Teoría de Atkin-Lehner

Parte de la teoría de las formas modulares

En matemáticas, la teoría de Atkin-Lehner es parte de la teoría de las formas modulares que describe cuándo surgen en un nivel entero dado N de tal manera que la teoría de los operadores de Hecke puede extenderse a niveles superiores.

La teoría de Atkin-Lehner se basa en el concepto de una nueva forma , que es una forma de cúspide 'nueva' en un nivel dado N , donde los niveles son los subgrupos de congruencia anidados :

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}}$

del grupo modular , con N ordenado por divisibilidad . Es decir, si M divide a N , Γ ₀ ( N ) es un subgrupo de Γ ₀ ( M ). Las antiguas formas para Γ ₀ ( N ) son aquellas formas modulares f ( τ ) de nivel N de la forma g ( d τ ) para formas modulares g de nivel M con M divisor propio de N , donde d divide a N/M . Las nuevas formas se definen como un subespacio vectorial de las formas modulares de nivel N , complementario del espacio abarcado por las antiguas formas, es decir el espacio ortogonal respecto del producto interno de Petersson .

Los operadores de Hecke , que actúan sobre el espacio de todas las formas cúspide, preservan el subespacio de las nuevas formas y son operadores autoadjuntos y conmutativos (con respecto al producto interno de Petersson) cuando se restringen a este subespacio. Por lo tanto, el álgebra de operadores sobre las nuevas formas que generan es un C*-álgebra de dimensión finita que es conmutativa; y por la teoría espectral de tales operadores, existe una base para el espacio de las nuevas formas que consiste en formas propias para el álgebra de Hecke completa .

Involuciones de Atkin-Lehner

Consideremos un divisor de Hall e de N , lo que significa que no solo e divide a N , sino que también e y N / e son primos entre sí (a menudo denotados e || N ). Si N tiene s divisores primos distintos, hay 2 ^s divisores de Hall de N ; por ejemplo, si N = 360 = 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ¹ , los 8 divisores de Hall de N son 1, 2 ³ , 3 ² , 5 ¹ , 2 ³ ⋅3 ² , 2 ³ ⋅5 ¹ , 3 ² ⋅5 ¹ y 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ¹ .

Para cada divisor de Hall e de N , elija una matriz integral W _e de la forma

${\displaystyle W_{e}={\begin{pmatrix}ae&b\\cN&de\end{pmatrix}}}$

con det W _e = e . Estas matrices tienen las siguientes propiedades:

• Los elementos W _e normalizan Γ ₀ ( N ): es decir, si A está en Γ ₀ ( N ), entonces W _e AW⁻¹
  _miestá en Γ ₀ ( N ).
• La matriz W²
  _y, que tiene determinante e ² , se puede escribir como eA donde A está en Γ ₀ ( N ). Nos interesarán los operadores sobre formas cúspide que surjan de la acción de W _e sobre Γ ₀ ( N ) por conjugación, bajo la cual tanto el escalar e como la matriz A actúan trivialmente. Por lo tanto, la igualdad W²
  _y= eA implica que la acción de W _e eleva al cuadrado la identidad; por esta razón, el operador resultante se llama involución de Atkin-Lehner .
• Si e y f son ambos divisores de Hall de N , entonces W _e y W _f conmutan módulo Γ ₀ ( N ). Además, si definimos g como el divisor de Hall g = ef /( e , f ) ² , su producto es igual a W _g módulo Γ ₀ ( N ).
• Si hubiéramos elegido una matriz diferente W ′ _e en lugar de W _e , resulta que W _e ≡ W ′ _e módulo Γ ₀ ( N ), por lo que W _e y W ′ _e determinarían la misma involución de Atkin-Lehner.

Podemos resumir estas propiedades de la siguiente manera. Consideremos el subgrupo de GL(2, Q ) generado por Γ ₀ ( N ) junto con las matrices W _e ; sea Γ ₀ ( N ) ⁺ su cociente de matrices escalares positivas. Entonces Γ ₀ ( N ) es un subgrupo normal de Γ ₀ ( N ) ⁺ de índice 2 ^s (donde s es el número de factores primos distintos de N ); el grupo cociente es isomorfo a ( Z /2 Z ) ^s y actúa sobre las formas cúspide a través de las involuciones de Atkin-Lehner.

Referencias

• Mocanu, Andreea. (2019). "Teoría de Atkin-Lehner de formas Γ1(m)-modulares"
• Atkin, AOL ; Lehner, J. (1970), "Operadores de Hecke en Γ ₀ (m)", Mathematische Annalen , 185 (2): 134–160, doi :10.1007/BF01359701, ISSN  0025-5831, MR  0268123
• Koichiro Harada (2010) "Moonshine" de grupos finitos , página 13, Sociedad Matemática Europea ISBN 978-3-03719-090-6 MR 2722318