En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un subgrupo de Hall de un grupo finito G es un subgrupo cuyo orden es coprimo con su índice . Fueron introducidos por el teórico de grupos Philip Hall (1928).
Un divisor de Hall (también llamado divisor unitario ) de un entero n es un divisor d de n tal que d y n / d son coprimos. La forma más fácil de encontrar los divisores de Hall es escribir la factorización de potencia prima del número en cuestión y tomar cualquier subconjunto de los factores. Por ejemplo, para encontrar los divisores de Hall de 60, su factorización de potencia prima es 2 2 × 3 × 5, por lo que se toma cualquier producto de 3, 2 2 = 4 y 5. Por lo tanto, los divisores de Hall de 60 son 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20 y 60.
Un subgrupo de Hall de G es un subgrupo cuyo orden es un divisor de Hall del orden de G. En otras palabras, es un subgrupo cuyo orden es coprimo con su índice.
Si π es un conjunto de primos , entonces un subgrupo π de Hall es un subgrupo cuyo orden es un producto de primos en π , y cuyo índice no es divisible por ningún primo en π .
Hall (1928) demostró que si G es un grupo finito resoluble y π es cualquier conjunto de primos, entonces G tiene un π -subgrupo de Hall, y cualesquiera dos π -subgrupos de Hall son conjugados. Además, cualquier subgrupo cuyo orden sea un producto de primos en π está contenido en algún π -subgrupo de Hall . Este resultado puede considerarse como una generalización del Teorema de Sylow a los subgrupos de Hall, pero los ejemplos anteriores muestran que tal generalización es falsa cuando el grupo no es resoluble.
La existencia de subgrupos de Hall puede demostrarse por inducción en el orden de G , usando el hecho de que cada grupo resoluble finito tiene un subgrupo abeliano elemental normal . Más precisamente, fijemos un subgrupo normal mínimo A , que es un π -grupo o un π′ -grupo ya que G es π -separable . Por inducción hay un subgrupo H de G que contiene a A tal que H / A es un π -subgrupo de Hall de G / A . Si A es un π -grupo entonces H es un π -subgrupo de Hall de G . Por otro lado, si A es un π′ -grupo , entonces por el teorema de Schur–Zassenhaus A tiene un complemento en H , que es un π -subgrupo de Hall de G .
Cualquier grupo finito que tenga un subgrupo π de Hall para cada conjunto de primos π es resoluble. Esta es una generalización del teorema de Burnside de que cualquier grupo cuyo orden sea de la forma p a q b para los primos p y q es resoluble, porque el teorema de Sylow implica que existen todos los subgrupos de Hall. Esto no proporciona (por el momento) otra prueba del teorema de Burnside, porque el teorema de Burnside se utiliza para demostrar este recíproco .
Un sistema de Sylow es un conjunto de p -subgrupos de Sylow S p para cada primo p tal que S p S q = S q S p para todo p y q . Si tenemos un sistema de Sylow, entonces el subgrupo generado por los grupos S p para p en π es un π -subgrupo de Hall . Una versión más precisa del teorema de Hall dice que cualquier grupo resoluble tiene un sistema de Sylow, y cualesquiera dos sistemas de Sylow son conjugados.
Cualquier subgrupo de Hall normal H de un grupo finito G posee un complemento , es decir, existe algún subgrupo K de G que interseca a H trivialmente y tal que HK = G (por lo que G es un producto semidirecto de H y K ). Este es el teorema de Schur–Zassenhaus .