Ideal primordial

En álgebra , un ideal primo es un subconjunto de un anillo que comparte muchas propiedades importantes de un número primo en el anillo de los números enteros . ^[1]^[2] Los ideales primos para los números enteros son los conjuntos que contienen todos los múltiplos de un número primo dado, junto con el ideal cero .

Los ideales primitivos son primos, y los ideales primos son tanto primarios como semiprimos .

Ideales primos para anillos conmutativos

Definición

Un ideal $P$ de un anillo conmutativo $R$ es primo si tiene las dos propiedades siguientes:

Si $a$ y $b$ son dos elementos de $R$ tales que su producto ab $es$ un elemento de $P$ , entonces $a$ está en $P$ o $b$ está en $P.$
$P$ no es todo el anillo $R.$

Esto generaliza la siguiente propiedad de los números primos, conocida como lema de Euclides : si $p$ es un número primo y si $p$ divide un producto $ab$ de dos números enteros , entonces $p$ divide $a a$ o $p$ divide $b$ . Por lo tanto, podemos decir

Un entero positivo

n

es un número primo si y solo si es un ideal primo en

n\mathbb {Z}

\mathbb {Z}.

Ejemplos

Un ejemplo sencillo: en el anillo, el subconjunto de números pares es un ideal primo. $R=\mathbb {Z},$
Dado un dominio integral , cualquier elemento primo genera un ideal principal primo . Por ejemplo, tomemos un polinomio irreducible en un anillo polinómico sobre algún cuerpo . El criterio de Eisenstein para dominios integrales (de ahí los UFD ) puede ser eficaz para determinar si un elemento en un anillo polinómico es irreducible . ${\estilo de visualización R}$ $p\en R$ ${\estilo de visualización (p)}$ $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $\mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $\mathbb {F}$
Si $R$ denota el anillo de polinomios en dos variables con coeficientes complejos , entonces el ideal generado por el polinomio $Y$ $2$ $-$ $X$ $3$ $-$ $X$ $- 1$ es un ideal primo (ver curva elíptica ). $\mathbb {C} [X,Y]$
En el anillo de todos los polinomios con coeficientes enteros, el ideal generado por $2$ y $X$ es un ideal primo. El ideal consiste en todos los polinomios construidos tomando $2$ por un elemento de y sumándolo a $X$ por otro polinomio de (lo que convierte el coeficiente constante de este último polinomio en un coeficiente lineal). Por lo tanto, el ideal resultante consiste en todos aquellos polinomios cuyo coeficiente constante es par. $\mathbb {Z} [X]$ $\mathbb {Z} [X]$ $\mathbb {Z} [X]$
En cualquier anillo $R$ , un ideal maximal es un ideal $M$ que es maximal en el conjunto de todos los ideales propios de $R$ , es decir, $M$ está contenido en exactamente dos ideales de $R$ , a saber, $M$ mismo y todo el anillo $R$ . De hecho, todo ideal maximal es primo. En un dominio de ideales principales, todo ideal primo distinto de cero es maximal, pero esto no es cierto en general. Para el UFD , el Nullstellensatz de Hilbert establece que todo ideal maximal es de la forma $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $(x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).$
Si $M$ es una variedad suave , $R$ es el anillo de funciones reales suaves en $M$ y $x$ es un punto en $M$ , entonces el conjunto de todas las funciones suaves $f$ con $f (x) = 0$ forma un ideal primo (incluso un ideal maximal ) en $R.$

No-ejemplos

Considere la composición de los siguientes dos cocientes

\mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}

Aunque los dos primeros anillos son dominios integrales (de hecho, el primero es un UFD), el último no es un dominio integral ya que es isomorfo a

{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C}

ya que se factoriza en , lo que implica la existencia de divisores de cero en el anillo del cociente, evitando que sea isomorfo a y en cambio al dominio no integral (por el teorema del resto chino ).

(y^{2}-1)

(y-1)(y+1)

\mathbb {C}

\mathbb {C} \times \mathbb {C}

Esto demuestra que el ideal no es primo. (Véase la primera propiedad que aparece a continuación).

