número primo

Número divisible solo por 1 o por sí mismo

Los números compuestos se pueden ordenar en rectángulos , pero los números primos no.

Un número primo (o primo ) es un número natural mayor que 1 que no es producto de dos números naturales más pequeños. Un número natural mayor que 1 que no es primo se llama número compuesto . Por ejemplo, 5 es primo porque las únicas formas de escribirlo como producto, 1 × 5 o 5 × 1 , involucran al 5 mismo. Sin embargo, 4 es compuesto porque es un producto (2 × 2) en el que ambos números son menores que 4. Los primos son centrales en la teoría de números debido al teorema fundamental de la aritmética : todo número natural mayor que 1 es un primo en sí mismo o se puede factorizar como un producto de números primos que es único hasta su orden.

La propiedad de ser primo se llama primalidad . Un método simple pero lento para verificar la primalidad de un número dado , llamado división de prueba , prueba si es múltiplo de cualquier número entero entre 2 y . Los algoritmos más rápidos incluyen la prueba de primalidad de Miller-Rabin , que es rápida pero tiene una pequeña posibilidad de error, y la prueba de primalidad de AKS , que siempre produce la respuesta correcta en tiempo polinómico pero es demasiado lenta para ser práctica. Hay métodos especialmente rápidos disponibles para números de formas especiales, como los números de Mersenne . En diciembre de 2018, el número primo más grande conocido es un primo de Mersenne con 24.862.048 dígitos decimales . ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$^[actualizar]

Hay infinitos números primos, como lo demostró Euclides alrededor del año 300 a.C. Ninguna fórmula simple conocida separa los números primos de los números compuestos. Sin embargo, la distribución de los números primos dentro de los números naturales en general se puede modelar estadísticamente. El primer resultado en esa dirección es el teorema de los números primos , demostrado a finales del siglo XIX, que dice que la probabilidad de que un número grande elegido al azar sea primo es inversamente proporcional a su número de dígitos, es decir, a su logaritmo .

Varias cuestiones históricas relativas a los números primos siguen sin resolverse. Entre ellas se incluyen la conjetura de Goldbach , de que todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos primos, y la conjetura de los primos gemelos , de que existen infinitos pares de primos que difieren en dos. Estas preguntas estimularon el desarrollo de varias ramas de la teoría de números, centrándose en los aspectos analíticos o algebraicos de los números. Los números primos se utilizan en varias rutinas de la tecnología de la información , como la criptografía de clave pública , que se basa en la dificultad de factorizar números grandes en sus factores primos. En álgebra abstracta , los objetos que se comportan de forma generalizada como números primos incluyen elementos primos e ideales primos .

Definición y ejemplos

Un número natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) se llama número primo (o primo ) si es mayor que 1 y no puede escribirse como el producto de dos números naturales más pequeños. Los números mayores que 1 que no son primos se llaman números compuestos . ^[2] En otras palabras, es primo si los elementos no se pueden dividir en grupos más pequeños del mismo tamaño de más de un elemento, ^[3] o si no es posible organizar los puntos en una cuadrícula rectangular que tenga más de un punto de ancho. y más de un punto de altura. ^[4] Por ejemplo, entre los números del 1 al 6, los números 2, 3 y 5 son los números primos, ^[5] ya que no hay otros números que los dividan uniformemente (sin resto). 1 no es primo, ya que está específicamente excluido en la definición. 4 = 2 × 2 y 6 = 2 × 3 son ambos compuestos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Demostración, con varillas de Cuisenaire , de que 7 es primo, porque ninguno de 2, 3, 4, 5 o 6 lo divide exactamente

Los divisores de un número natural son los números naturales que se dividen de manera uniforme. Todo número natural tiene como divisor al 1 y a sí mismo. Si tiene algún otro divisor, no puede ser primo. Esto lleva a una definición equivalente de números primos: son los números que tienen exactamente dos divisores positivos . Esos dos son 1 y el número mismo. Como 1 tiene un solo divisor, él mismo, no es primo según esta definición. ^[6] Otra forma más de expresar lo mismo es que un número es primo si es mayor que uno y si ninguno de los números se divide uniformemente. ^[7] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}$ ${\displaystyle n}$

Los primeros 25 números primos (todos los números primos menores que 100) son: ^[8]

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 ( secuencia A000040 en el OEIS ).

Ningún número par mayor que 2 es primo porque dicho número puede expresarse como producto . Por lo tanto, todo número primo distinto de 2 es un número impar , y se llama primo impar . ^[9] De manera similar, cuando se escriben en el sistema decimal habitual , todos los números primos mayores que 5 terminan en 1, 3, 7 o 9. Los números que terminan con otros dígitos son todos compuestos: números decimales que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8 son pares y los números decimales que terminan en 0 o 5 son divisibles por 5. ^[10] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\times n/2}$

El conjunto de todos los números primos a veces se indica con (una P mayúscula en negrita ) ^[11] o mediante (una P mayúscula en negrita de pizarra ). ^[12] ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Historia

El papiro matemático de Rhind

El Papiro Matemático de Rhind , de alrededor de 1550 a.C., tiene expansiones de fracciones egipcias de diferentes formas para números primos y compuestos. ^[13] Sin embargo, los registros más antiguos que se conservan del estudio de los números primos provienen de los antiguos matemáticos griegos , quienes los llamaron prōtos arithmòs ( πρῶτος ἀριθμὸς ). Los Elementos de Euclides (c. 300 a. C.) prueban la infinitud de los números primos y el teorema fundamental de la aritmética , y muestran cómo construir un número perfecto a partir de un número primo de Mersenne . ^[14] Otro invento griego, el tamiz de Eratóstenes , todavía se utiliza para construir listas de números primos. ^{[15] [16]}

Alrededor del año 1000 d.C., el matemático islámico Ibn al-Haytham (Alhazen) encontró el teorema de Wilson , que caracteriza a los números primos como los números que dividen uniformemente . También conjeturó que todos los números pares perfectos provienen de la construcción de Euclides utilizando números primos de Mersenne, pero no pudo demostrarlo. ^[17] Otro matemático islámico, Ibn al-Banna' al-Marrakushi , observó que la criba de Eratóstenes puede acelerarse considerando sólo los divisores primos hasta la raíz cuadrada del límite superior. ^[16] Fibonacci llevó las innovaciones de las matemáticas islámicas a Europa. Su libro Liber Abaci (1202) fue el primero en describir la división de prueba para probar la primalidad, nuevamente usando divisores solo hasta la raíz cuadrada. ^[dieciséis] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)!+1}$

