primordial

Producto de los primeros números primos.

En matemáticas , y más particularmente en teoría de números , primorial , denotado por "#", es una función de números naturales a números naturales similar a la función factorial , pero en lugar de multiplicar sucesivamente números enteros positivos, la función sólo multiplica números primos .

El nombre "primorial", acuñado por Harvey Dubner , establece una analogía con los primos similar a la forma en que el nombre "factorial" se relaciona con los factores .

Definición de números primos

p _n # en función de n , trazado logarítmicamente.

Para el n- ésimo número primo p _n , el primorial p _n # se define como el producto de los primeros n primos: ^{[1] [2]}

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$,

donde p _k es el késimo número primo. Por ejemplo, p ₅ # significa el producto de los primeros 5 números primos:

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Los primeros cinco primoriales p _n # son:

2 , 6 , 30 , 210 , 2310 (secuencia A002110 en el OEIS ).

La secuencia también incluye p ₀ # = 1 como producto vacío . Asintóticamente, los primoriales p _n # crecen según:

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},}$

donde o ( ) es la notación Little O. ^[2]

Definición de números naturales

norte ! (amarillo) en función de n , en comparación con n # (rojo), ambos trazados logarítmicamente.

En general, para un entero positivo n , su primorial, n# , es el producto de los primos que no son mayores que n ; es decir, ^{[1] [3]}

${\displaystyle n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$,

donde π ( n ) es la función de conteo de primos (secuencia A000720 en el OEIS ), que da el número de primos ≤ n . Esto equivale a:

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is composite}}.\end{cases}}}$

Por ejemplo, 12# representa el producto de aquellos primos ≤ 12:

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Como π (12) = 5 , esto se puede calcular como:

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

Considere los primeros 12 valores de n # :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vemos que para n compuesto cada término n # simplemente duplica el término anterior ( n − 1)# , como se indica en la definición. En el ejemplo anterior tenemos 12# = p ₅ # = 11# ya que 12 es un número compuesto.

Los primordiales están relacionados con la primera función de Chebyshev , escrita ϑ ( n ) o θ ( n ) según:

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta (n).}$^[4]

Dado que ϑ ( n ) se acerca asintóticamente a n para valores grandes de n , los primoriales crecen de acuerdo con:

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1))n}.}$

La idea de multiplicar todos los números primos conocidos aparece en algunas pruebas de la infinitud de los números primos , donde se utiliza para derivar la existencia de otro primo.

Características

• Sean p y q dos números primos adyacentes. Dado cualquiera , donde : ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p\leq n<q}$

${\displaystyle n\#=p\#}$

• Para el Primordial se conoce la siguiente aproximación: ^[5]

${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$.

Notas:

1. Utilizando métodos elementales, el matemático Denis Hanson demostró que ^[6] ${\displaystyle n\#\leq 3^{n}}$
2. Utilizando métodos más avanzados, Rosser y Schoenfeld demostraron que ^[7] ${\displaystyle n\#\leq (2.763)^{n}}$
3. Rosser y Schoenfeld en el Teorema 4, fórmula 3.14, demostraron que para , ^[7] ${\displaystyle n\geq 563}$ ${\displaystyle n\#\geq (2.22)^{n}}$

• Además:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$

Para , los valores son menores que e , ^[8] pero para n mayores , los valores de la función exceden el límite e y oscilan infinitamente alrededor de e más adelante. ${\displaystyle n<10^{11}}$

• Sea el k -ésimo primo, entonces tiene exactamente divisores. Por ejemplo, tiene 2 divisores, tiene 4 divisores, tiene 8 divisores y ya tiene divisores, ya que 97 es el vigésimo quinto primo. ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle p_{k}\#}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle 2\#}$ ${\displaystyle 3\#}$ ${\displaystyle 5\#}$ ${\displaystyle 97\#}$ ${\displaystyle 2^{25}}$
• La suma de los valores recíprocos del primorial converge hacia una constante

${\displaystyle \sum _{p\,\in \,\mathbb {P} }{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots }$

La expansión de Engel de este número da como resultado la secuencia de los números primos (Ver (secuencia A064648 en la OEIS ))

• Según el teorema de Euclides , se utiliza para demostrar la infinidad de los números primos. ${\displaystyle p\#+1}$

Aplicaciones y propiedades

Los primordiales desempeñan un papel en la búsqueda de números primos en progresiones aritméticas aditivas . Por ejemplo, 2 236 133 941  + 23# da como resultado un número primo, que comienza una secuencia de trece números primos que se encuentran sumando repetidamente 23# y termina con5 136 341 251 . 23# es también la diferencia común en progresiones aritméticas de quince y dieciséis primos.

