Divergencia de la suma de los recíprocos de los números primos.

Teorema

La suma del recíproco de los números primos aumenta sin límite. El eje x está en escala logarítmica, lo que muestra que la divergencia es muy lenta. La función roja es un límite inferior que también diverge.

La suma de los recíprocos de todos los números primos diverge ; eso es:

$${\displaystyle \sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty }$$

Esto fue demostrado por Leonhard Euler en 1737, ^[1] y refuerza el resultado de Euclides del siglo III a. C. de que hay infinitos números primos y la prueba de Nicole Oresme del siglo XIV de la divergencia de la suma de los recíprocos de los números enteros (series armónicas) .

Hay una variedad de pruebas del resultado de Euler, incluido un límite inferior para las sumas parciales que indica que

$${\displaystyle \sum _{\scriptstyle p{\text{ prime}} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}\geq \log \log(n+1)-\log {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

nlogaritmo naturallog logconstante de Meissel-Mertens

La serie armónica

Primero, describimos cómo Euler descubrió originalmente el resultado. Estaba considerando la serie armónica.

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\infty }$$

Ya había utilizado la siguiente " fórmula del producto " para mostrar la existencia de infinitos números primos.

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}}$$

Aquí el producto se hace cargo del conjunto de todos los números primos.

Estos productos infinitos se denominan hoy productos de Euler . El producto anterior es un reflejo del teorema fundamental de la aritmética . Euler observó que si hubiera sólo un número finito de números primos, entonces el producto de la derecha convergería claramente, contradiciendo la divergencia de la serie armónica.

Pruebas

La prueba de Euler

Euler consideró la fórmula del producto anterior y procedió a realizar una secuencia de audaces saltos lógicos. Primero, tomó el logaritmo natural de cada lado, luego usó la expansión en serie de Taylor para log x así como la suma de una serie convergente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\log \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\\[5pt]&=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)\\[5pt]&=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=A+{\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\[5pt]&=A+K\end{aligned}}}$$

para una constante fija K < 1 . Luego invocó la relación

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\log \infty ,}$$

que explicó, por ejemplo en un trabajo posterior de 1748, ^[2] estableciendo x = 1 en la expansión de la serie de Taylor

$${\displaystyle \log \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}.}$$

Esto le permitió concluir que

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\log \log \infty .}$$

Es casi seguro que Euler quiso decir que la suma de los recíprocos de los números primos menores que n es asintótica para log log n cuando n se acerca al infinito. Resulta que este es efectivamente el caso, y Franz Mertens demostró rigurosamente una versión más precisa de este hecho en 1874. ^[3] Así, Euler obtuvo un resultado correcto por medios cuestionables.

Prueba de Erdős mediante estimaciones superior e inferior

La siguiente prueba por contradicción proviene de Paul Erdős .

Sea p _i el i- ésimo número primo. Supongamos que la suma de los recíprocos de los números primos converge .

Entonces existe un entero positivo más pequeño k tal que

$${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)}$$

Para un entero positivo x , sea M _x el conjunto de aquellos n en {1, 2, ..., x } que no son divisibles por ningún primo mayor que p _k (o equivalentemente todos los n ≤ x que son producto de potencias de números primos p _i ≤ p _k ). Ahora derivaremos una estimación superior e inferior para | M _x | , el número de elementos en M _x . Para  x grande , estos límites resultarán contradictorios.

Estimación superior

Cada n en M _x se puede escribir como n = m ² r con enteros positivos m y r , donde r no tiene cuadrados . Dado que solo los k primos p ₁ , ..., p _k pueden aparecer (con exponente 1) en la factorización prima de  r , hay como máximo 2 ^k posibilidades diferentes para  r . Además, hay como máximo √ x valores posibles para  m . Esto nos da la estimación superior.

$${\displaystyle |M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)}$$

Estimación más baja

El resto x  − | M _x | Los números en la diferencia de conjuntos {1, 2, ..., x } \ M _x son todos divisibles por un primo mayor que p _k . Sea N _{i , x} el conjunto de aquellos n en {1, 2, ..., x } que son divisibles por el i -ésimo primo p _i . Entonces

$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,x\}\setminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x}}$$

Dado que el número de números enteros en _Ni, x _{es como} máximoX/Pi_​(en realidad cero para p _i > x ), obtenemos

$${\displaystyle x-|M_{x}|\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {x}{p_{i}}}}$$

Usando (1), esto implica

$${\displaystyle {\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)}$$

Esto produce una contradicción: cuando x ≥ 2 ^{2 k + 2} , las estimaciones (2) y (3) no pueden ser ambas válidas, porqueX/2≥ 2 ^k √ x .

