En el límite, la suma de los recíprocos de los números primos < n y la función ln(ln n ) están separadas por una constante, la constante de Meissel-Mertens (etiquetada como M arriba).
Aquí γ es la constante de Euler-Mascheroni , que tiene una definición análoga que implica una suma de todos los números enteros (no sólo los primos).
La trama de la suma armónica principal y la aproximación de Merten a ella. El original de esta figura tiene un eje y de 8 cm de longitud y abarca el intervalo (2,5, 3,8), por lo que si el eje n se trazara en la escala lineal en lugar de logarítmica, entonces debería tener kilómetros de largo, ese es el tamaño. del Sistema Solar.
El valor de M es aproximadamente
M ≈ 0.2614972128476427837554268386086958590516... (secuencia A077761 en la OEIS ).
El hecho de que haya dos logaritmos (log de log) en el límite de la constante de Meissel-Mertens puede considerarse una consecuencia de la combinación del teorema de los números primos y el límite de la constante de Euler-Mascheroni.
En la cultura popular
Google utilizó la constante de Meissel-Mertens al participar en la subasta de patentes de Nortel . Google publicó tres ofertas basadas en números matemáticos: 1.902.160.540 dólares ( constante de Brun ), 2.614.972.128 dólares (constante de Meissel-Mertens) y 3,14159 millones de dólares ( π ). [1]
![{\displaystyle M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{\scriptstyle p{\text{ prime}} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p} }-\ln(\ln n)\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\ frac {1}{p}}\derecha].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458f1b3f6afe8490c8f84dd45f1f895a8447f9e8)