En 1640, Pierre de Fermat enunció (sin demostrarlo) el pequeño teorema de Fermat (posteriormente demostrado por Leibniz y Euler ). ^[18] Fermat también investigó la primalidad de los números de Fermat , ^[19] y Marin Mersenne estudió los primos de Mersenne , números primos de la forma con él mismo un primo. ^[20] Christian Goldbach formuló la conjetura de Goldbach , de que todo número par es la suma de dos primos, en una carta de 1742 a Euler. ^[21] Euler demostró la conjetura de Alhazen (ahora teorema de Euclides-Euler ) de que todos los números pares perfectos pueden construirse a partir de números primos de Mersenne. ^[14] Introdujo métodos del análisis matemático en esta área en sus pruebas de la infinitud de los números primos y la divergencia de la suma de los recíprocos de los números primos . ^[22] A principios del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron que, cuando tiende al infinito, el número de números primos hasta es asintótico con , donde es el logaritmo natural de . Una consecuencia más débil de esta alta densidad de números primos fue el postulado de Bertrand , de que para cada cosa hay un número primo entre y , demostrado en 1852 por Pafnuty Chebyshev . ^[23] Las ideas de Bernhard Riemann en su artículo de 1859 sobre la función zeta esbozaron un esquema para probar la conjetura de Legendre y Gauss. Aunque la hipótesis de Riemann, estrechamente relacionada , sigue sin demostrarse, el esquema de Riemann fue completado en 1896 por Hadamard y de la Vallée Poussin , y el resultado se conoce ahora como teorema de los números primos . ^[24] Otro resultado importante del siglo XIX fue el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , que ciertas progresiones aritméticas contienen infinitos números primos. ^[25] ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x/\log x}$ ${\displaystyle \log x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$

Muchos matemáticos han trabajado en pruebas de primalidad para números mayores que aquellos en los que la división de pruebas es prácticamente aplicable. Los métodos que están restringidos a formas numéricas específicas incluyen la prueba de Pépin para los números de Fermat (1877), ^[26] el teorema de Proth (c. 1878), ^[27] la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer (que se originó en 1856) y la prueba de primalidad generalizada de Lucas . ^[dieciséis]

Desde 1951, todos los números primos más grandes conocidos se han encontrado utilizando estas pruebas en computadoras . ^[a] La búsqueda de números primos cada vez más grandes ha generado interés fuera de los círculos matemáticos, a través de la Gran Búsqueda de Internet Mersenne Prime y otros proyectos de computación distribuida . ^{[8] [29]} La idea de que los números primos tenían pocas aplicaciones fuera de las matemáticas puras ^[b] se hizo añicos en la década de 1970 cuando se inventaron la criptografía de clave pública y el criptosistema RSA , utilizando números primos como base. ^[32]

La creciente importancia práctica de las pruebas de primalidad y la factorización computarizadas llevaron al desarrollo de métodos mejorados capaces de manejar grandes números de formas sin restricciones. ^{[15] [33] [34]} La teoría matemática de los números primos también avanzó con el teorema de Green-Tao (2004) de que hay progresiones aritméticas arbitrariamente largas de números primos, y la prueba de Yitang Zhang de 2013 de que existen infinitos espacios primos de tamaño acotado. ^[35]

Primalidad de uno

La mayoría de los primeros griegos ni siquiera consideraban que 1 fuera un número, ^{[36] [37]} por lo que no podían considerar su primalidad. Algunos eruditos de la tradición griega y romana posterior, incluidos Nicómaco , Jámblico , Boecio y Casiodoro , también consideraron que los números primos eran una subdivisión de los números impares, por lo que tampoco consideraron que 2 fuera primo. Sin embargo, Euclides y la mayoría de los demás matemáticos griegos consideraban que 2 era primo. Los matemáticos islámicos medievales siguieron en gran medida a los griegos al considerar que 1 no era un número. ^[36] En la Edad Media y el Renacimiento, los matemáticos comenzaron a tratar el 1 como un número, y algunos de ellos lo incluyeron como el primer número primo. ^[38] A mediados del siglo XVIII, Christian Goldbach enumeró el 1 como número primo en su correspondencia con Leonhard Euler ; sin embargo, el propio Euler no consideró que 1 fuera primo. ^[39] En el siglo XIX, muchos matemáticos todavía consideraban que 1 era primo, ^{[40] y} hasta 1956 se seguían publicando listas de primos que incluían 1. ^{[41] [42]}

Si se cambiara la definición de número primo para llamar a 1 primo, muchas afirmaciones que involucran números primos necesitarían reformularse de una manera más incómoda. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética necesitaría reformularse en términos de factorizaciones en números primos mayores que 1, porque cada número tendría múltiples factorizaciones con cualquier número de copias de 1. ^[40] De manera similar, el tamiz de Eratóstenes no funcionaría. correctamente si manejara 1 como primo, porque eliminaría todos los múltiplos de 1 (es decir, todos los demás números) y generaría sólo el número 1. ^[42] Algunas otras propiedades más técnicas de los números primos tampoco se cumplen para el número 1: por ejemplo, las fórmulas para la función totiente de Euler o para la función de suma de divisores son diferentes para los números primos que para 1. ^[43] A principios del siglo XX, los matemáticos comenzaron a estar de acuerdo en que 1 no debería figurar como primo, sino más bien en su propia categoría especial como " unidad ". ^[40]

Propiedades elementales

Factorización única

Escribir un número como producto de números primos se llama factorización prima del número. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}34866&=2\times 3\times 3\times 13\times 149\\&=2\times 3^{2}\times 13\times 149.\end{aligned}}}$

Los términos del producto se llaman factores primos . El mismo factor primo puede ocurrir más de una vez; este ejemplo tiene dos copias del factor primo. Cuando un número primo ocurre varias veces, la exponenciación se puede utilizar para agrupar varias copias del mismo número primo: por ejemplo, en la segunda forma de escribir el producto anterior, denota el cuadrado o la segunda potencia. de ${\displaystyle 3.}$ ${\displaystyle 3^{2}}$ ${\displaystyle 3.}$

La importancia central de los números primos para la teoría de números y las matemáticas en general surge del teorema fundamental de la aritmética . ^[44] Este teorema establece que todo número entero mayor que 1 puede escribirse como producto de uno o más números primos. Más concretamente, este producto es único en el sentido de que dos factorizaciones primos cualesquiera del mismo número tendrán el mismo número de copias de los mismos primos, aunque su ordenamiento pueda diferir. ^[45] Entonces, aunque hay muchas formas diferentes de encontrar una factorización usando un algoritmo de factorización de enteros , todas deben producir el mismo resultado. Por tanto, los números primos pueden considerarse los "elementos básicos" de los números naturales. ^[46]

Algunas pruebas de la unicidad de las factorizaciones primas se basan en el lema de Euclides : Si es un número primo y divide un producto de números enteros y luego divide o divide (o ambos). ^[47] Por el contrario, si un número tiene la propiedad de que cuando divide un producto siempre divide al menos un factor del producto, entonces debe ser primo. ^[48] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Infinitud

Hay infinitos números primos. Otra forma de decir esto es que la secuencia

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

de números primos nunca termina. Esta afirmación se denomina teorema de Euclides en honor al antiguo matemático griego Euclides , ya que a él se le atribuye la primera prueba conocida de esta afirmación. Se conocen muchas más pruebas de la infinitud de los números primos, incluida una prueba analítica de Euler , la prueba de Goldbach basada en números de Fermat , ^{[49] la prueba} de Furstenberg usando topología general , ^[50] y la elegante prueba de Kummer . ^[51]

La prueba de Euclides ^[52] muestra que toda lista finita de números primos es incompleta. La idea clave es multiplicar los números primos en cualquier lista dada y sumarlos. Si la lista consta de números primos, esto da el número ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},}$

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}$

Según el teorema fundamental, tiene una factorización prima. ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}$

con uno o más factores primos. es divisible por cada uno de estos factores, pero tiene un resto de uno cuando se divide por cualquiera de los números primos en la lista dada, por lo que ninguno de los factores primos de puede estar en la lista dada. Como no existe una lista finita de todos los números primos, debe haber infinitos números primos. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Los números formados sumando uno a los productos de los primos más pequeños se llaman números de Euclides . ^[53] Los cinco primeros son primos, pero el sexto,

${\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}$

es un número compuesto.

