Función tau de Ramanujan

Valores de | τ ( n ) | para n < 16.000 con una escala logarítmica. La línea azul selecciona únicamente los valores de n que son múltiplos de 121.

La función tau de Ramanujan , estudiada por Ramanujan  (1916), es la función definida por la siguiente identidad: ${\displaystyle \tau :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q\phi (q)^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),}$

donde q = exp(2 πiz ) con Im z > 0 , es la función de Euler , η es la función eta de Dedekind , y la función Δ( z ) es una forma cúspide holomorfa de peso 12 y nivel 1, conocida como la forma modular discriminante (algunos autores, en particular Apostol , escriben en lugar de ). Aparece en conexión con un "término de error" involucrado en el conteo del número de formas de expresar un entero como una suma de 24 cuadrados. Una fórmula debida a Ian G. Macdonald fue dada en Dyson (1972). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta /(2\pi )^{12}}$ ${\displaystyle \Delta }$

Valores

Los primeros valores de la función tau se dan en la siguiente tabla (secuencia A000594 en la OEIS ):

Calcular esta función en un número cuadrado impar (es decir, un número octogonal centrado ) da como resultado un número impar, mientras que para cualquier otro número la función da como resultado un número par. ^[1]

Las conjeturas de Ramanujan

Ramanujan (1916) observó, pero no demostró, las siguientes tres propiedades de τ ( n ) :

• τ ( mn ) = τ ( m ) τ ( n ) si mcd( m , n ) = 1 (lo que significa que τ ( n ) es una función multiplicativa )
• τ ( p ^{r + 1} ) = τ ( p ) τ ( p ^r ) − p ¹¹ τ ( p ^{r − 1} ) para p primo y r > 0 .
• | τ ( p ) | ≤ 2 p ^11/2 para todos los primos p .

Las dos primeras propiedades fueron demostradas por Mordell (1917) y la tercera, llamada conjetura de Ramanujan , fue demostrada por Deligne en 1974 como consecuencia de su demostración de las conjeturas de Weil (en concreto, la dedujo aplicándolas a una variedad de Kuga-Sato).

Congruencias para la función tau

Para k ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ y n ∈ _>0 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , la función divisor σ _k ( n ) es la suma de las k ésimas potencias de los divisores de n . La función tau satisface varias relaciones de congruencia; muchas de ellas pueden expresarse en términos de σ _k ( n ) . A continuación se presentan algunas: ^[2]

1. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8}$^[3]
2. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}$^[3]
3. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}$^[3]
4. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}$^[3]
5. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3}$^[4]
6. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3}$^[4]
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5}$^[5]
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7}$^[6]
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7}$^[6]
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.}$^[7]

Para p ≠ 23 primo, tenemos ^{[2] [8]}

11. ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}$
12. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}}$^[9]
13. ${\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.}$

Fórmula explícita

En 1975 Douglas Niebur demostró una fórmula explícita para la función tau de Ramanujan: ^[10]

${\displaystyle \tau (n)=n^{4}\sigma (n)-24\sum _{i=1}^{n-1}i^{2}(35i^{2}-52in+18n^{2})\sigma (i)\sigma (n-i).}$

donde σ( n ) es la suma de los divisores positivos de n .

Conjeturas sobreτ(norte)

Supongamos que f es una nueva forma de entero ponderado -k y que los coeficientes de Fourier a ( n ) son enteros. Consideremos el problema:

Dado que f no tiene multiplicación compleja , ¿casi todos los primos p tienen la propiedad de que a ( p ) ≢ 0 (mod p ) ?

De hecho, la mayoría de los primos deberían tener esta propiedad, y por eso se les llama ordinarios . A pesar de los grandes avances de Deligne y Serre en las representaciones de Galois, que determinan a ( n ) (mod p ) para n coprimos con p , no está claro cómo calcular a ( p ) (mod p ) . El único teorema a este respecto es el famoso resultado de Elkies para curvas elípticas modulares, que garantiza que hay infinitos primos p tales que a ( p ) = 0 , que por tanto son congruentes con 0 módulo p . No hay ejemplos conocidos de f no-CM con peso mayor que 2 para los que a ( p ) ≢ 0 (mod p ) para infinitos primos p (aunque debería ser cierto para casi todos los p ). Tampoco hay ejemplos conocidos con a ( p ) ≡ 0 (mod p ) para infinitos p . Algunos investigadores habían comenzado a dudar de si a ( p ) ≡ 0 (mod p ) para una cantidad infinita de p . Como evidencia, muchos proporcionaron la τ ( p ) de Ramanujan (caso de peso 12). Las únicas soluciones hasta 10 ¹⁰ para la ecuación τ ( p ) ≡ 0 (mod p ) son 2, 3, 5, 7, 2411 y7 758 337 633 (secuencia A007659 en la OEIS ). ^[11]

Lehmer (1947) conjeturó que τ ( n ) ≠ 0 para todo n , una afirmación a veces conocida como la conjetura de Lehmer. Lehmer verificó la conjetura para n hasta214 928 639 999 (Apostol 1997, p. 22). La siguiente tabla resume el progreso en la búsqueda de valores sucesivamente mayores de N para los cuales esta condición se cumple para todo n ≤ N .