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

Otro no-ejemplo es el ideal ya que tenemos $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$

x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^{2}+5)

pero ni lo uno ni lo otro son elementos del ideal.

x-1

x+1

Propiedades

Un ideal $I$ en el anillo $R$ (con unidad ) es primo si y solo si el anillo factorial $R / I$ es un dominio integral . En particular, un anillo conmutativo (con unidad) es un dominio integral si y solo si $(0)$ es un ideal primo. (Obsérvese que el anillo cero no tiene ideales primos, porque el ideal (0) es el anillo completo).
Un ideal $I$ es primo si y sólo si su complemento teórico de conjuntos es multiplicativamente cerrado . ^[3]
Cada anillo distinto de cero contiene al menos un ideal primo (de hecho, contiene al menos un ideal maximal), lo cual es una consecuencia directa del teorema de Krull .
De manera más general, si $S$ es cualquier conjunto multiplicativamente cerrado en $R$ , entonces un lema debido esencialmente a Krull muestra que existe un ideal de $R$ maximal con respecto a ser disjunto de $S$ , y además el ideal debe ser primo. Esto se puede generalizar aún más a anillos no conmutativos (ver más abajo). ^[4] En el caso ${S} = {1},$ tenemos el teorema de Krull , y este recupera los ideales maximales de $R$ . Otro m-sistema prototípico es el conjunto, ${x, x 2, x 3, x 4, ...},$ de todas las potencias positivas de un elemento no nilpotente .
La preimagen de un ideal primo bajo un homomorfismo de anillos es un ideal primo. El hecho análogo no siempre es cierto para los ideales maximales , lo que constituye una de las razones por las que los geómetras algebraicos definen el espectro de un anillo como su conjunto de primos en lugar de ideales maximales; se desea un homomorfismo de anillos para dar una función entre sus espectros.
El conjunto de todos los ideales primos (llamado espectro de un anillo ) contiene elementos mínimos (llamados ideales primos mínimos ). Geométricamente, estos corresponden a componentes irreducibles del espectro.
La suma de dos ideales primos no es necesariamente prima. Por ejemplo, considere el anillo con ideales primos $P$ $= ($ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $- 1)$ y $Q$ $= ($ $x$ $)$ (los ideales generados por $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $- 1$ y $x$ respectivamente). Sin embargo, su suma $P$ $+$ $Q$ $= ($ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $- 1,$ $x$ $) = ($ $y$ $2$ $- 1,$ $x$ $)$ no es prima: $y$ $2$ $- 1 = ($ $y$ $- 1)($ $y$ $+ 1) \in$ $P$ $+$ $Q$ pero sus dos factores no lo son. Alternativamente, el anillo de cocientes tiene divisores de cero , por lo que no es un dominio integral y, por lo tanto, $P$ $+$ $Q$ no puede ser primo. $\mathbb {C} [x,y]$
No todo ideal que no puede factorizarse en dos ideales es un ideal primo; por ejemplo, no puede factorizarse pero no es primo. $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$
En un anillo conmutativo $R$ con al menos dos elementos, si todo ideal propio es primo, entonces el anillo es un cuerpo. (Si el ideal $(0)$ es primo, entonces el anillo $R$ es un dominio integral. Si $q$ es cualquier elemento distinto de cero de $R$ y el ideal $(q 2)$ es primo, entonces contiene $a q$ y, por lo tanto, $q$ es invertible .)
Un ideal principal distinto de cero es primo si y solo si es generado por un elemento primo . En un UFD, cada ideal principal distinto de cero contiene un elemento primo.

Usos

Un uso de los ideales primos se da en la geometría algebraica , donde las variedades se definen como los conjuntos cero de ideales en anillos polinómicos. Resulta que las variedades irreducibles corresponden a ideales primos. En el enfoque abstracto moderno, se parte de un anillo conmutativo arbitrario y se convierte el conjunto de sus ideales primos, también llamado su espectro , en un espacio topológico y así se pueden definir generalizaciones de variedades llamadas esquemas , que encuentran aplicaciones no solo en geometría , sino también en teoría de números .