Fórmulas para números primos

No se conoce ninguna fórmula eficiente para los números primos. Por ejemplo, no existe ningún polinomio no constante , ni siquiera en varias variables, que tome sólo valores primos. ^[54] Sin embargo, existen numerosas expresiones que codifican todos los números primos, o sólo los números primos. Una posible fórmula se basa en el teorema de Wilson y genera el número 2 muchas veces y todos los demás primos exactamente una vez. ^[55] También hay un conjunto de ecuaciones diofánticas en nueve variables y un parámetro con la siguiente propiedad: el parámetro es primo si y sólo si el sistema de ecuaciones resultante tiene solución sobre los números naturales. Esto se puede utilizar para obtener una fórmula única con la propiedad de que todos sus valores positivos son primos. ^[54]

Otros ejemplos de fórmulas generadoras de primos provienen del teorema de Mills y de un teorema de Wright . Estos afirman que existen constantes reales y tales que ${\displaystyle A>1}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

son primos para cualquier número natural en la primera fórmula y cualquier número de exponentes en la segunda fórmula. ^[56] Aquí se representa la función piso , el mayor entero menor o igual al número en cuestión. Sin embargo, estos no son útiles para generar números primos, ya que los números primos deben generarse primero para poder calcular los valores de o ^[54] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu .}$

Preguntas abiertas

Se han planteado muchas conjeturas sobre los números primos. Muchas de estas conjeturas, que a menudo tienen una formulación elemental, han resistido la prueba durante décadas: los cuatro problemas de Landau de 1912 aún están sin resolver. ^[57] Una de ellas es la conjetura de Goldbach , que afirma que todo número par mayor que 2 puede escribirse como una suma de dos primos. ^[58] A partir de 2014 , esta conjetura se ha verificado para todos los números hasta ^[59] Se han demostrado afirmaciones más débiles que esta, por ejemplo, el teorema de Vinogradov dice que cada entero impar suficientemente grande se puede escribir como una suma de tres primos. ^[60] El teorema de Chen dice que todo número par suficientemente grande puede expresarse como la suma de un primo y un semiprimo (el producto de dos primos). ^[61] Además, cualquier número entero par mayor que 10 se puede escribir como la suma de seis números primos. ^[62] La rama de la teoría de números que estudia tales cuestiones se llama teoría de números aditiva . ^[63] ${\displaystyle n}$^[update] ${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}.}$

Otro tipo de problema tiene que ver con las brechas entre números primos , las diferencias entre números primos consecutivos. La existencia de espacios entre primos arbitrariamente grandes se puede ver al observar que la secuencia consta de números compuestos, para cualquier número natural ^[64] . Sin embargo, los espacios entre primos grandes ocurren mucho antes de lo que muestra este argumento. ^[65] Por ejemplo, el primer espacio entre primos de longitud 8 está entre los primos 89 y 97, ^[66] mucho más pequeño que Se conjetura que hay infinitos primos gemelos , pares de primos con diferencia 2; ésta es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura de Polignac establece de manera más general que para cada número entero positivo hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren por ^[67] la conjetura de Andrica , ^[67] la conjetura de Brocard , ^[68] la conjetura de Legendre , ^[69] y la conjetura de Oppermann ^[68], todas sugieren que las brechas más grandes entre los números primos de a deberían ser, como máximo, aproximadamente un resultado que se sabe que se deriva de la hipótesis de Riemann, mientras que la conjetura de Cramér, mucho más fuerte , establece el tamaño de la brecha más grande en ^[67] Las brechas de primos se pueden generalizar a tuplas de primos , patrones en las diferencias entre más de dos números primos. Su infinitud y densidad son el tema de la primera conjetura de Hardy-Littlewood , que puede estar motivada por la heurística de que los números primos se comportan de manera similar a una secuencia aleatoria de números con densidad dada por el teorema de los números primos. ^[70] ${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 8!=40320.}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle 2k.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}},}$ ${\displaystyle O((\log n)^{2}).}$ ${\displaystyle k}$

Propiedades analíticas

La teoría analítica de números estudia la teoría de números a través de la lente de funciones continuas , límites , series infinitas y las matemáticas relacionadas de lo infinito y lo infinitesimal .

Esta área de estudio comenzó con Leonhard Euler y su primer gran resultado, la solución al problema de Basilea . El problema pedía el valor de la suma infinita que hoy puede reconocerse como el valor de la función zeta de Riemann . Esta función está estrechamente relacionada con los números primos y con uno de los problemas no resueltos más importantes de las matemáticas, la hipótesis de Riemann . Euler lo demostró . ^[71] El recíproco de este número, , es la probabilidad límite de que dos números aleatorios seleccionados uniformemente de un rango grande sean relativamente primos (no tengan factores en común). ^[72] ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,}$ ${\displaystyle \zeta (2)}$ ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$ ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

La distribución de los primos en los grandes, como la pregunta de cuántos primos son más pequeños que un umbral grande dado, se describe mediante el teorema de los números primos , pero no se conoce ninguna fórmula eficiente para el -ésimo primo . ${\displaystyle n}$El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , en su forma básica, afirma que los polinomios lineales

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

con números enteros relativamente primos y tomar infinitos valores primos. Las formas más fuertes del teorema establecen que la suma de los recíprocos de estos valores primos diverge y que diferentes polinomios lineales con los mismos tienen aproximadamente las mismas proporciones de primos. Aunque se han formulado conjeturas sobre las proporciones de números primos en polinomios de grado superior, aún no se han demostrado y se desconoce si existe un polinomio cuadrático que (para argumentos enteros) sea primo infinitamente veces. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Prueba analítica del teorema de Euclides

La prueba de Euler de que hay infinitos números primos considera las sumas de los recíprocos de los números primos,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}$

