Problema de Basilea

Suma de cuadrados inversos de números naturales

El problema de Basilea es un problema de análisis matemático con relevancia para la teoría de números , relacionado con una suma infinita de cuadrados inversos. Fue planteado por primera vez por Pietro Mengoli en 1650 y resuelto por Leonhard Euler en 1734, ^[1] y leído el 5 de diciembre de 1735 en la Academia de Ciencias de San Petersburgo . ^[2] Dado que el problema había resistido los ataques de los principales matemáticos de la época, la solución de Euler le trajo fama inmediata cuando tenía veintiocho años. Euler generalizó considerablemente el problema, y ​​sus ideas fueron retomadas más de un siglo después por Bernhard Riemann en su artículo fundamental de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ", en el que definió su función zeta y demostró sus propiedades básicas. . El problema lleva el nombre de Basilea , la ciudad natal de Euler, así como de la familia Bernoulli , que atacó el problema sin éxito.

El problema de Basilea pide la suma precisa de los recíprocos de los cuadrados de los números naturales , es decir, la suma precisa de la serie infinita : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots .}$$

La suma de la serie es aproximadamente igual a 1,644934. ^[3] El problema de Basilea pide la suma exacta de esta serie (en forma cerrada ), así como una prueba de que esta suma es correcta. Euler encontró la suma exacta y anunció este descubrimiento en 1735. Sus argumentos se basaban en manipulaciones que no estaban justificadas en ese momento, aunque luego se demostró que tenía razón. Presentó una prueba aceptada en 1741. ${\displaystyle \pi ^{2}/6}$

La solución a este problema se puede utilizar para estimar la probabilidad de que dos números aleatorios grandes sean coprimos . Dos números enteros aleatorios en el rango de 1 a , en el límite que va al infinito, son primos relativos con una probabilidad que se acerca a , el recíproco de la solución del problema de Basilea. ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

El enfoque de Euler

La derivación original del valor de Euler esencialmente amplió las observaciones sobre polinomios finitos y supuso que estas mismas propiedades son válidas para series infinitas. ${\displaystyle \pi ^{2}/6}$

Por supuesto, el razonamiento original de Euler requiere justificación (100 años después, Karl Weierstrass demostró que la representación de Euler de la función seno como un producto infinito es válida, mediante el teorema de factorización de Weierstrass ), pero incluso sin justificación, simplemente obteniendo el valor correcto, pudo verificarlo numéricamente contra sumas parciales de la serie. El acuerdo que observó le dio suficiente confianza para anunciar su resultado a la comunidad matemática.

Para seguir el argumento de Euler, recordemos el desarrollo en serie de Taylor de la función seno. Dividir por entre da $${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .}$$

El teorema de factorización de Weierstrass muestra que el lado izquierdo es el producto de factores lineales dados por sus raíces, al igual que ocurre con los polinomios finitos. Euler asumió esto como una heurística para expandir un polinomio de grado infinito en términos de sus raíces, pero de hecho no siempre es cierto para el caso general . ^[5] Esta factorización expande la ecuación a: ${\displaystyle P(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}}$$

Si multiplicamos formalmente este producto y reunimos todos los términos x ² (se nos permite hacerlo debido a las identidades de Newton ), vemos por inducción que el coeficiente x ^{2 de} ⁠pecado x/X⁠ es ^[6] $${\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Pero a partir de la expansión original en serie infinita de ⁠pecado x/X⁠ , el coeficiente de x ² es − ⁠1/3!⁠ = − ⁠1/6⁠ . Estos dos coeficientes deben ser iguales; de este modo, $${\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Multiplicar ambos lados de esta ecuación por − π ² da la suma de los recíprocos de los números enteros cuadrados positivos. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Este método de cálculo se detalla de forma expositiva, sobre todo en el libro Gamma de Havil , que detalla muchas funciones zeta y series e integrales relacionadas con logaritmos , así como una perspectiva histórica, relacionada con la constante gamma de Euler . ^[7] ${\displaystyle \zeta (2)}$

Generalizaciones del método de Euler utilizando polinomios simétricos elementales.