La introducción de ideales primos en la teoría de números algebraicos fue un gran paso adelante: se comprendió que la importante propiedad de factorización única expresada en el teorema fundamental de la aritmética no se cumple en todos los anillos de números enteros algebraicos , pero se encontró un sustituto cuando Richard Dedekind reemplazó los elementos por ideales y los elementos primos por ideales primos; véase dominio de Dedekind .

Ideales primos para anillos no conmutativos

La noción de un ideal primo puede generalizarse a anillos no conmutativos utilizando la definición conmutativa "idealmente". Wolfgang Krull propuso esta idea en 1928. ^[5] El siguiente contenido se puede encontrar en textos como Goodearl ^[6] y Lam. ^[7] Si $R$ es un anillo (posiblemente no conmutativo) y $P$ es un ideal propio de $R$ , decimos que $P$ es primo si para dos ideales $A$ y $B$ de $R$ :

Si el producto de los ideales $AB$ está contenido en $P$ , entonces al menos uno de $A$ y $B$ está contenido en $P$ .

Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la conmutativa en anillos conmutativos. Se verifica fácilmente que si un ideal de un anillo no conmutativo $R$ satisface la definición conmutativa de primo, entonces también satisface la versión no conmutativa. Un ideal $P$ que satisface la definición conmutativa de primo a veces se llama ideal completamente primo para distinguirlo de otros ideales meramente primos en el anillo. Los ideales completamente primos son ideales primos, pero lo inverso no es cierto. Por ejemplo, el ideal cero en el anillo de matrices $n \times n$ sobre un cuerpo es un ideal primo, pero no es completamente primo.

Esto se acerca al punto de vista histórico de los ideales como números ideales , ya que para el anillo " $A$ está contenido en $P$ " es otra forma de decir " $P$ divide $a A$ ", y el ideal unitario $R$ representa la unidad. $\mathbb {Z}$

Las formulaciones equivalentes del ideal $P \neq R$ siendo primo incluyen las siguientes propiedades:

Para todos $a$ y $b$ en $R$ , $(a)(b) \subseteq P$ implica $a \in P$ o $b \in P$ .
Para dos ideales rectos cualesquiera de $R$ , $AB \subseteq P$ implica $A \subseteq P$ o $B \subseteq P$ .
Para dos ideales izquierdos cualesquiera de $R$ , $AB \subseteq P$ implica $A \subseteq P$ o $B \subseteq P$ .
Para cualesquiera elementos $a$ y $b$ de $R$ , si $aRb \subseteq P$ , entonces $a \in P$ o $b \in P$ .

Los ideales primos en anillos conmutativos se caracterizan por tener complementos multiplicativamente cerrados en $R$ , y con una ligera modificación, se puede formular una caracterización similar para ideales primos en anillos no conmutativos. Un subconjunto no vacío $S \subseteq R$ se denomina m-sistema si para cualquier $a$ y $b$ en $S$ , existe $r$ en $R$ tal que $arb$ está en $S$ . ^[8] A la lista de condiciones equivalentes anterior se puede añadir el siguiente elemento:

El complemento $R ∖ P$ es un m-sistema.

Ejemplos

Cualquier ideal primitivo es primo.
Al igual que con los anillos conmutativos, los ideales máximos son primos, y también los ideales primos contienen ideales primos mínimos.
Un anillo es un anillo primo si y sólo si el ideal cero es un ideal primo, y además un anillo es un dominio si y sólo si el ideal cero es un ideal completamente primo.
Otro hecho de la teoría conmutativa que se refleja en la teoría no conmutativa es que si $A$ es un módulo $R$ distinto de cero , y $P$ es un elemento maximalista en el conjunto de ideales aniquiladores de submódulos de $A$ , entonces $P$ es primo.

