Prueba integral de convergencia

Prueba de convergencia de series infinitas de términos monótonos

La prueba integral aplicada a la serie armónica . Como el área bajo la curva y = 1/ x para x ∈ [1, ∞) es infinita, el área total de los rectángulos también debe ser infinita.

En matemáticas , la prueba integral de convergencia es un método utilizado para probar la convergencia de series infinitas de términos monótonos . Fue desarrollado por Colin Maclaurin y Augustin-Louis Cauchy y a veces se le conoce como prueba de Maclaurin-Cauchy .

Declaración de la prueba

Considere un número entero N y una función no negativa f definida en el intervalo ilimitado [ N , ∞) , en el cual es monótono decreciente . Entonces la serie infinita

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

converge a un número real si y sólo si la integral impropia

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

es finito. En particular, si la integral diverge, entonces la serie también diverge .

Observación

Si la integral impropia es finita, entonces la prueba también da los límites inferior y superior

para la serie infinita.

Tenga en cuenta que si la función es creciente, entonces la función es decreciente y se aplica el teorema anterior. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle -f(x)}$

Prueba

La prueba básicamente utiliza la prueba de comparación , comparando el término f ( n ) con la integral de f en los intervalos [ n − 1, n ) y [ n , n + 1) , respectivamente.

La función monótona es continua en casi todas partes . Para mostrar esto, dejemos . Para cada , existe por la densidad de a tal que . Tenga en cuenta que este conjunto contiene un intervalo abierto no vacío precisamente si es discontinuo en . Podemos identificarlo de forma única como el número racional que tiene el menor índice en una enumeración y satisface la propiedad anterior. Dado que es monótono , esto define un mapeo inyectivo y por lo tanto es contable . De ello se deduce que es continuo en casi todas partes . Esto es suficiente para la integrabilidad de Riemann . ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ is discontinuous at }}x\}}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle c(x)\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$

Como f es una función monótona decreciente, sabemos que

${\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}$

y

${\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}$

Por tanto, para cada número entero n ≥ N ,

y, para cada número entero n ≥ N + 1 ,

Por suma de todos los n desde N a algún entero mayor M , obtenemos de ( 2 )

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}$

y de ( 3 )

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}f(n)=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Combinando estas dos estimaciones se obtiene

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Si hacemos que M tienda al infinito, se siguen los límites en ( 1 ) y el resultado.

Aplicaciones

La serie armónica

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

diverge porque, usando el logaritmo natural , su antiderivada y el teorema fundamental del cálculo , obtenemos

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

Por otra parte, la serie

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}}$

(cf. función zeta de Riemann ) converge para cada ε > 0 , porque según la regla de la potencia

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

De ( 1 ) obtenemos la estimación superior

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}$

que se puede comparar con algunos de los valores particulares de la función zeta de Riemann .

Límite entre divergencia y convergencia

Los ejemplos anteriores que involucran series armónicas plantean la cuestión de si existen secuencias monótonas tales que f ( n ) disminuye a 0 más rápido que 1/ n pero más lento que 1/ n ^{1+ ε} en el sentido de que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

para cada ε > 0 , y si la serie correspondiente de f ( n ) aún diverge. Una vez que se encuentra dicha secuencia, se puede hacer una pregunta similar con f ( n ) asumiendo el papel de 1/ n , y así sucesivamente. De esta manera es posible investigar el límite entre divergencia y convergencia de series infinitas.

Utilizando la prueba integral de convergencia, se puede demostrar (ver más abajo) que, para cada número natural k , la serie

todavía diverge (cf. prueba de que la suma de los recíprocos de los números primos diverge para k = 1 ) pero

converge para cada ε > 0 . Aquí ln _k denota la composición k veces del logaritmo natural definido recursivamente por

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

Además, N _k denota el número natural más pequeño tal que la composición k veces está bien definida y ln _k ( N _k ) ≥ 1 , es decir

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

utilizando la tetración o la notación de flecha hacia arriba de Knuth .

Para ver la divergencia de la serie ( 4 ) usando la prueba integral, observe que mediante la aplicación repetida de la regla de la cadena

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

por eso

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

Para ver la convergencia de la serie ( 5 ), observe que por la regla de la potencia , la regla de la cadena y el resultado anterior

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

por eso

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

y ( 1 ) da límites para la serie infinita en ( 5 ).

Ver también

• Pruebas de convergencia
• Convergencia (matemáticas)
• Prueba de comparación directa
• Teorema de convergencia dominada
• Fórmula de Euler-Maclaurin
• Prueba de comparación de límites
• Teorema de convergencia monótona

Referencias

• Knopp, Konrad , "Infinite Sequences and Series", Dover Publications , Inc., Nueva York, 1956. (§ 3.3) ISBN  0-486-60153-6
• Whittaker, ET y Watson, GN, Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3 
• Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3 

1. Brown, AB (septiembre de 1936). "Una prueba de la condición de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann". El Mensual Matemático Estadounidense . 43 (7): 396–398. doi :10.2307/2301737. ISSN  0002-9890. JSTOR  2301737.