Usando fórmulas obtenidas de polinomios simétricos elementales , ^[8] este mismo enfoque se puede usar para enumerar fórmulas para las constantes zeta pares con índice par que tienen la siguiente fórmula conocida expandida por los números de Bernoulli : $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{2\cdot (2n)!}}B_{2n}.}$$

Por ejemplo, definamos el producto parcial de expandido como arriba por . Luego, usando fórmulas conocidas para polinomios simétricos elementales (también conocidas como fórmulas de Newton expandidas en términos de identidades de suma de potencias ), podemos ver (por ejemplo) que ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle {\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x^{4}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}&={\frac {1}{2\pi ^{4}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}-H_{n}^{(4)}\right)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty } \qquad {\frac {1}{2\pi ^{4}}}\left(\zeta (2)^{2}-\zeta (4)\right)\\[4pt]&\qquad \implies \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}=-2\pi ^{4}\cdot [x^{4}]{\frac {\sin(x)}{x}}+{\frac {\pi ^{4}}{36}}\\[8pt]\left[x^{6}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}&=-{\frac {1}{6\pi ^{6}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{3}-2H_{n}^{(2)}H_{n}^{(4)}+2H_{n}^{(6)}\right)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty } \qquad {\frac {1}{6\pi ^{6}}}\left(\zeta (2)^{3}-3\zeta (2)\zeta (4)+2\zeta (6)\right)\\[4pt]&\qquad \implies \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}=-3\cdot \pi ^{6}[x^{6}]{\frac {\sin(x)}{x}}-{\frac {2}{3}}{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\frac {\pi ^{4}}{90}}+{\frac {\pi ^{6}}{216}},\end{aligned}}}$$

y así sucesivamente para los coeficientes posteriores de . Hay otras formas de identidades de Newton que expresan las sumas de potencias (finitas) en términos de polinomios simétricos elementales , pero podemos seguir una ruta más directa para expresar fórmulas no recursivas para usar el método de los polinomios simétricos elementales . Es decir, tenemos una relación de recurrencia entre los polinomios simétricos elementales y los polinomios de suma de potencias dados como en esta página por ${\displaystyle [x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}}$ ${\displaystyle H_{n}^{(2k)}}$ ${\displaystyle e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),}$ ${\displaystyle \zeta (2k)}$ $${\displaystyle (-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j-1}p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})e_{k-j}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$$

que en nuestra situación equivale a la relación de recurrencia limitante (o función generadora de convolución, o producto ) expandida como $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2k}}{2}}\cdot {\frac {(2k)\cdot (-1)^{k}}{(2k+1)!}}=-[x^{2k}]{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\times \sum _{i\geq 1}\zeta (2i)x^{i}.}$$

Luego por diferenciación y reordenamiento de los términos de la ecuación anterior, obtenemos que $${\displaystyle \zeta (2k)=[x^{2k}]{\frac {1}{2}}\left(1-\pi x\cot(\pi x)\right).}$$

Consecuencias de la prueba de Euler

Por los resultados anteriores, podemos concluir que siempre es un múltiplo racional de . En particular, dado que todas las potencias del mismo son trascendentales , podemos concluir en este punto que es irracional , y más precisamente, trascendental para todos . Por el contrario, las propiedades de las constantes zeta de índice impar , incluida la constante de Apéry , son casi completamente desconocidas. ${\displaystyle \zeta (2k)}$ ${\displaystyle \pi ^{2k}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \zeta (2k)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \zeta (3)}$

La función zeta de Riemann

La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una de las funciones más importantes en matemáticas debido a su relación con la distribución de los números primos . La función zeta se define para cualquier número complejo con parte real mayor que 1 mediante la siguiente fórmula: $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

Tomando s = 2 , vemos que ζ (2) es igual a la suma de los recíprocos de los cuadrados de todos los números enteros positivos: $${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934.}$$

La convergencia se puede demostrar mediante la prueba integral o mediante la siguiente desigualdad: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}&<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}\\&=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\&=1+1-{\frac {1}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty }{\longrightarrow }}\;2.\end{aligned}}}$$

Esto nos da el límite superior 2, y debido a que la suma infinita no contiene términos negativos, debe converger a un valor estrictamente entre 0 y 2. Se puede demostrar que ζ ( s ) tiene una expresión simple en términos de los números de Bernoulli siempre que s es un número entero par positivo. Con s = 2 norte : ^[9] $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}.}$$

Una prueba utilizando la fórmula de Euler y la regla de L'Hôpital.