Euler demostró que, para cualquier número real arbitrario , existe un primo para el cual esta suma es mayor que . ^[73] Esto muestra que hay infinitos números primos, porque si hubiera un número finito de números primos, la suma alcanzaría su valor máximo en el número primo más grande en lugar de crecer más allá de cada . La tasa de crecimiento de esta suma se describe con mayor precisión en el segundo teorema de Mertens . ^[74] A modo de comparación, la suma ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$

no crece hasta el infinito cuando llega al infinito (ver el problema de Basilea ). En este sentido, los números primos aparecen con más frecuencia que los cuadrados de los números naturales, aunque ambos conjuntos son infinitos. ^[75] El teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de primos gemelos , ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots ,}$

es finito. Debido al teorema de Brun, no es posible utilizar el método de Euler para resolver la conjetura de los primos gemelos , de que existen infinitos primos gemelos. ^[75]

Número de números primos por debajo de un límite dado

"El error relativo y la integral logarítmica como aproximaciones a la función de conteo de primos ". Ambos errores relativos disminuyen a cero a medida que crecen, pero la convergencia a cero es mucho más rápida para la integral logarítmica. ${\displaystyle {\tfrac {n}{\log n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} (n)}$ ${\displaystyle n}$

La función de conteo de primos se define como el número de primos no mayor que . ^[76] Por ejemplo, dado que hay cinco primos menores o iguales a 11. Métodos como el algoritmo de Meissel-Lehmer pueden calcular valores exactos de más rápido de lo que sería posible enumerar cada primo hasta . ^[77] El teorema de los números primos establece que es asintótico a , que se denota como ${\displaystyle \pi (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi (11)=5}$ ${\displaystyle \pi (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi (n)}$ ${\displaystyle n/\log n}$

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$

y significa que la relación entre y la fracción de la derecha se acerca a 1 a medida que crece hasta el infinito. ^[78] Esto implica que la probabilidad de que un número elegido al azar menor que sea primo sea (aproximadamente) inversamente proporcional al número de dígitos en . ^[79] También implica que el número primo ésimo es proporcional a ^[80] y, por lo tanto, que el tamaño promedio de una brecha entre primos es proporcional a . ^[65] Una estimación más precisa viene dada por la integral logarítmica compensada ^[78] ${\displaystyle \pi (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\log n}$ ${\displaystyle \log n}$ ${\displaystyle \pi (n)}$

${\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}$

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una secuencia finita o infinita de números tal que todos los números consecutivos de la secuencia tienen la misma diferencia. ^[81] Esta diferencia se llama módulo de progresión. ^[82] Por ejemplo,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

es una progresión aritmética infinita con módulo 9. En una progresión aritmética, todos los números tienen el mismo resto cuando se dividen por el módulo; en este ejemplo, el resto es 3. Debido a que tanto el módulo 9 como el resto 3 son múltiplos de 3, también lo son todos los elementos de la secuencia. Por lo tanto, esta progresión contiene sólo un número primo, el propio 3. En general, la progresión infinita

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

puede tener más de un primo sólo cuando su resto y módulo son primos relativos. Si son primos relativos, el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas afirma que la progresión contiene infinitos números primos. ^[83] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

Primos en las progresiones aritméticas módulo 9. Cada fila de la delgada banda horizontal muestra una de las nueve posibles progresiones mod 9, con los números primos marcados en rojo. Las progresiones de números que son 0, 3 o 6 mod 9 contienen como máximo un número primo (el número 3); las progresiones restantes de números que son 2, 4, 5, 7 y 8 mod 9 tienen infinitos números primos, con números similares de primos en cada progresión.

El teorema de Green-Tao muestra que existen progresiones aritméticas finitas arbitrariamente largas que constan únicamente de números primos. ^{[35] [84]}

Valores primos de polinomios cuadráticos

La espiral de Ulam . Los números primos (rojos) se agrupan en algunas diagonales y no en otras. Los valores primos de se muestran en azul. ${\displaystyle 4n^{2}-2n+41}$

Euler señaló que la función

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

produce números primos para , aunque aparecen números compuestos entre sus valores posteriores. ^{[85] [86]} La búsqueda de una explicación para este fenómeno condujo a la profunda teoría algebraica de números de los números de Heegner y al problema de los números de clase . ^[87] La ​​conjetura F de Hardy-Littlewood predice la densidad de números primos entre los valores de polinomios cuadráticos con coeficientes enteros en términos de la integral logarítmica y los coeficientes polinomiales. No se ha demostrado que ningún polinomio cuadrático tome infinitos valores primos. ^[88] ${\displaystyle 1\leq n\leq 40}$

La espiral de Ulam organiza los números naturales en una cuadrícula bidimensional, formando espirales en cuadrados concéntricos que rodean el origen con los números primos resaltados. Visualmente, los primos parecen agruparse en ciertas diagonales y no en otras, lo que sugiere que algunos polinomios cuadráticos toman valores primos con más frecuencia que otros. ^[88]

Función Zeta y la hipótesis de Riemann.

Gráfico de los valores absolutos de la función zeta, mostrando algunas de sus características.

Una de las cuestiones sin resolver más famosas de las matemáticas, que data de 1859, y uno de los Problemas del Premio del Milenio , es la hipótesis de Riemann , que pregunta dónde se encuentran los ceros de la función zeta de Riemann . Esta función es una función analítica sobre los números complejos . Para números complejos con parte real mayor que uno, es igual a una suma infinita de todos los números enteros y a un producto infinito de los números primos, ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$

Esta igualdad entre una suma y un producto, descubierta por Euler, se llama producto de Euler . ^[89] El producto de Euler se puede derivar del teorema fundamental de la aritmética y muestra la estrecha conexión entre la función zeta y los números primos. ^[90] Esto lleva a otra prueba de que hay infinitos números primos: si solo hubiera un número finito, entonces la igualdad suma-producto también sería válida en , pero la suma divergiría (es la serie armónica ) mientras que el producto sería ser finito, una contradicción. ^[91] ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }$

La hipótesis de Riemann establece que los ceros de la función zeta son todos números pares negativos o números complejos con parte real igual a 1/2. ^[92] La demostración original del teorema de los números primos se basó en una forma débil de esta hipótesis, que no hay ceros con parte real igual a 1, ^{[93] [94]} aunque se han encontrado otras demostraciones más elementales. ^[95] La función de conteo de primos se puede expresar mediante la fórmula explícita de Riemann como una suma en la que cada término proviene de uno de los ceros de la función zeta; el término principal de esta suma es la integral logarítmica y los términos restantes hacen que la suma fluctúe por encima y por debajo del término principal. ^[96] En este sentido, los ceros controlan la regularidad con la que se distribuyen los números primos. Si la hipótesis de Riemann es cierta, estas fluctuaciones serán pequeñas y la distribución asintótica de los números primos dada por el teorema de los números primos también se mantendrá en intervalos mucho más cortos (de longitud cercana a la raíz cuadrada de para intervalos cercanos a un número ). ^[94] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Álgebra abstracta

Aritmética modular y campos finitos.

