En teoría de números , una k - tupla prima es una colección finita de valores que representan un patrón repetible de diferencias entre números primos . Para una k - tupla ( a , b , …) , las posiciones donde la k -tupla coincide con un patrón en los números primos están dadas por el conjunto de números enteros n tales que todos los valores ( n + a , n + b , …) son primos. Normalmente, el primer valor en la k -tupla es 0 y el resto son números pares positivos distintos . [1]
Varias de las k -tuplas más cortas se conocen por otros nombres comunes:
La secuencia OEIS OEIS : A257124 cubre los 7-tuplas ( septillizos primos ) y contiene una descripción general de las secuencias relacionadas, por ejemplo, las tres secuencias correspondientes a los tres 8-tuplas admisibles ( octillizos primos ) y la unión de todos los 8-tuplas. El primer término en estas secuencias corresponde al primer primo en la constelación de primos más pequeña que se muestra a continuación.
Para que una k -tupla tenga infinitas posiciones en las que todos sus valores sean primos, no puede existir un primo p tal que la tupla incluya todos los valores posibles diferentes módulo p . Porque, si existiera tal primo p , entonces no importa qué valor de n se elija, uno de los valores formados al sumar n a la tupla sería divisible por p , por lo que solo podría haber un número finito de posiciones de primos (solo aquellas que incluyan al propio p ). Por ejemplo, los números en una k -tupla no pueden tomar los tres valores 0, 1 y 2 módulo 3; de lo contrario, los números resultantes siempre incluirían un múltiplo de 3 y, por lo tanto, no podrían ser todos primos a menos que uno de los números sea 3 en sí mismo. Una k -tupla que satisface esta condición (es decir, no tiene un p para el cual cubre todos los diferentes valores módulo p ) se llama admisible .
Se conjetura que cada k -tupla admisible coincide con un número infinito de posiciones en la secuencia de números primos. Sin embargo, no hay ninguna tupla admisible para la que esto se haya demostrado excepto la 1-tupla (0). En ese caso, la conjetura es equivalente a la afirmación de que hay un número infinito de primos . No obstante, Yitang Zhang demostró en 2013 que existe al menos una 2-tupla que coincide con un número infinito de posiciones; trabajos posteriores demostraron que existe una 2-tupla de este tipo con valores que difieren en 246 o menos que coincide con un número infinito de posiciones. [2]
Aunque (0, 2, 4) no es admisible, sí produce el único conjunto de números primos, (3, 5, 7) .
Algunas k -tuplas inadmisibles tienen más de una solución que sea primo en su totalidad. Esto no puede suceder con una k -tupla que incluya todos los valores módulo 3, por lo que para tener esta propiedad una k -tupla debe cubrir todos los valores módulo un primo mayor, lo que implica que hay al menos cinco números en la tupla. La tupla inadmisible más corta con más de una solución es la 5-tupla (0, 2, 8, 14, 26) , que tiene dos soluciones: (3, 5, 11, 17, 29) y (5, 7, 13, 19, 31) , donde todos los valores módulo 5 están incluidos en ambos casos.
El diámetro de una k -tupla es la diferencia de sus elementos más grande y más pequeño. Una k -tupla prima admisible con el diámetro más pequeño posible d (entre todas las k -tuplas admisibles) es una constelación prima . Para todo n ≥ k esto siempre producirá primos consecutivos. [3] (Recuerde que todos los n son números enteros para los cuales los valores ( n + a , n + b , …) son primos.)
Esto significa que, para n grande :
donde p n es el n- ésimo número primo.
Las primeras constelaciones principales son:
El diámetro d en función de k es la secuencia A008407 en la OEIS .
A una constelación principal a veces se la denomina k -tuplete principal , pero algunos autores reservan ese término para instancias que no forman parte de k -tupletes más largos.
La primera conjetura de Hardy-Littlewood predice que se puede calcular la frecuencia asintótica de cualquier constelación prima. Si bien la conjetura no está demostrada, se considera que es probable que sea cierta. Si ese es el caso, implica que la segunda conjetura de Hardy-Littlewood , en cambio, es falsa.
Se dice que una k -tupla prima de la forma (0, n , 2 n , 3 n , …, ( k − 1) n ) es una progresión aritmética prima . Para que dicha k -tupla cumpla con la prueba de admisibilidad, n debe ser un múltiplo del primorial de k . [5]
Los números de Skewes para k -tuplas primos son una extensión de la definición del número de Skewes para k -tuplas primos basada en la primera conjetura de Hardy-Littlewood (Tóth (2019)). Sea k -tupla primo , el número de primos p por debajo de x tales que son todos primos, sea y sea su constante de Hardy-Littlewood (véase la primera conjetura de Hardy-Littlewood ). Entonces, el primer primo p que viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para la k -tupla P , es decir, tal que
(si tal primo existe) es el número de Skewes para P.
La siguiente tabla muestra los números de Skewes conocidos actualmente para k -tuplas primos:
El número de Skewes (si existe) para los primos sexys aún es desconocido .