La función sinc normalizada tiene una representación de factorización de Weierstrass como un producto infinito: ${\displaystyle {\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$ $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

El producto infinito es analítico , por lo que tomando el logaritmo natural de ambos lados y diferenciando se obtiene $${\displaystyle {\frac {\pi \cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}}-{\frac {1}{x}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{n^{2}-x^{2}}}}$$

(por convergencia uniforme , se permite el intercambio de la serie derivada y la infinita). Después de dividir la ecuación y reagrupar se obtiene ${\displaystyle 2x}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2x^{2}}}-{\frac {\pi \cot(\pi x)}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-x^{2}}}.}$$

Realizamos un cambio de variables ( ): ${\displaystyle x=-it}$ $${\displaystyle -{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}.}$$

Para deducir eso se puede utilizar la fórmula de Euler o utilizar la función hiperbólica correspondiente : $${\displaystyle {\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2it}}{\frac {i\left(e^{2\pi t}+1\right)}{e^{2\pi t}-1}}={\frac {\pi }{2t}}+{\frac {\pi }{t\left(e^{2\pi t}-1\right)}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2t}}{i\cot(\pi it)}={\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

Entonces $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}={\frac {\pi \left(te^{2\pi t}+t\right)-e^{2\pi t}+1}{2\left(t^{2}e^{2\pi t}-t^{2}\right)}}=-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

Ahora tomamos el límite cuando se acerca a cero y usamos la regla de L'Hôpital tres veces. Por el teorema de Tannery aplicado a , podemos intercambiar la serie límite e infinita de modo que y por la regla de L'Hôpital ${\displaystyle t}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ ${\textstyle \lim _{t\to 0}\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+t^{2})=\sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi }{4}}{\frac {2\pi te^{2\pi t}-e^{2\pi t}+1}{\pi t^{2}e^{2\pi t}+te^{2\pi t}-t}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{3}te^{2\pi t}}{2\pi \left(\pi t^{2}e^{2\pi t}+2te^{2\pi t}\right)+e^{2\pi t}-1}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{2}(2\pi t+1)}{4\pi ^{2}t^{2}+12\pi t+6}}\\[6pt]&={\frac {\pi ^{2}}{6}}.\end{aligned}}}$$

Una prueba usando series de Fourier

Utilice la identidad de Parseval (aplicada a la función f ( x ) = x ) para obtener dónde $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,dx\\[4pt]&={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i\\[4pt]&={\frac {\cos(n\pi )}{n}}i\\[4pt]&={\frac {(-1)^{n}}{n}}i\end{aligned}}}$$

para norte ≠ 0 y c ₀ = 0 . De este modo, $${\displaystyle |c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{for }}n\neq 0,\\0,&{\text{for }}n=0,\end{cases}}}$$

y $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx.}$$

Por tanto, según sea necesario. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

Otra prueba utilizando la identidad de Parseval.

Dada una base ortonormal completa en el espacio de funciones periódicas L2 (es decir, el subespacio de funciones integrables al cuadrado que también son periódicas ), denotado por , la identidad de Parseval nos dice que ${\displaystyle L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }}$ $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }|\langle e_{i},x\rangle |^{2},}$$

donde se define en términos del producto interno en este espacio de Hilbert dado por ${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x){\overline {g(x)}}\,dx,\ f,g\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1).}$$

Podemos considerar la base ortonormal en este espacio definido por tal que . Entonces, si tomamos , podemos calcular tanto eso ${\displaystyle e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )}$ ${\displaystyle \langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}}$ ${\displaystyle f(\vartheta ):=\vartheta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f\|^{2}&=\int _{0}^{1}\vartheta ^{2}\,d\vartheta ={\frac {1}{3}}\\\langle f,e_{k}\rangle &=\int _{0}^{1}\vartheta e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2}},&k=0\\-{\frac {1}{2\pi \imath k}}&k\neq 0,\end{array}}\end{aligned}}}$$

mediante cálculo elemental e integración por partes , respectivamente. Finalmente, por la identidad de Parseval expresada en el formulario anterior, obtenemos que $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f\|^{2}={\frac {1}{3}}&=\sum _{\stackrel {k=-\infty }{k\neq 0}}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}\\&\implies {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}-{\frac {\pi ^{2}}{2}}=\zeta (2).\end{aligned}}}$$

Generalizaciones y relaciones de recurrencia.