La aritmética modular modifica la aritmética habitual utilizando únicamente los números , para un número natural llamado módulo. Cualquier otro número natural se puede asignar a este sistema reemplazándolo por su resto después de la división por . ^[97] Las sumas, diferencias y productos modulares se calculan realizando la misma sustitución por el resto sobre el resultado de la suma, diferencia o producto habitual de números enteros. ^[98] La igualdad de números enteros corresponde a la congruencia en aritmética modular: y son congruentes (escrito mod ) cuando tienen el mismo resto después de la división por . ^[99] Sin embargo, en este sistema de números, la división por todos los números distintos de cero es posible si y sólo si el módulo es primo. Por ejemplo, con el número primo como módulo, es posible dividir por: , porque al borrar los denominadores multiplicando ambos lados por se obtiene la fórmula válida . Sin embargo, con el módulo compuesto , la división entre es imposible. No existe una solución válida para : borrar denominadores multiplicando por hace que el lado izquierdo se convierta mientras que el lado derecho se convierte en o . En la terminología del álgebra abstracta , la capacidad de realizar división significa que la aritmética modular módulo un número primo forma un campo o, más específicamente, un campo finito , mientras que otros módulos solo dan un anillo pero no un campo. ^[100] ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\equiv y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 3}$

Se pueden formular varios teoremas sobre números primos utilizando aritmética modular. Por ejemplo, el pequeño teorema de Fermat establece que si (mod ), entonces (mod ). ^[101] Sumando esto sobre todas las opciones de da la ecuación ${\displaystyle a\not \equiv 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}$

válido siempre que sea primo.La conjetura de Giuga dice que esta ecuación también es condición suficiente para ser primo. ^[102] El teorema de Wilson dice que un número entero es primo si y sólo si el factorial es congruente con mod . Para un número compuesto esto no puede ser válido, ya que uno de sus factores divide tanto a n como a , por lo que es imposible. ^[103] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle (p-1)!}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \;n=r\cdot s\;}$ ${\displaystyle (n-1)!}$ ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$

números p -ádicos

El orden -ádico de un número entero es el número de copias de en la factorización prima de . El mismo concepto se puede extender de números enteros a números racionales definiendo el orden -ádico de una fracción como . El valor absoluto -ádico de cualquier número racional se define entonces como . Multiplicar un número entero por su valor absoluto -ádico anula los factores de en su factorización, dejando solo los demás primos. Así como la distancia entre dos números reales se puede medir por el valor absoluto de su distancia, la distancia entre dos números racionales se puede medir por su distancia -ádica, el valor absoluto -ádico de su diferencia. Para esta definición de distancia, dos números están muy juntos (tienen una distancia pequeña) cuando su diferencia es divisible por una potencia alta de . De la misma manera que los números reales se pueden formar a partir de los números racionales y sus distancias, agregando valores límite adicionales para formar un campo completo , los números racionales con la distancia -ádica se pueden extender a un campo completo diferente, el -ádico números . ^{[104] [105]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m/n}$ ${\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |q|_{p}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Esta imagen de un orden, valor absoluto y campo completo derivado de ellos se puede generalizar a campos de números algebraicos y sus valoraciones (ciertas asignaciones del grupo multiplicativo del campo a un grupo aditivo totalmente ordenado , también llamado órdenes), valores absolutos ( ciertas asignaciones multiplicativas del campo a los números reales, también llamadas normas), ^[104] y lugares (extensiones para completar campos en los que el campo dado es un conjunto denso , también llamadas terminaciones). ^[106] La extensión de los números racionales a los números reales , por ejemplo, es un lugar en el que la distancia entre números es el valor absoluto habitual de su diferencia. La correspondencia correspondiente a un grupo aditivo sería el logaritmo del valor absoluto, aunque éste no cumple todos los requisitos de una valoración. Según el teorema de Ostrowski , hasta una noción natural de equivalencia, los números reales y los números -ádicos, con sus órdenes y valores absolutos, son las únicas valoraciones, valores absolutos y lugares de los números racionales. ^[104] El principio local-global permite que ciertos problemas sobre los números racionales se resuelvan juntando soluciones de cada uno de sus lugares, subrayando nuevamente la importancia de los números primos para la teoría de números. ^[107] ${\displaystyle p}$

Elementos primos en anillos.

Los primos gaussianos con norma inferior a 500

Un anillo conmutativo es una estructura algebraica donde se definen la suma, la resta y la multiplicación. Los números enteros son un anillo, y los números primos en los números enteros se han generalizado a anillos de dos maneras diferentes: elementos primos y elementos irreducibles . Un elemento de un anillo se llama primo si es distinto de cero, no tiene inverso multiplicativo (es decir, no es una unidad ) y satisface el siguiente requisito: siempre que divide el producto de dos elementos de , también divide al menos uno de o . Un elemento es irreducible si no es una unidad ni el producto de otros dos elementos no unitarios. En el anillo de los números enteros, los elementos primos e irreducibles forman el mismo conjunto, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

En un anillo arbitrario, todos los elementos primos son irreducibles. Lo contrario no se cumple en general, pero sí se cumple para dominios de factorización únicos . ^[108]

El teorema fundamental de la aritmética sigue siendo válido (por definición) en dominios de factorización únicos. Un ejemplo de tal dominio son los enteros gaussianos , el anillo de números complejos de la forma donde denota la unidad imaginaria y y son números enteros arbitrarios. Sus elementos primos se conocen como primos gaussianos . No todos los números primos entre los enteros siguen siendo primos en los enteros gaussianos; por ejemplo, el número 2 se puede escribir como producto de los dos primos gaussianos y . Los primos racionales (los elementos primos de los números enteros) congruentes con 3 mod 4 son primos gaussianos, pero los primos racionales congruentes con 1 mod 4 no lo son. ^[109] Esto es una consecuencia del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , que establece que un primo impar es expresable como la suma de dos cuadrados, y por lo tanto factorizable como , exactamente cuando es 1 mod 4. ^[110] ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1+i}$ ${\displaystyle 1-i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$ ${\displaystyle p}$

Ideales primordiales

No todos los anillos son un dominio de factorización único. Por ejemplo, en el anillo de números (para números enteros y ) el número tiene dos factorizaciones , donde ninguno de los cuatro factores se puede reducir más, por lo que no tiene una factorización única. Para extender la factorización única a una clase más amplia de anillos, la noción de número puede reemplazarse por la de ideal , un subconjunto de los elementos de un anillo que contiene todas las sumas de los pares de sus elementos y todos los productos de sus elementos con elementos de anillo.Los ideales primos , que generalizan elementos primos en el sentido de que el ideal principal generado por un elemento primo es un ideal primo, son una importante herramienta y objeto de estudio en álgebra conmutativa , teoría algebraica de números y geometría algebraica . Los ideales primos del anillo de números enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... El teorema fundamental de la aritmética se generaliza al teorema de Lasker-Noether. , que expresa cada ideal en un anillo conmutativo noetheriano como una intersección de ideales primarios , que son las generalizaciones apropiadas de potencias primarias . ^[111] ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 21}$ ${\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}$

