Teorema de factorización de Weierstrass

Teorema en análisis complejo que establece que todas las funciones pueden factorizarse según sus ceros

En matemáticas , y particularmente en el campo del análisis complejo , el teorema de factorización de Weierstrass afirma que toda función entera puede representarse como un producto (posiblemente infinito) que involucra sus ceros . El teorema puede verse como una extensión del teorema fundamental del álgebra , que afirma que todo polinomio puede factorizarse en factores lineales, uno por cada raíz.

El teorema, que lleva el nombre de Karl Weierstrass , está estrechamente relacionado con un segundo resultado: cada secuencia que tiende al infinito tiene asociada una función entera con ceros precisamente en los puntos de esa secuencia.

Una generalización del teorema lo extiende a funciones meromórficas y permite considerar una función meromórfica dada como un producto de tres factores: términos que dependen de los ceros y polos de la función, y una función holomorfa asociada distinta de cero . ^{[ cita requerida ]}

Motivación

Es evidente que cualquier conjunto finito de puntos en el plano complejo tiene asociado un polinomio cuyos ceros están precisamente en los puntos de ese conjunto. La inversa es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra : cualquier función polinómica en el plano complejo tiene una factorización donde a es una constante distinta de cero y es el conjunto de ceros de . ^[1] ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ ${\textstyle p(z)=\prod _{n}(z-c_{n})}$ ${\displaystyle p(z)}$ ${\textstyle p(z)=a\prod _{n}(z-c_{n}),}$ ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ ${\displaystyle p(z)}$

Las dos formas del teorema de factorización de Weierstrass pueden considerarse como extensiones del anterior a funciones enteras. La necesidad de términos adicionales en el producto se demuestra cuando se considera donde la secuencia no es finita . Nunca puede definir una función entera, porque el producto infinito no converge. Por lo tanto, no se puede, en general, definir una función entera a partir de una secuencia de ceros prescritos o representar una función entera por sus ceros utilizando las expresiones producidas por el teorema fundamental del álgebra. ${\textstyle \prod _{n}(z-c_{n})}$ ${\displaystyle \{c_{n}\}}$

Una condición necesaria para la convergencia del producto infinito en cuestión es que para cada z, los factores deben aproximarse a 1 cuando . Por lo tanto, es lógico que se busque una función que pueda ser 0 en un punto prescrito, pero que permanezca cerca de 1 cuando no esté en ese punto y, además, no introduzca más ceros que los prescritos. Los factores elementales de Weierstrass tienen estas propiedades y sirven para el mismo propósito que los factores anteriores. ${\displaystyle (z-c_{n})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (z-c_{n})}$

Los factores elementales

Consideremos las funciones de la forma para . En , se evalúan como y tienen una pendiente plana en el orden hasta . Justo después de , caen abruptamente a un pequeño valor positivo. En contraste, considere la función que no tiene pendiente plana pero, en , se evalúa como exactamente cero. Observe también que para | z | < 1 , ${\textstyle \exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle 1-z}$ ${\displaystyle z=1}$

${\displaystyle (1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right).}$

Gráfico de para n = 0,...,4 y x en el intervalo [-1,1] . ${\displaystyle E_{n}(x)}$

Los factores elementales , ^[2] también denominados factores primarios , ^[3] son ​​funciones que combinan las propiedades de pendiente cero y valor cero (ver gráfico):

${\displaystyle E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{if }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Para | z | < 1 y , se puede expresar como y se puede leer cómo se aplican esas propiedades. ${\displaystyle n>0}$ ${\textstyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}$

La utilidad de los factores elementales reside en el siguiente lema: ^[2] ${\textstyle E_{n}(z)}$

Lema (15.8, Rudin) para | z | ≤ 1 , ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.}$

Las dos formas del teorema

Existencia de una función completa con ceros especificados

Sea una secuencia de números complejos distintos de cero tal que . Si es cualquier secuencia de números enteros no negativos tal que para todo , ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle |a_{n}|\to \infty }$ ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(r/|a_{n}|\right)^{1+p_{n}}<\infty ,}$

entonces la función

${\displaystyle f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})}$

es entera con ceros solo en los puntos . Si un número aparece en la secuencia exactamente m veces, entonces la función f tiene un cero en de multiplicidad m . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle z=z_{0}}$