Tenga en cuenta que al considerar potencias de orden superior de podemos usar la integración por partes para extender este método a enumerar fórmulas para cuando . En particular, supongamos que dejamos ${\displaystyle f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)}$ ${\displaystyle \zeta (2j)}$ ${\displaystyle j>1}$ $${\displaystyle I_{j,k}:=\int _{0}^{1}\vartheta ^{j}e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ,}$$

de modo que la integración por partes produce la relación de recurrencia que $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{j,k}&={\begin{cases}{\frac {1}{j+1}},&k=0;\\[4pt]-{\frac {1}{2\pi \imath \cdot k}}+{\frac {j}{2\pi \imath \cdot k}}I_{j-1,k},&k\neq 0\end{cases}}\\[6pt]&={\begin{cases}{\frac {1}{j+1}},&k=0;\\[4pt]-\sum \limits _{m=1}^{j}{\frac {j!}{(j+1-m)!}}\cdot {\frac {1}{(2\pi \imath \cdot k)^{m}}},&k\neq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Luego, al aplicar la identidad de Parseval como hicimos para el primer caso anterior junto con la linealidad del producto interno se obtiene que $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f_{j}\|^{2}={\frac {1}{2j+1}}&=2\sum _{k\geq 1}I_{j,k}{\bar {I}}_{j,k}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}\\[6pt]&=2\sum _{m=1}^{j}\sum _{r=1}^{j}{\frac {j!^{2}}{(j+1-m)!(j+1-r)!}}{\frac {(-1)^{r}}{\imath ^{m+r}}}{\frac {\zeta (m+r)}{(2\pi )^{m+r}}}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Prueba mediante diferenciación bajo el signo integral.

Es posible probar el resultado usando cálculo elemental aplicando la derivación bajo la técnica del signo integral a una integral debida a Freitas: ^[10] $${\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}\right)dx.}$$

Si bien la función primitiva del integrando no puede expresarse en términos de funciones elementales, al diferenciar con respecto a llegamos a ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\frac {dI}{d\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}}}dx,}$$que se puede integrar sustituyendo y descomponiendo en fracciones parciales . En el rango la integral definida se reduce a ${\displaystyle u=e^{-x}}$ ${\displaystyle -2\leq \alpha \leq 2}$

$${\displaystyle {\frac {dI}{d\alpha }}={\frac {2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\left[\arctan \left({\frac {\alpha +2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)-\arctan \left({\frac {\alpha }{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)\right].}$$

La expresión se puede simplificar usando la fórmula de suma arcotangente e integrar con respecto a mediante sustitución trigonométrica , dando como resultado ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle I(\alpha )=-{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}+c.}$$

La constante de integración se puede determinar observando que dos valores distintos de están relacionados por ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle I(\alpha )}$

$${\displaystyle I(2)=4I(0),}$$porque al calcular podemos factorizarlo y expresarlo en términos de usar el logaritmo de una identidad de potencias y la sustitución . Esto permite determinar , y se deduce que ${\displaystyle I(2)}$ ${\displaystyle 1+2e^{-x}+e^{-2x}=(1+e^{-x})^{2}}$ ${\displaystyle I(0)}$ ${\displaystyle u=x/2}$ ${\displaystyle c={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

$${\displaystyle I(-2)=2\int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}.}$$

Esta integral final se puede evaluar expandiendo el logaritmo natural a su serie de Taylor :

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-nx}}{n}}dx=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Las dos últimas identidades implican

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

La prueba de Cauchy

Si bien la mayoría de las pruebas utilizan resultados de matemáticas avanzadas , como el análisis de Fourier , el análisis complejo y el cálculo multivariable , las siguientes ni siquiera requieren cálculo de una sola variable (hasta que se toma un límite único al final).

Para obtener una prueba utilizando el teorema del residuo, consulte aquí .

Historia de esta prueba.

La prueba se remonta a Augustin Louis Cauchy (Cours d'Analyse, 1821, Nota VIII). En 1954, esta prueba apareció en el libro de Akiva e Isaak Yaglom "Problemas no elementales en una exposición elemental". Más tarde, en 1982, apareció en la revista Eureka , ^[11] atribuida a John Scholes, pero Scholes afirma que conoció la prueba de Peter Swinnerton-Dyer , y en cualquier caso sostiene que la prueba era "de conocimiento común en Cambridge a finales de Década de 1960". ^[12]

La prueba

La desigualdad se muestra gráficamente para cualquier . Los tres términos son las áreas del triángulo OAC, la sección circular OAB y el triángulo OAB. Al tomar recíprocos y elevar al cuadrado se obtiene .
${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\tan \theta >{\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta >{\tfrac {1}{2}}r^{2}\sin \theta }$
${\displaystyle \theta \in (0,\pi /2)}$
${\displaystyle \cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta }$

La idea principal detrás de la prueba es limitar las sumas parciales (finitas) entre dos expresiones, cada una de las cuales tenderá a ⁠ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}}$$π ²/6⁠ cuando m se acerca al infinito. Las dos expresiones se derivan de identidades que involucran las funciones cotangente y cosecante . Estas identidades, a su vez, se derivan de la fórmula de De Moivre , y ahora pasaremos a establecer estas identidades.

