Prueba de comparación de límites

Método de prueba de la convergencia de una serie infinita

En matemáticas , la prueba de comparación límite (LCT) (en contraste con la prueba de comparación directa relacionada ) es un método para probar la convergencia de una serie infinita .

Declaración

Supongamos que tenemos dos series y con para todo . Entonces, si con , entonces ambas series convergen o ambas series divergen. ^[1] ${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}\geq 0,b_{n}>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$ ${\displaystyle 0<c<\infty }$

Prueba

Porque sabemos que para cada hay un entero positivo tal que para todos tenemos que , o equivalentemente ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$

Como podemos elegir que sea suficientemente pequeño de modo que sea positivo, y por la prueba de comparación directa , si converge, entonces también lo hace . ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle c-\varepsilon }$ ${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$

De manera similar , entonces si diverge, nuevamente por la prueba de comparación directa, también lo hace . ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$

Es decir, ambas series convergen o ambas series divergen.

Ejemplo

Queremos determinar si la serie converge. Para ello la comparamos con la serie convergente ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Como tenemos que la serie original también converge. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0}$

Versión de una sola cara

Se puede formular una prueba de comparación unilateral utilizando el límite superior . Sea para todo . Entonces, si con y converge, necesariamente converge. ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$ ${\displaystyle 0\leq c<\infty }$ ${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$

Ejemplo

Sea y para todos los números naturales . Ahora no existe, por lo que no podemos aplicar la prueba de comparación estándar. Sin embargo, y dado que converge, la prueba de comparación unilateral implica que converge. ${\displaystyle a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$

Prueba inversa de comparación unilateral

Sea para todos . Si diverge y converge, entonces necesariamente , es decir, . El contenido esencial aquí es que en cierto sentido los números son mayores que los números . ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty }$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Ejemplo

Sea analítico en el disco unitario y tenga imagen de área finita. Por la fórmula de Parseval el área de la imagen de es proporcional a . Además, diverge. Por lo tanto, por el inverso de la prueba de comparación, tenemos , es decir, . ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0}$

Véase también

• Pruebas de convergencia
• Prueba de comparación directa

Referencias

1. Swokowski, Earl (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, pág. 516, ISBN 0-87150-341-7

Lectura adicional

• Rinaldo B. Schinazi: Del cálculo al análisis . Springer, 2011, ISBN 9780817682897 , pp. 50 
• Michele Longo y Vincenzo Valori: La prueba de comparación: no sólo para series no negativas . Mathematics Magazine, vol. 79, n.º 3 (junio de 2006), págs. 205-210 (JSTOR)
• J. Marshall Ash: La prueba de comparación de límites necesita positividad . Mathematics Magazine, vol. 85, n.º 5 (diciembre de 2012), págs. 374-375 (JSTOR)

Enlaces externos

• Notas en línea de Paul sobre la prueba de comparación