transformada de Mellin y la transformada de Hartley (ver teorema de inversión de Mellin ). Puede extenderse a la transformada de Fourier del análisis armónico abstracto definido sobre grupos abelianos localmente compactos .

Convolución periódica (coeficientes de la serie de Fourier)

Considere funciones periódicas   y   que pueden expresarse como sumatorias periódicas : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u_{_{P}}}$ ${\displaystyle v_{_{P}},}$

${\displaystyle u_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u(x-mP)}$   y   ${\displaystyle v_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v(x-mP).}$

En la práctica, la porción distinta de cero de los componentes y a menudo están limitadas a la duración, pero nada en el teorema requiere eso. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P,}$

Los coeficientes de la serie de Fourier son:

${\displaystyle {\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

donde denota la integral de serie de Fourier . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• El producto puntual: también es periódico, y sus coeficientes de la serie de Fourier están dados por la convolución discreta de las secuencias y : ${\displaystyle u_{_{P}}(x)\cdot v_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\cdot v_{_{P}}\}[k]=\{U*V\}[k].}$

• La convolución:

${\displaystyle {\begin{aligned}\{u_{_{P}}*v\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\end{aligned}}}$

También es periódica y se denomina convolución periódica . ${\displaystyle P}$

El teorema de convolución correspondiente es :

Funciones de una variable discreta (secuencias)

Mediante una derivación similar a la ecuación 1, existe un teorema análogo para secuencias, como muestras de dos funciones continuas, donde ahora denota el operador de transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). Considere dos secuencias y con transformaciones y : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle v[n]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}$

La § Convolución discreta de y está definida por : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].}$

El teorema de convolución para secuencias discretas es : ^{[3] [4] : p.60 (2.169)}

convolución periódica

${\displaystyle U(f)}$y como se definió anteriormente, son periódicos, con un período de 1. Considere secuencias periódicas y : ${\displaystyle V(f),}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u_{_{N}}}$ ${\displaystyle v_{_{N}}}$

${\displaystyle u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]}$   y   ${\displaystyle v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Estas funciones ocurren como resultado del muestreo y a intervalos de y realizando una transformada de Fourier discreta inversa (DFT) en muestras (consulte § Muestreo de DTFT ). La convolución discreta : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1/N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m]}$

También es periódica y se denomina convolución periódica . Redefiniendo el operador como DFT de longitud, el teorema correspondiente es: ^{[5] [4] : p. 548} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle N}$

Y por lo tanto :

En las condiciones adecuadas, es posible que esta secuencia de longitud contenga un segmento de una convolución sin distorsión. Pero cuando la porción distinta de cero de la secuencia o es igual o más larga, es inevitable alguna distorsión. Tal es el caso cuando la secuencia se obtiene muestreando directamente la DTFT de la respuesta al impulso de la transformada discreta de Hilbert infinitamente larga . ^[A] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u*v}$ ${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle v(n)}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle V(k/N)}$

Para secuencias cuya duración distinta de cero es menor o igual a una simplificación final es: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle N,}$

convolución circular

Esta forma se utiliza a menudo para implementar eficientemente la convolución numérica por computadora . (ver § Algoritmos de convolución rápida y § Ejemplo )

Como recíproco parcial, se ha demostrado ^[6] que cualquier transformación lineal que convierta la convolución en un producto puntual es la DFT (hasta una permutación de coeficientes).

Teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier

También existe un teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier:

Aquí, " " representa el producto de Hadamard y " " representa una convolución entre las dos matrices. ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}}$

Teorema de convolución para distribuciones templadas.

El teorema de convolución se extiende a las distribuciones templadas . Aquí hay una distribución moderada arbitraria: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{\alpha \cdot v\}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}}$

Pero debe estar "disminuyendo rápidamente" hacia y para garantizar la existencia tanto del producto de convolución como de multiplicación. De manera equivalente, si es una función ordinaria suave de "crecimiento lento", garantiza la existencia tanto del producto de multiplicación como de convolución. ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle u=F\{\alpha \}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \alpha =F^{-1}\{u\}}$

En particular, cualquier distribución templada con soporte compacto, como el delta de Dirac , está "disminuyendo rápidamente". De manera equivalente, las funciones de banda limitada , como la función que es constante, son funciones ordinarias suaves de "crecimiento lento". Si, por ejemplo, es el peine de Dirac, ambas ecuaciones producen la fórmula de suma de Poisson y si, además, es el delta de Dirac, entonces es constantemente uno y estas ecuaciones producen la identidad del peine de Dirac . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle v\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle u\equiv \delta }$ ${\displaystyle \alpha \equiv 1}$

Ver también

• Función generadora de momento de una variable aleatoria

Notas

1. Un ejemplo es la función MATLAB , hilbert(u,N) .

Referencias

1. McGillem, Clare D.; Cooper, George R. (1984). Análisis de sistemas y señales continuas y discretas (2 ed.). Holt, Rinehart y Winston. pag. 118 (3-102). ISBN 0-03-061703-0.
2. Weisstein, Eric W. "Teorema de convolución". De MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 8 de febrero de 2021 .
3. Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Procesamiento de señales digitales: principios, algoritmos y aplicaciones (3 ed.), Nueva Jersey: Prentice-Hall International, p. 297, Bibcode : 1996dspp.book......P, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ
4. Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W .; Dólar, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.
5. Rabiner, Lawrence R .; Oro, Bernard (1975). Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc. p. 59 (2.163). ISBN 978-0139141010.
6. Amiot, Emmanuel (2016). Música a través del Espacio Fourier. Ciencia de la música computacional. Zúrich: Springer. pag. 8. doi :10.1007/978-3-319-45581-5. ISBN 978-3-319-45581-5. S2CID  6224021.
7. Horváth, John (1966). Distribuciones y espacios vectoriales topológicos . Reading, MA: Compañía editorial Addison-Wesley.
8. Barros-Neto, José (1973). Introducción a la teoría de las distribuciones . Nueva York, Nueva York: Dekker.
9. Petersen, doblado E. (1983). Introducción a la transformada de Fourier y a los operadores pseudodiferenciales . Boston, MA: Pitman Publishing.

Otras lecturas

• Katznelson, Yitzhak (1976), Introducción al análisis armónico , Dover, ISBN 0-486-63331-4
• Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), "Teorema de convolución y eficiencia asintótica", Un curso de posgrado sobre inferencia estadística , Nueva York: Springer, págs. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
• Crutchfield, Steve (9 de octubre de 2010), "The Joy of Convolution", Universidad Johns Hopkins , consultado el 19 de noviembre de 2010

Recursos adicionales

Para obtener una representación visual del uso del teorema de convolución en el procesamiento de señales , consulte:

• Simulación asistida por Java de la Universidad Johns Hopkins : http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html