El espectro de un anillo es un espacio geométrico cuyos puntos son los ideales primos del anillo. ^[112] La geometría aritmética también se beneficia de esta noción, y existen muchos conceptos tanto en geometría como en teoría de números. Por ejemplo, la factorización o ramificación de ideales primos cuando se elevan a un campo de extensión , un problema básico de la teoría algebraica de números, guarda cierta semejanza con la ramificación en geometría . Estos conceptos pueden incluso ayudar en preguntas de teoría de números que se refieren únicamente a números enteros. Por ejemplo, los ideales primos en el anillo de números enteros de campos numéricos cuadráticos se pueden utilizar para demostrar la reciprocidad cuadrática , una afirmación que se refiere a la existencia de números primos enteros módulo de raíces cuadradas. ^[113] Los primeros intentos de probar el último teorema de Fermat llevaron a la introducción de Kummer de los números primos regulares , números primos enteros relacionados con el fracaso de la factorización única en los números enteros ciclotómicos . ^[114] La cuestión de cuántos números primos enteros se factorizan en un producto de múltiples ideales primos en un campo de números algebraicos se aborda mediante el teorema de densidad de Chebotarev , que (cuando se aplica a los enteros ciclotómicos) tiene el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas como un caso especial. ^[115]

teoría de grupos

En la teoría de grupos finitos los teoremas de Sylow implican que, si una potencia de un número primo divide el orden de un grupo , entonces el grupo tiene un subgrupo de orden . Según el teorema de Lagrange , cualquier grupo de orden primo es un grupo cíclico , y según el teorema de Burnside, cualquier grupo cuyo orden sea divisible solo por dos primos es resoluble . ^[116] ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle p^{n}}$

Métodos computacionales

El engranaje pequeño de esta pieza de equipo agrícola tiene 13 dientes, un número primo, y el engranaje intermedio tiene 21, relativamente primo a 13.

Durante mucho tiempo, la teoría de números en general, y el estudio de los números primos en particular, fue visto como el ejemplo canónico de matemáticas puras, sin aplicaciones fuera de las matemáticas ^[b] aparte del uso de dientes de engranajes numerados primos para distribuir el desgaste. igualmente. ^[117] En particular, los teóricos de números como el matemático británico GH Hardy se enorgullecían de realizar trabajos que no tenían absolutamente ninguna importancia militar. ^[118]

Esta visión de la pureza de la teoría de números se hizo añicos en la década de 1970, cuando se anunció públicamente que los números primos podrían usarse como base para la creación de algoritmos de criptografía de clave pública . ^[32] Estas aplicaciones han llevado a un importante estudio de algoritmos para calcular con números primos y, en particular, de pruebas de primalidad , métodos para determinar si un número determinado es primo. La rutina de prueba de primalidad más básica, la división de prueba, es demasiado lenta para ser útil para un gran número de personas. Un grupo de pruebas de primalidad modernas es aplicable a números arbitrarios, mientras que hay pruebas más eficientes disponibles para números de tipos especiales. La mayoría de las pruebas de primalidad sólo dicen si su argumento es primo o no. Las rutinas que también proporcionan un factor primo de argumentos compuestos (o todos sus factores primos) se denominan algoritmos de factorización . Los números primos también se utilizan en computación para sumas de verificación , tablas hash y generadores de números pseudoaleatorios .

División de prueba

El método más básico para comprobar la primalidad de un número entero dado se llama división de prueba . Este método divide por cada número entero desde 2 hasta la raíz cuadrada de . Cualquier número entero que se divida uniformemente se establece como compuesto; de lo contrario es primo. No es necesario verificar los números enteros mayores que la raíz cuadrada porque, siempre que , uno de los dos factores y sea menor o igual que la raíz cuadrada de . Otra optimización es comprobar sólo los números primos como factores en este rango. ^[119] Por ejemplo, para comprobar si 37 es primo, este método lo divide entre los primos en el rango de 2 a , que son 2, 3 y 5. Cada división produce un resto distinto de cero, por lo que 37 es efectivamente primo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=a\cdot b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {37}}}$

Aunque este método es simple de describir, no es práctico para probar la primalidad de números enteros grandes, porque el número de pruebas que realiza crece exponencialmente en función del número de dígitos de estos números enteros. ^[120] Sin embargo, la división de prueba todavía se usa, con un límite menor que la raíz cuadrada en el tamaño del divisor, para descubrir rápidamente números compuestos con factores pequeños, antes de usar métodos más complicados con los números que pasan este filtro. ^[121]

Tamices

La criba de Eratóstenes comienza con todos los números sin marcar (gris). Encuentra repetidamente el primer número sin marcar, lo marca como primo (colores oscuros) y marca su cuadrado y todos los múltiplos posteriores como compuestos (colores más claros). Después de marcar los múltiplos de 2 (rojo), 3 (verde), 5 (azul) y 7 (amarillo), se procesaron todos los números primos hasta la raíz cuadrada del tamaño de la tabla y se procesaron todos los números restantes sin marcar (11, 13). , etc.) están marcados como números primos (magenta).

Antes de las computadoras, comúnmente se imprimían tablas matemáticas que enumeraban todos los números primos o factorizaciones de números primos hasta un límite determinado. ^[122] El método más antiguo para generar una lista de números primos se llama el tamiz de Eratóstenes. ^[123] La animación muestra una variante optimizada de este método. ^[124] Otro método de tamizado más asintóticamente eficiente para el mismo problema es el tamiz de Atkin . ^[125] En matemáticas avanzadas, la teoría del tamiz aplica métodos similares a otros problemas. ^[126]

Prueba de primalidad versus prueba de primalidad

Algunas de las pruebas modernas más rápidas para determinar si un número arbitrario dado es primo son algoritmos probabilísticos (o Monte Carlo ), lo que significa que tienen una pequeña posibilidad aleatoria de producir una respuesta incorrecta. [ ^127] Por ejemplo, la prueba de primalidad de Solovay-Strassen en un número dado elige un número aleatoriamente y utiliza la exponenciación modular para comprobar si es divisible por . ^[c] En caso afirmativo responde que sí y en caso contrario responde que no. Si realmente es primo, siempre responderá sí, pero si es compuesto entonces responderá sí con una probabilidad como máximo de 1/2 y no con una probabilidad de al menos 1/2. ^[128] Si esta prueba se repite veces en el mismo número, la probabilidad de que un número compuesto pueda pasar la prueba cada vez es como máximo . Debido a que esto disminuye exponencialmente con el número de pruebas, proporciona una alta confianza (aunque no certeza) de que un número que pasa la prueba repetida es primo. Por otro lado, si la prueba alguna vez falla, entonces el número es ciertamente compuesto. ^[129] Un número compuesto que pasa tal prueba se llama pseudoprimo . ^[128] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p-2}$ ${\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/2^{n}}$

