En matemáticas , el teorema de Birch , [1] llamado así por Bryan John Birch , es una afirmación sobre la representabilidad del cero mediante formas de grados impares.
Sea K un cuerpo numérico algebraico , k , l y n sean números naturales , r 1 , ..., r k sean números naturales impares, y f 1 , ..., f k sean polinomios homogéneos con coeficientes en K de grados. r 1 , ..., r k respectivamente en n variables. Entonces existe un número ψ ( r 1 , ..., r k , l , K ) tal que si
entonces existe un subespacio vectorial de l dimensión V de K n tal que
La prueba del teorema es por inducción sobre el grado máximo de las formas f 1 , ..., f k . Esencial para la prueba es un caso especial, que puede demostrarse mediante una aplicación del método del círculo de Hardy-Littlewood , del teorema que establece que si n es suficientemente grande y r es impar, entonces la ecuación
tiene solución en números enteros x 1 , ..., x n , no todos los cuales son 0.
La restricción a r impar es necesaria, ya que las formas de grado par, como las formas cuadráticas definidas positivas , pueden tomar el valor 0 sólo en el origen.