Sea x un número real con 0 < x < ⁠π/2⁠ , y sea n un número entero positivo impar. Luego, de la fórmula de De Moivre y la definición de la función cotangente, tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos(nx)+i\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}&={\frac {(\cos x+i\sin x)^{n}}{\sin ^{n}x}}\\[4pt]&=\left({\frac {\cos x+i\sin x}{\sin x}}\right)^{n}\\[4pt]&=(\cot x+i)^{n}.\end{aligned}}}$$

Del teorema del binomio , tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}(\cot x+i)^{n}=&{n \choose 0}\cot ^{n}x+{n \choose 1}(\cot ^{n-1}x)i+\cdots +{n \choose {n-1}}(\cot x)i^{n-1}+{n \choose n}i^{n}\\[6pt]=&{\Bigg (}{n \choose 0}\cot ^{n}x-{n \choose 2}\cot ^{n-2}x\pm \cdots {\Bigg )}\;+\;i{\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.\end{aligned}}}$$

Combinando las dos ecuaciones e igualando partes imaginarias se obtiene la identidad. $${\displaystyle {\frac {\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}={\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.}$$

Tomamos esta identidad, fijamos un entero positivo m , establecemos n = 2 m + 1 y consideramos x _r = ⁠r· π/2 metros + 1⁠ para r = 1, 2, ..., metro . Entonces nx _r es múltiplo de π y por lo tanto sin( nx _r ) = 0 . Entonces, $${\displaystyle 0={{2m+1} \choose 1}\cot ^{2m}x_{r}-{{2m+1} \choose 3}\cot ^{2m-2}x_{r}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}}$$

para cada r = 1, 2, ..., m . Los valores x _r = x ₁ , x ₂ , ..., x _m son números distintos en el intervalo 0 < x _r < ⁠π/2⁠ . Dado que la función cot ² x es uno a uno en este intervalo, los números t _r = cot ² x _r son distintos para r = 1, 2, ..., m . Según la ecuación anterior, estos m números son las raíces del polinomio de m grado $${\displaystyle p(t)={{2m+1} \choose 1}t^{m}-{{2m+1} \choose 3}t^{m-1}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}.}$$

Mediante las fórmulas de Vieta podemos calcular la suma de las raíces directamente examinando los dos primeros coeficientes del polinomio, y esta comparación muestra que $${\displaystyle \cot ^{2}x_{1}+\cot ^{2}x_{2}+\cdots +\cot ^{2}x_{m}={\frac {\binom {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}}={\frac {2m(2m-1)}{6}}.}$$

Sustituyendo la identidad csc ² x = cot ² x + 1 , tenemos $${\displaystyle \csc ^{2}x_{1}+\csc ^{2}x_{2}+\cdots +\csc ^{2}x_{m}={\frac {2m(2m-1)}{6}}+m={\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

Consideremos ahora la desigualdad cot ² x < ⁠1/x2^​⁠ < csc ² x (ilustrado geométricamente arriba). Si sumamos todas estas desigualdades para cada uno de los números x _r = ⁠r· π/2 metros + 1⁠ , y si usamos las dos identidades anteriores, obtenemos $${\displaystyle {\frac {2m(2m-1)}{6}}<\left({\frac {2m+1}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

Multiplicando por ( ⁠π/2 metros + 1⁠ )²
, esto se convierte $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m-1}{2m+1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{2m+1}}\right).}$$

A medida que m se acerca al infinito, las expresiones de la mano izquierda y derecha se aproximan ⁠π ²/6⁠ , entonces por el teorema de compresión , $${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\lim _{m\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

y esto completa la prueba.