Por el contrario, algunos otros algoritmos garantizan que su respuesta siempre será correcta: los primos siempre se determinarán como primos y los compuestos siempre se determinarán como compuestos. Por ejemplo, esto es cierto en el caso de la división de juicios. Los algoritmos con resultados correctos garantizados incluyen tanto algoritmos deterministas (no aleatorios), como la prueba de primalidad de AKS , ^[130] como algoritmos aleatorios de Las Vegas donde las elecciones aleatorias realizadas por el algoritmo no afectan su respuesta final, como algunos Variaciones de la prueba de primalidad de la curva elíptica . ^[127] Cuando el método de la curva elíptica concluye que un número es primo, proporciona un certificado de primalidad que se puede verificar rápidamente. ^[131] La prueba de primalidad de curva elíptica es la más rápida en la práctica de las pruebas de primalidad correcta garantizada, pero su análisis en tiempo de ejecución se basa en argumentos heurísticos en lugar de pruebas rigurosas. La prueba de primalidad de AKS ha demostrado matemáticamente la complejidad del tiempo, pero en la práctica es más lenta que la prueba de primalidad de la curva elíptica. ^[132] Estos métodos se pueden utilizar para generar números primos aleatorios grandes, generando y probando números aleatorios hasta encontrar uno que sea primo; Al hacer esto, una prueba probabilística más rápida puede eliminar rápidamente la mayoría de los números compuestos antes de utilizar un algoritmo correcto garantizado para verificar que los números restantes son primos. ^[d]

La siguiente tabla enumera algunas de estas pruebas. Su tiempo de ejecución se da en términos de , el número a probar y, para algoritmos probabilísticos, el número de pruebas realizadas. Además, es un número positivo arbitrariamente pequeño y log es el logaritmo con base no especificada. La notación O grande significa que cada límite de tiempo debe multiplicarse por un factor constante para convertirlo de unidades adimensionales a unidades de tiempo; este factor depende de los detalles de implementación, como el tipo de computadora utilizada para ejecutar el algoritmo, pero no de los parámetros de entrada y . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Algoritmos de propósito especial y el primo más grande conocido

Además de las pruebas antes mencionadas que se aplican a cualquier número natural, se puede probar la primalidad de algunos números de forma especial más rápidamente. Por ejemplo, la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer puede determinar si un número de Mersenne (uno menos que una potencia de dos ) es primo, de manera determinista, al mismo tiempo que una sola iteración de la prueba de Miller-Rabin. ^[137] Esta es la razón por la que desde 1992 (a diciembre de 2018 ^[update]) el primo más grande conocido siempre ha sido un primo de Mersenne. ^[138] Se conjetura que hay infinitos números primos de Mersenne. ^[139]

La siguiente tabla muestra los primos más grandes conocidos de varios tipos. Algunos de estos números primos se han encontrado mediante computación distribuida . En 2009, el proyecto Great Internet Mersenne Prime Search recibió un premio de 100.000 dólares por descubrir por primera vez un número primo con al menos 10 millones de dígitos. ^[140] La Electronic Frontier Foundation también ofrece 150.000 dólares y 250.000 dólares para números primos con al menos 100 millones de dígitos y 1.000 millones de dígitos, respectivamente. ^[141]

factorización de enteros

Dado un número entero compuesto , la tarea de proporcionar uno (o todos) los factores primos se conoce como factorización de . Es significativamente más difícil que las pruebas de primalidad, ^[148] y aunque se conocen muchos algoritmos de factorización, son más lentos que los métodos de prueba de primalidad más rápidos. La división de prueba y el algoritmo rho de Pollard se pueden utilizar para encontrar factores muy pequeños de , ^[121] y la factorización de curva elíptica puede ser efectiva cuando tiene factores de tamaño moderado. ^[149] Los métodos adecuados para números arbitrarios grandes que no dependen del tamaño de sus factores incluyen la criba cuadrática y la criba de campo numérico general . Al igual que con las pruebas de primalidad, también existen algoritmos de factorización que requieren que su entrada tenga una forma especial, incluido el campo numérico especial tamiz . ^[150] En diciembre de 2019, el número más grande conocido que ha sido factorizado mediante un algoritmo de propósito general es RSA-240 , que tiene 240 dígitos decimales (795 bits) y es el producto de dos números primos grandes. ^[151] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$^[update]

El algoritmo de Shor puede factorizar cualquier número entero en un número polinómico de pasos en una computadora cuántica . ^[152] Sin embargo, la tecnología actual sólo puede ejecutar este algoritmo para números muy pequeños. En octubre de 2012, ^[update]el número más grande factorizado por una computadora cuántica que ejecuta el algoritmo de Shor es 21. ^[153]

Otras aplicaciones computacionales

Varios algoritmos de criptografía de clave pública , como RSA y el intercambio de claves Diffie-Hellman , se basan en números primos grandes (los primos de 2048 bits son comunes). ^[154] RSA se basa en el supuesto de que es mucho más fácil (es decir, más eficiente) realizar la multiplicación de dos números (grandes) y que calcular y (supuesto coprimo ) si sólo se conoce el producto. ^[32] El intercambio de claves Diffie-Hellman se basa en el hecho de que existen algoritmos eficientes para la exponenciación modular (computación ), mientras que se cree que la operación inversa (el logaritmo discreto ) es un problema difícil. ^[155] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$

Los números primos se utilizan con frecuencia para las tablas hash . Por ejemplo, el método original de Carter y Wegman para el hash universal se basaba en calcular funciones hash eligiendo funciones lineales aleatorias en módulo de números primos grandes. Carter y Wegman generalizaron este método a hash independiente mediante el uso de polinomios de mayor grado, nuevamente números primos de módulo grande. ^[156] Además de en la función hash, los números primos se utilizan para el tamaño de la tabla hash en tablas hash basadas en sondeo cuadrático para garantizar que la secuencia de sondeo cubra toda la tabla. ^[157] ${\displaystyle k}$

Algunos métodos de suma de comprobación se basan en las matemáticas de los números primos. Por ejemplo, las sumas de verificación utilizadas en los números de libros estándar internacionales se definen tomando el resto del número módulo 11, un número primo. Como 11 es primo, este método puede detectar tanto errores de un solo dígito como transposiciones de dígitos adyacentes. ^[158] Otro método de suma de comprobación, Adler-32 , utiliza el módulo aritmético 65521, el número primo más grande menor que . ^[159] Los números primos también se utilizan en generadores de números pseudoaleatorios , incluidos los generadores congruentes lineales ^[160] y el Mersenne Twister . ^[161] ${\displaystyle 2^{16}}$

Otras aplicaciones

Los números primos son de importancia central para la teoría de números, pero también tienen muchas aplicaciones en otras áreas de las matemáticas, incluidas el álgebra abstracta y la geometría elemental. Por ejemplo, es posible colocar números primos de puntos en una cuadrícula bidimensional de modo que no haya tres en una línea , o de modo que cada triángulo formado por tres de los puntos tenga un área grande . ^[162] Otro ejemplo es el criterio de Eisenstein , una prueba para determinar si un polinomio es irreducible basándose en la divisibilidad de sus coeficientes por un número primo y su cuadrado. ^[163]

La suma conexa de dos nudos primos.

