En matemáticas , el principio local-global de Helmut Hasse , también conocido como principio de Hasse , es la idea de que se puede encontrar una solución entera a una ecuación utilizando el teorema del resto chino para unir soluciones módulo potencias de cada número primo diferente . Esto se maneja examinando la ecuación en las compleciones de los números racionales : los números reales y los números p -ádicos . Una versión más formal del principio de Hasse establece que ciertos tipos de ecuaciones tienen una solución racional si y solo si tienen una solución en los números reales y en los números p -ádicos para cada primo p .
Dada una ecuación polinómica con coeficientes racionales, si tiene una solución racional, entonces esto también produce una solución real y una solución p -ádica, ya que los racionales se incrustan en los reales y p -ádicos: una solución global produce soluciones locales en cada primo. El principio de Hasse pregunta cuándo se puede hacer lo inverso, o mejor dicho, pregunta cuál es el obstáculo: ¿cuándo se pueden unir soluciones sobre los reales y p -ádicos para obtener una solución sobre los racionales? ¿Cuándo se pueden unir soluciones locales para formar una solución global?
Se puede preguntar lo mismo para otros anillos o cuerpos : enteros, por ejemplo, o cuerpos numéricos . Para los cuerpos numéricos, en lugar de reales y p -ádicos, se utilizan incrustaciones complejas y -ádicos para los ideales primos .
El teorema de Hasse-Minkowski establece que el principio local-global se cumple para el problema de representar 0 mediante formas cuadráticas sobre los números racionales (que es el resultado de Minkowski ); y de manera más general sobre cualquier cuerpo de números (como demostró Hasse), cuando se usan todas las condiciones necesarias de cuerpo local apropiadas . El teorema de Hasse sobre extensiones cíclicas establece que el principio local-global se aplica a la condición de ser una norma relativa para una extensión cíclica de cuerpos de números.
Un contraejemplo de Ernst S. Selmer muestra que el teorema de Hasse-Minkowski no puede extenderse a formas de grado 3: la ecuación cúbica 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 tiene una solución en números reales y en todos los cuerpos p-ádicos, pero no tiene una solución no trivial en la que x , y y z sean todos números racionales. [1]
Roger Heath-Brown demostró [2] que cada forma cúbica sobre los números enteros en al menos 14 variables representa 0, mejorando los resultados anteriores de Davenport . [3] Dado que cada forma cúbica sobre los números p-ádicos con al menos diez variables representa 0, [2] el principio local-global se cumple trivialmente para las formas cúbicas sobre los racionales en al menos 14 variables.
Restringiéndose a las formas no singulares, se puede hacer algo mejor que esto: Heath-Brown demostró que cada forma cúbica no singular sobre los números racionales en al menos 10 variables representa 0, [4] estableciendo así trivialmente el principio de Hasse para esta clase de formas. Se sabe que el resultado de Heath-Brown es el mejor posible en el sentido de que existen formas cúbicas no singulares sobre los racionales en 9 variables que no representan cero. [5] Sin embargo, Hooley demostró que el principio de Hasse se cumple para la representación de 0 por formas cúbicas no singulares sobre los números racionales en al menos nueve variables. [6] Davenport, Heath-Brown y Hooley utilizaron el método del círculo de Hardy-Littlewood en sus demostraciones. Según una idea de Manin , las obstrucciones al principio de Hasse que se cumple para las formas cúbicas se pueden vincular a la teoría del grupo de Brauer ; Esta es la obstrucción de Brauer-Manin , que explica por completo el fracaso del principio de Hasse para algunas clases de variedad. Sin embargo, Skorobogatov ha demostrado que la obstrucción de Brauer-Manin no puede explicar todos los fracasos del principio de Hasse. [7]
Los contraejemplos de Fujiwara y Sudo muestran que el teorema de Hasse-Minkowski no es extensible a formas de grado 10 n + 5, donde n es un entero no negativo. [8]
Por otra parte, el teorema de Birch muestra que si d es cualquier número natural impar, entonces existe un número N ( d ) tal que cualquier forma de grado d en más de N ( d ) variables representa 0: el principio de Hasse se cumple trivialmente.
El teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether establece un principio local-global para la división de un álgebra central simple A sobre un cuerpo de números algebraicos K . Afirma que si A se divide en cada completitud K v entonces es isomorfa a un álgebra matricial sobre K .
El principio de Hasse para grupos algebraicos establece que si G es un grupo algebraico simplemente conexo definido sobre el cuerpo global k, entonces la función
es inyectiva, donde el producto es sobre todos los lugares s de k .
El principio de Hasse para grupos ortogonales está estrechamente relacionado con el principio de Hasse para las formas cuadráticas correspondientes.
Kneser (1966) y otros verificaron el principio de Hasse mediante pruebas caso por caso para cada grupo. El último caso fue el grupo E 8 , que Chernousov (1989) completó muchos años después de los otros casos.
El principio de Hasse para grupos algebraicos se utilizó en las demostraciones de la conjetura de Weil para los números de Tamagawa y el teorema de aproximación fuerte .