Prueba asumiendo la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa

También es posible una prueba asumiendo la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa . ^[13] La conjetura afirma para el caso del grupo algebraico SL ₂ ( R ) que el número de Tamagawa del grupo es uno. Es decir, el cociente del grupo lineal especial sobre los adeles racionales por el grupo lineal especial de los racionales (un conjunto compacto , porque es una red en los adeles) tiene medida de Tamagawa 1: ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Q} )}$ $${\displaystyle \tau (SL_{2}(\mathbb {Q} )\setminus SL_{2}(A_{\mathbb {Q} }))=1.}$$

Para determinar una medida de Tamagawa, el grupo consta de matrices con . Una forma de volumen invariante en el grupo es ${\displaystyle SL_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle xt-yz=1}$ $${\displaystyle \omega ={\frac {1}{x}}dx\wedge dy\wedge dz.}$$

La medida del cociente es el producto de las medidas de correspondientes al lugar infinito, y las medidas de en cada lugar finito, donde son los enteros p-ádicos . ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Para los factores locales, donde está el campo con elementos y es el módulo del subgrupo de congruencia . Dado que cada una de las coordenadas asigna el último grupo a y , la medida de es , donde está la medida de Haar normalizada . Además, un cálculo estándar muestra que . Poniéndolos juntos da . $${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=|SL_{2}(F_{p})|\omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p))}$$ ${\displaystyle F_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \left|{\frac {1}{x}}\right|_{p}=1}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}$ ${\displaystyle \mu _{p}(p\mathbb {Z} _{p})^{3}=p^{-3}}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle |SL_{2}(F_{p})|=p(p^{2}-1)}$ ${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=(1-1/p^{2})}$

En el lugar infinito, un cálculo integral sobre el dominio fundamental de muestra que , y por lo tanto la conjetura de Weil finalmente da. En el lado derecho, reconocemos el producto de Euler para , y esto da la solución al problema de Basilea. ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} )=\pi ^{2}/6}$ $${\displaystyle 1={\frac {\pi ^{2}}{6}}\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right).}$$ ${\displaystyle 1/\zeta (2)}$

Este enfoque muestra la conexión entre la geometría (hiperbólica) y la aritmética, y puede invertirse para dar una prueba de la conjetura de Weil para el caso especial de , supeditada a una prueba independiente de que . ${\displaystyle SL_{2}}$ ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$

Otras identidades

Consulte los casos especiales de las identidades de la función zeta de Riemann cuando en las secciones siguientes aparezcan otras identidades y representaciones notablemente especiales de esta constante. ${\displaystyle s=2.}$

Representaciones en serie

Las siguientes son representaciones en serie de la constante: ^[14] $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}{k}}}}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(i-1)!(j-1)!}{(i+j)!}}.\end{aligned}}}$$

También existen expansiones en serie del tipo BBP para ζ (2) . ^[14]

Representaciones integrales

Las siguientes son representaciones integrales de ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle \zeta (2){\text{:}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}}$$

fracciones continuas

En el artículo clásico de van der Poorten que narra la prueba de Apéry de la irracionalidad de ${\displaystyle \zeta (3)}$ , ^[18] el autor señala como "una pista falsa" la similitud de una fracción continua para la constante de Apery, y la siguiente para la constante de Basilea: donde . Otra fracción continua de forma similar es: ^[19] donde . $${\displaystyle {\frac {\zeta (2)}{5}}={\cfrac {1}{{\widetilde {v}}_{1}-{\cfrac {1^{4}}{{\widetilde {v}}_{2}-{\cfrac {2^{4}}{{\widetilde {v}}_{3}-{\cfrac {3^{4}}{{\widetilde {v}}_{4}-\ddots }}}}}}}},}$$ ${\displaystyle {\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}}$ $${\displaystyle {\frac {\zeta (2)}{2}}={\cfrac {1}{v_{1}-{\cfrac {1^{4}}{v_{2}-{\cfrac {2^{4}}{v_{3}-{\cfrac {3^{4}}{v_{4}-\ddots }}}}}}}},}$$ ${\displaystyle v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}}$

Ver también

• Función zeta de Riemann
• la constante de apéry
• Lista de sumas de recíprocos

Referencias

• Weil, André (1983), Teoría de números: una aproximación a la historia , Springer-Verlag, ISBN 0-8176-3141-0.
• Dunham, William (1999), Euler: El maestro de todos nosotros , Asociación Matemática de América , ISBN 0-88385-328-0.
• Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann y el mayor problema sin resolver en matemáticas , Joseph Henry Press, ISBN 0-309-08549-7.
• Edwards, Harold M. (2001), Función Zeta de Riemann , Dover, ISBN 0-486-41740-9.