El concepto de número primo es tan importante que se ha generalizado de diferentes formas en diversas ramas de las matemáticas. Generalmente, "primo" indica minimalidad o indescomponibilidad, en el sentido apropiado. Por ejemplo, el campo primo de un campo dado es su subcampo más pequeño que contiene 0 y 1. Es el campo de números racionales o un campo finito con un número primo de elementos, de ahí el nombre. ^[164] A menudo se pretende un segundo significado adicional al usar la palabra primo, a saber, que cualquier objeto puede descomponerse, esencialmente de manera única, en sus componentes primos. Por ejemplo, en teoría de nudos , un nudo primo es un nudo que es indescomponible en el sentido de que no puede escribirse como la suma conectada de dos nudos no triviales. Cualquier nudo puede expresarse de forma única como una suma conexa de nudos primos. ^[165] La descomposición prima de 3 variedades es otro ejemplo de este tipo. ^[166]

Más allá de las matemáticas y la informática, los números primos tienen conexiones potenciales con la mecánica cuántica y se han utilizado metafóricamente en las artes y la literatura. También se han utilizado en biología evolutiva para explicar los ciclos de vida de las cigarras .

Polígonos construibles y particiones poligonales.

Construcción de un pentágono regular usando regla y compás. Esto sólo es posible porque 5 es un primo de Fermat .

Los primos de Fermat son primos de la forma

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}$

con un número entero no negativo . ^[167] Llevan el nombre de Pierre de Fermat , quien conjeturó que todos esos números son primos. Los primeros cinco de estos números (3, 5, 17, 257 y 65 537) son primos, ^[168] pero son compuestos, al igual que todos los demás números de Fermat que se han verificado a partir de 2017. ^[169] Un -gon regular es construible usando regla y compás si y solo si los factores primos impares de (si los hay) son primos de Fermat distintos. ^[168] Asimismo, se puede construir un -gón regular utilizando regla, compás y un trisector de ángulos si y sólo si los factores primos de son cualquier número de copias de 2 o 3 junto con un conjunto (posiblemente vacío) de primos de Pierpont distintos. , primos de la forma . ^[170] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{5}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}$

Es posible dividir cualquier polígono convexo en polígonos convexos más pequeños de igual área y perímetro igual, cuando es una potencia de un número primo , pero esto no se sabe para otros valores de . ^[171] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Mecánica cuántica

A partir del trabajo de Hugh Montgomery y Freeman Dyson en la década de 1970, matemáticos y físicos han especulado que los ceros de la función zeta de Riemann están conectados a los niveles de energía de los sistemas cuánticos . ^{[172] [173]} Los números primos también son importantes en la ciencia de la información cuántica , gracias a estructuras matemáticas como bases mutuamente insesgadas y medidas simétricas informacionalmente completas y valoradas por operadores positivos . ^{[174] [175]}

Biología

La estrategia evolutiva utilizada por las cigarras del género Magicicada hace uso de números primos. ^[176] Estos insectos pasan la mayor parte de su vida como larvas bajo tierra. Sólo pupan y emergen de sus madrigueras después de 7, 13 o 17 años, momento en el que vuelan, se reproducen y luego mueren al cabo de unas pocas semanas como máximo. Los biólogos teorizan que la duración de estos ciclos de reproducción con números primos ha evolucionado para evitar que los depredadores se sincronicen con estos ciclos. ^{[177] [178]} Por el contrario, se supone que los períodos de varios años entre la floración en las plantas de bambú son números suaves y tienen solo números primos pequeños en sus factorizaciones. ^[179]

Artes y literatura

Los números primos han influido en muchos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen utilizó números primos para crear música amétrica a través de "fenómenos naturales". En obras como La Nativité du Seigneur (1935) y Quatre études de rythme (1949-50), emplea simultáneamente motivos con longitudes dadas por diferentes números primos para crear ritmos impredecibles: los primos 41, 43, 47 y 53 aparecen en el tercer estudio, "Neumes rythmiques". Según Messiaen esta forma de componer estaba "inspirada en los movimientos de la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales". ^[180]

En su novela de ciencia ficción Contacto , el científico Carl Sagan sugirió que la factorización prima podría usarse como medio para establecer planos de imágenes bidimensionales en las comunicaciones con extraterrestres, una idea que había desarrollado informalmente por primera vez con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975. ^{[181 ]} En la novela El curioso incidente del perro a medianoche de Mark Haddon , el narrador ordena las secciones de la historia mediante números primos consecutivos como una forma de transmitir el estado mental de su personaje principal, un adolescente con talento matemático y síndrome de Asperger . síndrome . ^[182] Los números primos se utilizan como metáfora de la soledad y el aislamiento en la novela de Paolo Giordano La soledad de los números primos , en la que se los retrata como "forasteros" entre los números enteros. ^[183]

Notas

1. Un número primo de 44 dígitos encontrado en 1951 por Aimé Ferrier con una calculadora mecánica sigue siendo el número primo más grande que no se ha encontrado con la ayuda de computadoras electrónicas. ^[28]
2. Por ejemplo, Beiler escribe que el teórico de números Ernst Kummer amaba sus números ideales , estrechamente relacionados con los primos, "porque no se habían ensuciado con ninguna aplicación práctica", ^[30] y Katz escribe que Edmund Landau , conocido por su trabajo sobre la distribución de los números primos, "detestaba las aplicaciones prácticas de las matemáticas", y por esta razón evitaba temas como la geometría , que ya habían demostrado ser útiles. ^[31]
3. En esta prueba, el término es negativo si el (supuesto) primo dado es un módulo cuadrado y positivo en caso contrario. De manera más general, para valores no primos de , el término es el símbolo de Jacobi (negado) , que se puede calcular mediante reciprocidad cuadrática . ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pm 1}$
4. De hecho, gran parte del análisis de la prueba de primalidad de la curva elíptica se basa en el supuesto de que la entrada al algoritmo ya pasó una prueba probabilística. ^[131]
5. La función primordial de , denotada por , produce el producto de los números primos hasta , y un primo primordial es un primo de una de las formas . ^[145] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\#}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\#\pm 1}$

Referencias

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enlaces externos

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• Paquete Plus para profesores y estudiantes: números primos de Plus, la revista gratuita de matemáticas en línea producida por el Millennium Mathematics Project de la Universidad de Cambridge.

Generadores y calculadoras

• La calculadora de factores primos puede factorizar cualquier número entero positivo de hasta 20 dígitos.
• La prueba rápida de primalidad en línea con factorización utiliza el método de curva elíptica (hasta números de mil dígitos, requiere Java).
• Enorme base de datos de números primos
• Números primos hasta 1 billón Archivado el 27 de febrero de 2021 en Wayback Machine.