En matemáticas , el grupo de automorfismos externos de un grupo , G , es el cociente , Aut( G )/Inn( G ) , donde Aut( G ) es el grupo de automorfismos de G e Inn( G ) es el subgrupo que consta de automorfismos internos . El grupo de automorfismo externo generalmente se denota como Out( G ) . Si Out( G ) es trivial y G tiene un centro trivial , entonces se dice que G es completo .
Un automorfismo de un grupo que no es interno se llama automorfismo externo . [1] Las clases laterales de Inn( G ) con respecto a los automorfismos externos son entonces los elementos de Out( G ) ; este es un ejemplo del hecho de que los cocientes de grupos no son, en general, (isomorfos a) subgrupos. Si el grupo de automorfismo interno es trivial (cuando un grupo es abeliano), el grupo de automorfismo y el grupo de automorfismo externo se identifican naturalmente; es decir, el grupo de automorfismo externo actúa sobre el grupo.
Por ejemplo, para el grupo alterno , An , el grupo de automorfismo externo suele ser el grupo de orden 2, con las excepciones que se indican a continuación. Considerando a An como un subgrupo del grupo simétrico , S n , la conjugación mediante cualquier permutación impar es un automorfismo externo de An o más precisamente "representa la clase del automorfismo externo (no trivial) de An " , pero el automorfismo externo el automorfismo no corresponde a la conjugación de ningún elemento impar en particular , y todas las conjugaciones de elementos impares son equivalentes hasta la conjugación de un elemento par.
La conjetura de Schreier afirma que Out( G ) es siempre un grupo resoluble cuando G es un grupo finito simple . Ahora se sabe que este resultado es verdadero como corolario de la clasificación de grupos finitos simples , aunque no se conoce una prueba más simple.
El grupo de automorfismo externo es dual al centro en el siguiente sentido: la conjugación por un elemento de G es un automorfismo, lo que produce un mapa σ : G → Aut( G ) . El núcleo del mapa de conjugación es el centro, mientras que el cokernel es el grupo de automorfismo externo (y la imagen es el grupo de automorfismo interno ). Esto se puede resumir en la secuencia exacta
El grupo de automorfismo externo de un grupo actúa sobre las clases de conjugación y, en consecuencia, sobre la tabla de caracteres . Ver detalles en la tabla de caracteres: automorfismos externos .
El grupo de automorfismo externo es importante en la topología de superficies porque existe una conexión proporcionada por el teorema de Dehn-Nielsen : el grupo de clase de mapeo extendido de la superficie es el grupo de automorfismo externo de su grupo fundamental .
Para los grupos de automorfismos externos de todos los grupos simples finitos, consulte la lista de grupos simples finitos . Los grupos simples esporádicos y los grupos alternos (distintos del grupo alterno, A 6 ; ver más abajo) tienen grupos de automorfismos externos de orden 1 o 2. El grupo de automorfismos externos de un grupo simple finito de tipo Lie es una extensión de un grupo de " automorfismos diagonales" (cíclicos excepto D n ( q ) , cuando tiene orden 4), un grupo de "automorfismos de campo" (siempre cíclicos) y un grupo de "automorfismos de grafos" (de orden 1 o 2 excepto D 4 ( q ) , cuando es el grupo simétrico en 3 puntos). Estas extensiones no siempre son productos semidirectos , como muestra el caso del grupo alterno A 6 ; En 2003 se dio un criterio preciso para que esto sucediera. [2]
[ cita necesaria ]
El grupo de automorfismo externo de un grupo finito simple en alguna familia infinita de grupos finitos simples casi siempre puede darse mediante una fórmula uniforme que funcione para todos los elementos de la familia. Solo hay una excepción a esto: [3] el grupo alterno A 6 tiene un grupo de automorfismo externo de orden 4, en lugar de 2 como lo hacen los otros grupos alternos simples (dados por conjugación mediante una permutación impar ). De manera equivalente, el grupo simétrico S 6 es el único grupo simétrico con un grupo de automorfismo externo no trivial.
Tenga en cuenta que, en el caso de G = A 6 = PSL(2, 9) , la secuencia 1 ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1 no se divide. Un resultado similar es válido para cualquier PSL(2, q 2 ) , q impar.
Sea ahora G un grupo reductivo conexo sobre un campo algebraicamente cerrado . Entonces, dos subgrupos de Borel cualesquiera se conjugan mediante un automorfismo interno, por lo que para estudiar los automorfismos externos basta con considerar los automorfismos que fijan un subgrupo de Borel determinado. Asociado al subgrupo Borel hay un conjunto de raíces simples , y el automorfismo externo puede permutarlas, preservando al mismo tiempo la estructura del diagrama de Dynkin asociado . De esta manera se puede identificar el grupo de automorfismos del diagrama de Dynkin de G con un subgrupo de Out( G ) .
D 4 tiene un diagrama de Dynkin muy simétrico, que produce un gran grupo de automorfismos externos de Spin(8) , a saber, Out(Spin(8)) = S 3 ; esto se llama prueba .
La interpretación anterior de los automorfismos externos como simetrías de un diagrama de Dynkin se deriva del hecho general de que, para un álgebra de Lie compleja o real simple, 𝔤 , el grupo de automorfismos Aut( 𝔤 ) es un producto semidirecto de Inn( 𝔤 ) y Out( 𝔤 ) ; es decir, la secuencia corta exacta
divisiones. En el caso simple y complejo, este es un resultado clásico, [4] mientras que para álgebras de Lie realmente simples, este hecho se demostró en fecha tan reciente como 2010. [5]
El término automorfismo externo se presta a juegos de palabras : el término automorfismo externo a veces se usa para automorfismo externo , y una geometría particular sobre la cual actúa Out( F n ) se llama espacio exterior .