• La secuencia en el enunciado del teorema siempre existe. Por ejemplo, siempre podríamos tomar y tener la convergencia. Tal secuencia no es única: cambiarla en un número finito de posiciones, o tomar otra secuencia p ′ _n ≥ p _n , no romperá la convergencia. ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ ${\displaystyle p_{n}=n}$
• El teorema se generaliza a lo siguiente: las secuencias en subconjuntos abiertos (y, por lo tanto, regiones ) de la esfera de Riemann tienen funciones asociadas que son holomorfas en esos subconjuntos y tienen ceros en los puntos de la secuencia. ^[2]
• También se incorpora aquí el caso dado por el teorema fundamental del álgebra. Si la sucesión es finita entonces podemos tomar y obtener: . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle p_{n}=0}$ ${\displaystyle \,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})}$

El teorema de factorización de Weierstrass

Sea ƒ una función entera, y sean los ceros distintos de cero de ƒ repetidos según multiplicidad; supongamos también que ƒ tiene un cero en z = 0 de orden m ≥ 0 . ^[a] Entonces existe una función entera g y una secuencia de números enteros tales que ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}}$

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).}$^[4]

Ejemplos de factorización

Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen factorizaciones mientras que la función gamma tiene factorización donde es la constante de Euler-Mascheroni . ^{[ cita requerida ]} La identidad del coseno puede verse como un caso especial de para . ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n}}\right)^{2}\right)}$$ $${\displaystyle \cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+{\tfrac {1}{2}}}}\right)^{2}\right)}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=e^{\gamma z}z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-z/n},}$$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (s-z)\Gamma (s+z)}}={\frac {1}{\Gamma (s)^{2}}}\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+s}}\right)^{2}\right)}$$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}$

Teorema de factorización de Hadamard

Un caso especial del teorema de factorización de Weierstraß ocurre para funciones enteras de orden finito . En este caso, el puede tomarse independiente de y la función es un polinomio. Por lo tanto, donde son aquellas raíces de que no son cero ( ), es el orden del cero de en (el caso se toma como ), un polinomio (cuyo grado llamaremos ), y es el entero no negativo más pequeño tal que la serie converge. Esto se llama representación canónica de Hadamard . ^[4] El entero no negativo se llama género de la función entera . El orden de satisface En otras palabras: Si el orden no es un entero, entonces es la parte entera de . Si el orden es un entero positivo, entonces hay dos posibilidades: o . ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g(z)}$ $${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})}$$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}$$ ${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle g\leq \rho \leq g+1}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=[\rho ]}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=\rho -1}$ ${\displaystyle g=\rho }$

Por ejemplo, , y son funciones enteras del género . ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle g=\rho =1}$

Véase también

• Teorema de Mittag-Leffler
• Producto de Wallis , que se puede derivar de este teorema aplicado a la función seno
• Producto Blaschke

Notas

1. Un cero de orden m = 0 en z = 0 se considera que significa ƒ (0) ≠ 0 , es decir, no tiene un cero en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$

1. Knopp, K. (1996), "Teorema de factores de Weierstrass", Teoría de funciones, Parte II , Nueva York: Dover, págs. 1–7.
2. Rudin, W. (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Boston: McGraw Hill, págs. 301–304, ISBN 0-07-054234-1, OCLC  13093736
3. Boas, RP (1954), Funciones completas , Nueva York: Academic Press Inc., ISBN 0-8218-4505-5, OCLC  6487790, capítulo 2.
4. Conway, JB (1995), Funciones de una variable compleja I, 2.ª ed. , springer.com: Springer, ISBN 0-387-90328-3

Enlaces externos

• "Teorema de Weierstrass", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

• Visualización de la factorización de Weierstrass de la función seno según Euler en Wayback Machine (archivada el 30 de noviembre de 2018)