Notas

1. Ayoub, Raymond (1974), "Euler y la función zeta", Amer. Matemáticas. Mensual , 81 (10): 1067–86, doi :10.2307/2319041, JSTOR  2319041
2. E41 - De summis serierum reciprocarum
3. Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A013661", La enciclopedia en línea de secuencias enteras , Fundación OEIS
4. Vandervelde, Sam (2009), "Capítulo 9: Segmentos furtivos", Circle in a Box , Biblioteca de círculos matemáticos de MSRI, Instituto de investigación de ciencias matemáticas y Sociedad matemática estadounidense, págs.
5. A priori, dado que el lado izquierdo es un polinomio (de grado infinito), podemos escribirlo como producto de sus raíces como Entonces, como sabemos por cálculo elemental que , concluimos que la constante principal debe satisfacer . $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x(x^{2}-\pi ^{2})(x^{2}-4\pi ^{2})(x^{2}-9\pi ^{2})\cdots \\&=Ax\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$ ${\displaystyle A=1}$
6. En particular, si denotamos un número armónico generalizado de segundo orden , podemos demostrar fácilmente por inducción que como . ${\displaystyle H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}}$ ${\displaystyle [x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$
7. Havil, J. (2003), Gamma: Explorando la constante de Euler , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 37–42 (Capítulo 4), ISBN 0-691-09983-9
8. Cf., las fórmulas para números de Stirling generalizados probadas en: Schmidt, MD (2018), "Identidades combinatorias para números de Stirling generalizados que expanden las funciones factoriales f y los números armónicos f", J. Integer Seq. , 21 (Artículo 18.2.7)
9. Arakawa, Tsuneo; Ibukiyama, Tomoyoshi; Kaneko, Masanobu (2014), Números de Bernoulli y funciones Zeta , Springer, p. 61, ISBN 978-4-431-54919-2
10. Freitas, FL (2023), "Solución del problema de Basilea utilizando el truco integral de Feynman", arXiv : 2312.04608 [math.CA]
11. Ransford, TJ (verano de 1982), "Una prueba elemental de ∑ 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2} }}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} " (PDF) , Eureka , 42 (1): 3–4
12. Aigner, Martín ; Ziegler, Günter M. (2001), Pruebas del LIBRO (2ª ed.), Springer, p. 32, ISBN 9783662043158; Esta anécdota falta en ediciones posteriores de este libro, que la reemplazan con una historia anterior de la misma prueba.
13. Vladimir Platonov ; Andrei Rapinchuk (1994), Grupos algebraicos y teoría de números , traducido por Rachel Rowen, Academic Press|
14. Weisstein, Eric W. , "Función Zeta de Riemann \zeta(2)", MathWorld
15. Connon, DF (2007), "Algunas series e integrales que involucran la función zeta de Riemann, coeficientes binomiales y números armónicos (Volumen I)", arXiv : 0710.4022 [math.HO]
16. Weisstein, Eric W. , "Doble integral", MathWorld
17. Weisstein, Eric W. , "Fórmula de Hadjicostas", MathWorld
18. van der Poorten, Alfred (1979), "Una prueba que Euler pasó por alto... La prueba de Apéry de la irracionalidad de ζ(3)" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 1 (4): 195–203, doi :10.1007 /BF03028234, S2CID  121589323, archivado desde el original (PDF) el 6 de julio de 2011
19. Berndt, Bruce C. (1989), Cuadernos de Ramanujan: Parte II , Springer-Verlag, p. 150, ISBN 978-0-387-96794-3

enlaces externos

• Una serie infinita de sorpresas de CJ Sangwin
• De ζ(2) a Π. La prueba. prueba paso a paso
• Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques (PDF), traducción al inglés con notas del artículo de Euler de Lucas Willis y Thomas J. Osler
• Ed Sandifer, Cómo lo hizo Euler (PDF)
• James A. Sellers (5 de febrero de 2002), Más allá de la mera convergencia (PDF) , consultado el 27 de febrero de 2004
• Robin Chapman, Evaluación de ζ(2) (catorce pruebas)
• Visualización de la factorización de Euler de la función seno.
• Johan W Ästlund (8 de diciembre de 2010), Sumar cuadrados inversos mediante geometría euclidiana (PDF)
  • ¿Por qué está pi aquí? ¿Y por qué está al cuadrado? Una respuesta geométrica al problema de Basilea en YouTube (prueba animada basada en lo anterior)