En matemáticas , en particular en la teoría de las formas modulares , un operador de Hecke , estudiado por Erich Hecke (1937a, 1937b), es un cierto tipo de operador "promediador" que desempeña un papel importante en la estructura de los espacios vectoriales de formas modulares y representaciones automorfas más generales .
Mordell (1917) utilizó operadores de Hecke en formas modulares en un artículo sobre la forma de cúspide especial de Ramanujan , adelantándose a la teoría general dada por Hecke (1937a, 1937b). Mordell demostró que la función tau de Ramanujan , expresando los coeficientes de la forma de Ramanujan,
es una función multiplicativa :
La idea se remonta a trabajos anteriores de Adolf Hurwitz , quien trató las correspondencias algebraicas entre curvas modulares que realizan algunos operadores de Hecke individuales.
Los operadores de Hecke se pueden implementar en varios contextos. El significado más simple es combinatorio, es decir, tomar para un número entero dado n alguna función f ( Λ ) definida en las redes de rango fijo para
con la suma tomada sobre todos los Λ′ que son subgrupos de Λ de índice n . Por ejemplo, con n=2 y dos dimensiones, hay tres de esos Λ′ . Las formas modulares son tipos particulares de funciones de una red, sujetas a condiciones que las hacen funciones analíticas y homogéneas con respecto a las homotecias , así como a un crecimiento moderado en el infinito; estas condiciones se preservan mediante la suma, por lo que los operadores de Hecke preservan el espacio de formas modulares de un peso determinado.
Otra forma de expresar los operadores Hecke es mediante clases laterales dobles en el grupo modular . En el enfoque adélico contemporáneo , esto se traduce en clases laterales dobles con respecto a algunos subgrupos compactos.
Sea M m el conjunto de matrices integrales 2×2 con determinante m y Γ = M 1 sea el grupo modular completo SL (2, Z ) . Dada una forma modular f ( z ) de peso k , el m -ésimo operador de Hecke actúa según la fórmula
donde z está en el semiplano superior y la constante de normalización m k −1 asegura que la imagen de una forma con coeficientes de Fourier enteros tenga coeficientes de Fourier enteros. Esto se puede reescribir en la forma
lo que lleva a la fórmula de los coeficientes de Fourier de T m ( f ( z )) = Σ b n q n en términos de los coeficientes de Fourier de f ( z ) = Σ a n q n :
Se puede ver en esta fórmula explícita que los operadores de Hecke con diferentes índices conmutan y que si a 0 = 0 entonces b 0 = 0 , los operadores de Hecke preservan el subespacio S k de las formas cúspides de peso k . Si una forma de cúspide (distinta de cero) f es una forma propia simultánea de todos los operadores de Hecke T m con valores propios λ m , entonces a m = λ m a 1 y a 1 ≠ 0 . Las formas propias de Hecke están normalizadas de modo que a 1 = 1 , entonces
Por lo tanto, para las formas propias de Hecke cúspides normalizadas de peso entero, sus coeficientes de Fourier coinciden con sus valores propios de Hecke.
Las álgebras de operadores de Hecke se denominan "álgebras de Hecke" y son anillos conmutativos . En la teoría clásica de la forma modular elíptica , los operadores de Hecke T n con n coprimo al nivel que actúa sobre el espacio de las formas cúspides de un peso dado son autoadjuntos con respecto al producto interno de Petersson . Por tanto, el teorema espectral implica que existe una base de formas modulares que son funciones propias de estos operadores de Hecke. Cada una de estas formas básicas posee un producto de Euler . Más precisamente, su transformada de Mellin es la serie de Dirichlet que tiene productos de Euler con el factor local para cada primo p es la inversa [ se necesita aclaración ] del polinomio de Hecke , un polinomio cuadrático en p − s . En el caso tratado por Mordell, el espacio de las formas cúspides de peso 12 con respecto al grupo modular completo es unidimensional. De ello se deduce que la forma de Ramanujan tiene un producto de Euler y establece la multiplicatividad de τ ( n ) .
Otros anillos matemáticos relacionados también se denominan "álgebras de Hecke", aunque a veces el vínculo con los operadores de Hecke no es del todo obvio. Estas álgebras incluyen ciertos cocientes de las álgebras grupales de grupos trenzados . La presencia de este álgebra de operadores conmutativos juega un papel importante en el análisis armónico de formas modulares y generalizaciones.