Prueba de que la serie exhibe un crecimiento logarítmico

Aquí hay otra prueba que en realidad da una estimación más baja de las sumas parciales; en particular, muestra que estas sumas crecen al menos tan rápido como log log n . La prueba se debe a Ivan Niven, ^[4] adaptado de la idea de expansión del producto de Euler . En lo sucesivo, una suma o producto tomado de p siempre representa una suma o producto tomado de un conjunto específico de números primos.

La prueba se basa en las siguientes cuatro desigualdades:

• Cada entero positivo i puede expresarse de forma única como el producto de un entero sin cuadrados y un cuadrado como consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . Empezar con
  $${\displaystyle i=q_{1}^{2{\alpha }_{1}+{\beta }_{1}}\cdot q_{2}^{2{\alpha }_{2}+{\beta }_{2}}\cdots q_{r}^{2{\alpha }_{r}+{\beta }_{r}},}$$
  donde los β s son 0 (la potencia correspondiente del primo q es par) o 1 (la potencia correspondiente del primo q es impar). Factoriza una copia de todos los números primos cuyo β es 1, dejando un producto de números primos elevado a potencias pares, que en sí mismo es un cuadrado. Reetiquetado:
  $${\displaystyle i=(p_{1}p_{2}\cdots p_{s})\cdot b^{2},}$$
  donde el primer factor, un producto de números primos elevado a la primera potencia, no tiene cuadrados. Invertir todas las i da la desigualdad
  $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leq \left(\prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\right)=A\cdot B.}$$

Para ver esto, tenga en cuenta que

$${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{p_{1}p_{2}\cdots p_{s}}}\cdot {\frac {1}{b^{2}}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1+{\frac {1}{p_{2}}}\right)\ldots \left(1+{\frac {1}{p_{s}}}\right)&=\left({\frac {1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {1}{p_{s}}}\right)+\ldots \\&={\frac {1}{p_{1}p_{2}\cdots p_{s}}}+\ldots .\end{aligned}}}$$

A.BAB ${\displaystyle 1/(p_{1}p_{2}\cdots p_{s})}$ ${\displaystyle 1/b^{2}}$ ${\displaystyle 1/i}$

• La estimación superior del logaritmo natural.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\log(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\underbrace {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i}}}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}}$$
• La estimación inferior 1 + x < exp( x ) para la función exponencial , que es válida para todo x > 0 .
• Sea n ≥ 2 . El límite superior (usando una suma telescópica ) para las sumas parciales (la convergencia es todo lo que realmente necesitamos)
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n}\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2}}}}\right)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4}}}}\,>\,{\frac {1}{k^{2}}}}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3}}\end{aligned}}}$$

Combinando todas estas desigualdades, vemos que

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}\exp \left({\frac {1}{p}}\right)\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{aligned}}}$$

Dividiendo por5/3y tomando el logaritmo natural de ambos lados se obtiene

$${\displaystyle \log \log(n+1)-\log {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}}$$

como se desee.  QED

Usando

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

(verProblema de Basilea ), el registro constante anterior5/3= 0.51082... se puede mejorar para iniciar sesiónπ ²/6= 0,4977... ; de hecho resulta que

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n\right)=M}$$

donde M = 0,261497... es la constante de Meissel-Mertens (algo análoga a la mucho más famosa constante de Euler-Mascheroni ).

Prueba de la desigualdad de Dusart

De la desigualdad de Dusart , obtenemos

$${\displaystyle p_{n}<n\log n+n\log \log n\quad {\mbox{for }}n\geq 6}$$

Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\log n+n\log \log n}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\log n}}=\infty \end{aligned}}}$$

prueba integral de convergencia

Prueba de series geométricas y armónicas.