De Ramanujanyo-función

La función L de Ramanujan está definida por

${\displaystyle L(s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}}$

Si y por continuación analítica en caso contrario. Satisface la ecuación funcional ${\displaystyle \Re s>6}$

${\displaystyle {\frac {L(s)\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}={\frac {L(12-s)\Gamma (12-s)}{(2\pi )^{12-s}}},\quad s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-},\,12-s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$

y tiene el producto de Euler

${\displaystyle L(s)=\prod _{p\,{\text{prime}}}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}},\quad \Re s>7.}$

Ramanujan conjeturó que todos los ceros no triviales de tienen una parte real igual a . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 6}$

Notas

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A016754 (Cuadrados impares: (2n-1)^2. También números octagonales centrados.)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. Página 4 de Swinnerton-Dyer 1973
3. Debido a Kolberg 1962
4. Debido a Ashworth 1968
5. Debido a Lahivi
6. Gracias a DH Lehmer
7. Debido a Ramanujan 1916
8. Debido a Wilton 1930
9. Debido a J.-P. Serre 1968, Sección 4.5
10. Niebur, Douglas (septiembre de 1975). "Una fórmula para la función $\tau$ de Ramanujan". Illinois Journal of Mathematics . 19 (3): 448–449. doi : 10.1215/ijm/1256050746 . ISSN  0019-2082.
11. N. Lygeros y O. Rozier (2010). "Una nueva solución para la ecuación τ ( p ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle \tau (p)\equiv 0{\pmod {p}}}" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 13 : Artículo 10.7.4.

Referencias

• Apostol, TM (1997), "Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números", Nueva York: Springer-Verlag 2da Ed.
• Ashworth, MH (1968), Congruencia y propiedades idénticas de formas modulares (Tesis de doctorado, Oxford)
• Dyson, FJ (1972), "Oportunidades perdidas", Bull. Amer. Math. Soc. , 78 (5): 635–652, doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12971-9 , Zbl  0271.01005
• Kolberg, O. (1962), "Congruencias para la función τ( n ) de Ramanujan", Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11), MR  0158873, Zbl  0168.29502
• Lehmer, DH (1947), "La desaparición de la función τ (n) de Ramanujan", Duke Math. J. , 14 (2): 429–433, doi :10.1215/s0012-7094-47-01436-1, Zbl  0029.34502
• Lygeros, N. (2010), "Una nueva solución para la ecuación τ(p) ≡ 0 (mod p)" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 13 : Artículo 10.7.4
• Mordell, Louis J. (1917), "Sobre las expansiones empíricas de las funciones modulares del Sr. Ramanujan", Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 19 : 117–124, JFM  46.0605.01
• Newman, M. (1972), Una tabla de τ (p) módulo p, p primo, 3 ≤ p ≤ 16067 , Oficina Nacional de Normas
• Rankin, Robert A. (1988), "La función tau de Ramanujan y sus generalizaciones", en Andrews, George E. (ed.), Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Boston, MA: Academic Press , pp. 245–268, ISBN 978-0-12-058560-1, Sr.  0938968
• Ramanujan, Srinivasa (1916), "Sobre ciertas funciones aritméticas", Trans. Camb. Philos. Soc. , 22 (9): 159–184, MR  2280861
• Serre, JP. (1968), "Una interpretación de las congruencias relativas a la función τ {\displaystyle \tau } de Ramanujan", Séminaire Delange-Pisot-Poitou , 14
• Swinnerton-Dyer, HPF (1973), "Sobre representaciones l -ádicas y congruencias para coeficientes de formas modulares", en Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre (eds.), Funciones modulares de una variable, III , Lecture Notes in Mathematics, vol. 350, págs. 1–55, doi :10.1007/978-3-540-37802-0, ISBN 978-3-540-06483-1, Sr.  0406931
• Wilton, JR (1930), "Propiedades de congruencia de la función de Ramanujan τ( n )", Actas de la London Mathematical Society , 31 : 1–10, doi :10.1112/plms/s2-31.1.1