Todo número altamente compuesto es un producto de primoriales (por ejemplo, 360 = 2 × 6 × 30 ). ^[9]

Los primordiales son todos números enteros sin cuadrados , y cada uno tiene más factores primos distintos que cualquier número menor que él. Para cada n primordial , la fracciónφ ( norte )/nortees menor que para cualquier número entero menor, donde φ es la función totiente de Euler .

Cualquier función completamente multiplicativa se define por sus valores en los primos, ya que está definida por sus valores en los primos, que pueden recuperarse mediante la división de valores adyacentes.

Los sistemas de bases correspondientes a primoriales (como la base 30, que no debe confundirse con el sistema numérico primorial ) tienen una menor proporción de fracciones repetidas que cualquier base más pequeña.

Cada primorial es un número escasamente dependiente . ^[10]

El n -compositorial de un número compuesto n es el producto de todos los números compuestos hasta n inclusive . ^[11] El n -compositorial es igual al n - factorial dividido por el primorial n # . Los compositores son

1 , 4 , 24 , 192 , 1728 ,17 280 ,207 360 ,2 903 040 ,43 545 600 ,696 729 600 , ... ^[12]

Apariencia

La función zeta de Riemann en números enteros positivos mayores que uno se puede expresar ^[13] utilizando la función primordial y la función totiente de Jordan J _k ( n ) :

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

Tabla de primoriales

Ver también

• La desigualdad de Bonse
• función de Chebyshev
• Sistema de números primordiales
• primo primordial

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Primorial". MundoMatemático .
2. (secuencia A002110 en la OEIS )
3. (secuencia A034386 en la OEIS )
4. Weisstein, Eric W. "Funciones de Chebyshev". MundoMatemático .
5. GH Hardy, EM Wright: Introducción a la teoría de números . 4ta edición. Prensa de la Universidad de Oxford, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1 . Teorema 415, pág. 341 
   
6. Hanson, Denis (marzo de 1972). "Sobre el producto de los números primos". Boletín de Matemáticas Canadiense . 15 (1): 33–37. doi : 10.4153/cmb-1972-007-7 . ISSN  0008-4395.
7. Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1 de marzo de 1962). "Fórmulas aproximadas para algunas funciones de números primos". Revista de Matemáticas de Illinois . 6 (1). doi : 10.1215/ijm/1255631807 . ISSN  0019-2082.
8. L. Schoenfeld: Límites más definidos para las funciones de Chebyshev y ${\displaystyle \theta (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ . II. Matemáticas. comp. vol. 34, núm. 134 (1976) 337–360; pag. 359.
   Citado en: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef sur le k -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction , nombre de diviseurs premiers de n ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega (n)}$ . Acta Aritmo. XLII (1983) 367–389 (PDF 731 KB); pag. 371
9. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A002182 (Números altamente compuestos)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
10. Maser, DW ; Shiu, P. (1986). "En números escasos de pacientes". Revista Pacífico de Matemáticas . 121 (2): 407–426. doi : 10.2140/pjm.1986.121.407 . ISSN  0030-8730. Señor  0819198. Zbl  0538.10006.
11. Wells, David (2011). Números primos: las figuras más misteriosas de las matemáticas. John Wiley e hijos. pag. 29.ISBN _ 9781118045718. Consultado el 16 de marzo de 2016 .
12. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A036691 (Números compositivos: producto de los primeros n números compuestos)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
13. Mező, István (2013). "La función zeta primordial y de Riemann". El Mensual Matemático Estadounidense . 120 (4): 321.
14. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A014545 (Primorial más 1 índices primos)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
15. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A057704 (Primorial - 1 índices primos)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

Referencias

• Dubner, Harvey (1987). "Primos factoriales y primoriales". J. Recr. Matemáticas. 19 : 197–203.
• Spencer, Adam "Top 100" Número 59 parte 4.