La siguiente prueba es una modificación de James A. Clarkson . ^[5]

Definir la k -ésima cola

$${\displaystyle x_{k}=\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}.}$$

Entonces, para , la expansión de contiene al menos un término para cada recíproco de un entero positivo con factores exactamente primos (contando multiplicidades) solo del conjunto . De ello se deduce que la serie geométrica contiene al menos un término para cada recíproco de un número entero positivo no divisible por ninguno . Pero como siempre satisface este criterio, ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle (x_{k})^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{p_{k+1},p_{k+2},\cdots \}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }(x_{k})^{i}}$ ${\displaystyle p_{n},n\leq k}$ ${\displaystyle 1+j(p_{1}p_{2}\cdots p_{k})}$

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(x_{k})^{i}>\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{1+j(p_{1}p_{2}\cdots p_{k})}}>{\frac {1}{1+p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j}}=\infty }$$

por la divergencia de la serie armónica . Esto muestra que para todos , y dado que las colas de una serie convergente deben converger a cero, esto prueba la divergencia. ${\displaystyle x_{k}\geq 1}$ ${\displaystyle k}$

sumas parciales

Si bien las sumas parciales de los recíprocos de los números primos eventualmente exceden cualquier valor entero, nunca equivalen a un número entero.

Una prueba ^[6] es por inducción: la primera suma parcial es1/2, que tiene la formaextraño/incluso. Si la n- ésima suma parcial (para n ≥ 1 ) tiene la formaextraño/incluso, entonces la ( n + 1) st suma es

$${\displaystyle {\frac {\text{odd}}{\text{even}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}\cdot p_{n+1}+{\text{even}}}{{\text{even}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}+{\text{even}}}{\text{even}}}={\frac {\text{odd}}{\text{even}}}}$$

ya que el ( n + 1 ) st primo p _{n + 1} es impar; ya que esta suma también tiene unextraño/inclusoEn esta forma, esta suma parcial no puede ser un número entero (porque 2 divide el denominador pero no el numerador) y la inducción continúa.

Otra prueba reescribe la expresión para la suma de los primeros n recíprocos de primos (o incluso la suma de los recíprocos de cualquier conjunto de primos) en términos del mínimo común denominador , que es el producto de todos estos primos. Entonces, cada uno de estos primos divide a todos menos uno de los términos del numerador y, por tanto, no divide al numerador en sí; pero cada primo divide al denominador. Por tanto, la expresión es irreducible y no entera.

Ver también

• El teorema de Euclides de que hay infinitos números primos.
• Conjunto pequeño (combinatoria)
• Teorema de Brun , sobre la suma convergente de los recíprocos de los primos gemelos
• Lista de sumas de recíprocos

Referencias

1. Euler, Leonhard (1737). "Variae observaciones circa series infinitas" [Observaciones varias sobre series infinitas]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 9 : 160–188.
2. Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum . Tomus Primus [ Introducción al análisis infinito. Volumen I ]. Lausana: Bousquet. pag. 228, ej. 1.
3. Mertens, F. (1874). "Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie". J. Reina Angew. Matemáticas. 78 : 46–62.
4. Niven, Ivan, "Una prueba de la divergencia de Σ 1/ p ", The American Mathematical Monthly , vol. 78, núm. 3 (marzo de 1971), págs. William Dunham amplía la prueba de media página en Euler: The Master of Us All , págs. 74-76.
5. Clarkson, James (1966). «Sobre la serie de recíprocos primos» (PDF) . Proc. América. Matemáticas. Soc . 17 : 541.
6. Señor, Nick (2015). "Pruebas rápidas de que determinadas sumas de fracciones no son números enteros". La Gaceta Matemática . 99 : 128-130. doi :10.1017/mag.2014.16. S2CID  123890989.

Fuentes

• Dunham, William (1999). Euler: el maestro de todos nosotros . MAA . págs. 61–79. ISBN 0-88385-328-0.

enlaces externos

• Caldwell, Chris K. "Hay infinitos números primos, pero, ¿qué tamaño tiene un infinito?".