Teorema de la norma de Hasse

En la extensión cíclica de campos numéricos, si k es una norma local en todas partes, es una norma global

En teoría de números , el teorema de la norma de Hasse establece que si L/K es una extensión cíclica de campos numéricos , entonces si un elemento distinto de cero de K es una norma local en todas partes, entonces es una norma global. Aquí ser una norma global significa ser un elemento k de K tal que exista un elemento l de L con ; en otras palabras, k es una norma relativa de algún elemento del campo de extensión L. Ser una norma local significa que para algún primo p de K y algún primo P de L que se encuentra sobre K, entonces k es una norma de L _P ; aquí el "primo" p puede ser una valoración de Arquímedes, y el teorema es una afirmación sobre las terminaciones en todas las valoraciones, arquímedes y no arquímedes. ${\displaystyle \mathbf {N} _{L/K}(l)=k}$

El teorema ya no es cierto en general si la extensión es abeliana pero no cíclica. Hasse dio el contraejemplo de que 3 es una norma local en todas partes para la extensión, pero no es una norma global. Serre y Tate demostraron que otro contraejemplo lo da el campo donde cada cuadrado racional es una norma local en todas partes pero no es una norma global. ${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {-3}},{\sqrt {13}})/{\mathbf {Q} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {13}},{\sqrt {17}})/{\mathbf {Q} }}$ ${\displaystyle 5^{2}}$

Este es un ejemplo de un teorema que establece un principio local-global .

El teorema completo se debe a Hasse  (1931). Hilbert (1897) demostró el caso especial cuando el grado n de la extensión es 2, y Furtwangler demostró el caso especial cuando n es primo en 1902. ^{[ cita necesaria ]}

El teorema de la norma de Hasse se puede deducir del teorema de que un elemento del grupo de cohomología de Galois H ² ( L / K ) es trivial si es trivial localmente en todas partes, lo que a su vez equivale al teorema profundo de que la primera cohomología del idele El grupo de clase desaparece. Esto es cierto para todas las extensiones finitas de Galois de campos numéricos, no sólo para las cíclicas. Para extensiones cíclicas, el grupo H ² ( L / K ) es isomorfo al grupo de cohomología de Tate H ⁰ ( L / K ), que describe qué elementos son normas, por lo que para extensiones cíclicas se convierte en el teorema de Hasse de que un elemento es una norma si es una norma local en todas partes.

Ver también

• Teorema de Grunwald-Wang , sobre cuándo un elemento que es una potencia en todas partes a nivel local es una potencia.

Referencias

• Hasse, H. (1931), "Beweis eines Satzes und Wiederlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 64–69
• H. Hasse, "A History of Class Field Theory", en JWS Cassels y A. Frohlich (edd), Teoría algebraica de números , Academic Press , 1973. Capítulo XI.
• G. Janusz, Campos de números algebraicos , Academic Press, 1973. Teorema V.4.5, p. 156
• Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 4 : 175–546, ISSN  0012-0456