álgebra central simple

Álgebra de dimensión finita sobre un campo cuyos elementos centrales son ese campo

En la teoría de anillos y áreas relacionadas de las matemáticas , un álgebra central simple ( CSA ) sobre un campo K es una K -álgebra A asociativa de dimensión finita que es simple y cuyo centro es exactamente K. (Tenga en cuenta que no toda álgebra simple es un álgebra simple central sobre su centro: por ejemplo, si K es un campo de característica 0, entonces el álgebra de Weyl es un álgebra simple con centro K , pero no es un álgebra simple central sobre K como tiene dimensión infinita como un módulo K. ) ${\displaystyle K[X,\partial _{X}]}$

Por ejemplo, los números complejos C forman un CSA sobre sí mismos, pero no sobre los números reales R (el centro de C es todo C , no solo R ). Los cuaterniones H forman un CSA de 4 dimensiones sobre R y, de hecho, representan el único elemento no trivial del grupo Brauer de los reales (ver más abajo).

Dadas dos álgebras simples centrales A ~ M ( n , S ) y B ~ M ( m , T ) sobre el mismo campo F , A y B se llaman similares (o equivalente de Brauer ) si sus anillos de división S y T son isomorfos. El conjunto de todas las clases de equivalencia de álgebras simples centrales sobre un campo dado F , bajo esta relación de equivalencia, puede equiparse con una operación de grupo dada por el producto tensorial de álgebras . El grupo resultante se llama grupo de Brauer Br( F ) del campo F . ^[1] Siempre es un grupo de torsión . ^[2]

Propiedades

• Según el teorema de Artin-Wedderburn, un álgebra simple A de dimensión finita es isomorfa al álgebra matricial M ( n , S ) para algún anillo de división S . Por tanto, existe un álgebra de división única en cada clase de equivalencia de Brauer. ^[3]
• Cada automorfismo de un álgebra simple central es un automorfismo interno (esto se desprende del teorema de Skolem-Noether ).
• La dimensión de un álgebra simple central como espacio vectorial sobre su centro es siempre un cuadrado: el grado es la raíz cuadrada de esta dimensión. ^[4] El índice de Schur de un álgebra simple central es el grado del álgebra de división equivalente: ^[5] depende únicamente de la clase de Brauer del álgebra. ^[6]
• El período o exponente de un álgebra simple central es el orden de su clase de Brauer como elemento del grupo de Brauer. Es divisor del índice, ^[7] y los dos números están compuestos por los mismos factores primos. ^{[8] [9] [10]}
• Si S es una subálgebra simple de un álgebra simple central A , entonces la tenue _F  S divide la tenue _F  A.
• Cada álgebra simple central de 4 dimensiones sobre un campo F es isomorfa a un álgebra de cuaterniones ; de hecho, es un álgebra matricial de dos por dos o un álgebra de división .
• Si D es un álgebra de división central sobre K para la cual el índice tiene factorización prima

${\displaystyle \mathrm {ind} (D)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}\ }$

entonces D tiene una descomposición en producto tensorial

${\displaystyle D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\ }$

donde cada componente Di es un álgebra de división central de índice _, y los componentes están determinados de forma única hasta el isomorfismo. ^[11] ${\displaystyle p_{i}^{m_{i}}}$

Campo dividido

Llamamos a un campo E un campo de división para A sobre K si A ⊗ E es isomorfo a un anillo de matriz sobre E . Cada CSA de dimensión finita tiene un campo de división: de hecho, en el caso de que A sea un álgebra de división, entonces un subcampo máximo de A es un campo de división. En general, según los teoremas de Wedderburn y Koethe, existe un campo de división que es una extensión separable de K de grado igual al índice de A , y este campo de división es isomorfo a un subcampo de A. ^{[12] [13]} Como ejemplo, el campo C divide el álgebra de cuaterniones H sobre R con

${\displaystyle t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \leftrightarrow \left({\begin{array}{*{20}c}t+xi&y+zi\\-y+zi&t-xi\end{array}}\right).}$

Podemos utilizar la existencia del campo de división para definir la norma reducida y la traza reducida para un CSA A. ^[14] Asigne A a un anillo de matriz sobre un campo de división y defina la norma reducida y la traza como la combinación de este mapa con determinante y traza respectivamente. Por ejemplo, en el álgebra de cuaterniones H , la división anterior muestra que el elemento t + x i + y j + z k tiene la norma reducida t ² + x ² + y ² + z ² y la traza 2 t reducida .

La norma reducida es multiplicativa y la traza reducida es aditiva. Un elemento a de A es invertible si y solo si su norma reducida es distinta de cero: por lo tanto, un CSA es un álgebra de división si y solo si la norma reducida es distinta de cero en los elementos distintos de cero. ^[15]

Generalización

Los CSA sobre un campo K son análogos no conmutativos a los campos de extensión sobre K ; en ambos casos, no tienen ideales bilaterales no triviales y tienen un campo distinguido en su centro, aunque un CSA puede ser no conmutativo y No es necesario que tenga inversas (no es necesario que sea un álgebra de división ). Esto es de particular interés en la teoría de números no conmutativa como generalizaciones de cuerpos numéricos (extensiones de los racionales Q ); ver campo de números no conmutativos .

Ver también

• Álgebra de Azumaya , generalización de CSA donde el campo base se reemplaza por un anillo local conmutativo
• Variedad Severi-Brauer
• teorema de posner

Referencias

1. Lorenz (2008) p.159
2. Lorenz (2008) p.194
3. Lorenz (2008) p.160
4. Gille y Szamuely (2006) p.21
5. Lorenz (2008) p.163
6. Gille y Szamuely (2006) p.100
7. Jacobson (1996) p.60
8. Jacobson (1996) p.61
9. Gille y Szamuely (2006) p.104
10. Cohn, Paul M. (2003). Más álgebra y aplicaciones. Springer-Verlag . pag. 208.ISBN​ 1852336676.
11. Gille y Szamuely (2006) p.105
12. Jacobson (1996) págs.27-28
13. Gille y Szamuely (2006) p.101
14. Gille y Szamuely (2006) págs. 37-38
15. Gille y Szamuely (2006) p.38

• Cohn, PM (2003). Más álgebra y aplicaciones (2ª ed.). Saltador. ISBN 1852336676. Zbl  1006.00001.
• Jacobson, Nathan (1996). Álgebras de división de dimensiones finitas sobre campos. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2. Zbl  0874.16002.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 67. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR  2104929. Zbl  1068.11023.
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados. Saltador. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.

Otras lecturas

• Alberto, AA (1939). Estructura de Álgebras . Publicaciones del Coloquio. vol. 24 (séptima edición de reimpresión revisada). Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl  0023.19901.
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras centrales simples y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 101. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.