Datos importantes

Lema de evitación de primos . Si $R$ es un anillo conmutativo, y $A$ es un subanillo (posiblemente sin unidad), e $I 1, ..., I n$ es una colección de ideales de $R$ con a lo sumo dos miembros no primos, entonces si $A$ no está contenido en ningún $I j$ , tampoco está contenido en la unión de $I 1, ..., I n$ .^[9] En particular, $A$ podría ser un ideal de $R$ .
Si $S$ es cualquier m-sistema en $R$ , entonces un lema esencialmente debido a Krull muestra que existe un ideal $I$ de $R$ maximal con respecto a ser disjunto de $S$ , y además el ideal $I$ debe ser primo (la primalidad $I$ puede probarse de la siguiente manera: si , entonces existen elementos tales que por la propiedad maximal de $I$ . Ahora bien, si , entonces , lo cual es una contradicción). ^[4] En el caso ${$ $S$ $} = {1},$ tenemos el teorema de Krull , y este recupera los ideales maximales de $R$ . Otro m-sistema prototípico es el conjunto, ${$ $x$ $,$ $x$ $2$ $,$ $x$ $3$ $,$ $x$ $4$ $, ...},$ de todas las potencias positivas de un elemento no nilpotente . $a,b\not \in I$ $s,t\in S$ $s\in I+(a),t\in I+(b)$ $(a)(b)\subset I$ $st\in (I+(a))(I+(b))\subset I+(a)(b)\subset I$
Para un ideal primo $P$ , el complemento $R ∖ P$ tiene otra propiedad además de ser un m-sistema. Si xy está en $R ∖ P$ , entonces tanto $x$ como $y$ deben estar en $R ∖ P$ , ya que $P$ es un ideal. Un conjunto que contiene los divisores de sus elementos se llama saturado .
Para un anillo conmutativo $R$ , existe una especie de recíproco para la afirmación anterior: si $S$ es cualquier subconjunto no vacío saturado y multiplicativamente cerrado de $R$ , el complemento $R ∖ S$ es una unión de ideales primos de $R$ . ^[10]
La intersección de los miembros de una cadena descendente de ideales primos es un ideal primo, y en un anillo conmutativo la unión de los miembros de una cadena ascendente de ideales primos es un ideal primo. Con el lema de Zorn , estas observaciones implican que el conjunto parcial de ideales primos de un anillo conmutativo (parcialmente ordenado por inclusión) tiene elementos máximos y mínimos.

Conexión con la maximalidad

Los ideales primos pueden producirse frecuentemente como elementos máximos de ciertas colecciones de ideales. Por ejemplo:

Un ideal maximal con respecto a tener intersección vacía con un sistema m fijo es primo.
Un ideal maximal entre aniquiladores de submódulos de un $R$ -módulo fijo $M$ es primo.
En un anillo conmutativo, un ideal maximal con respecto a ser no principal es primo. ^[11]
En un anillo conmutativo, un ideal maximal con respecto a no ser generado contablemente es primo. ^[12]

Véase también

Referencias

^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
^ Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN. 0-387-95385-X.
^ Reid, Miles (1996). Álgebra conmutativa de pregrado . Cambridge University Press . ISBN 0-521-45889-7.
^ ab Lam Primer curso sobre anillos no conmutativos , pág. 156
^ Krull, Wolfgang, Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen , Sitzungsberichte Heidelberg. Akád. Wissenschaft (1928), 7. Abhandl., 3-14.
^ Goodearl, Introducción a los anillos noetherianos no conmutativos
^ Lam, Primer curso sobre anillos no conmutativos
^ Obviamente, los conjuntos multiplicativamente cerrados son m-sistemas.
^ Álgebra básica II de Jacobson , pág. 390
^ Anillos conmutativos de Kaplansky , pág. 2
^ Anillos conmutativos de Kaplansky , pág. 10, Ej. 10.
^ Anillos conmutativos de Kaplansky , pág. 10, Ej. 11.

Lectura adicional

Goodearl, KR; Warfield, RB Jr. (2004), Una introducción a los anillos noetherianos no conmutativos , London Mathematical Society Student Texts, vol. 61 (2.ª ed.), Cambridge: Cambridge University Press, págs. xxiv+344, doi :10.1017/CBO9780511841699, ISBN 0-521-54537-4, Sr. 2080008
Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica. II (2.ª ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, págs. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, Sr. 1009787
Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos , Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., págs. x+180, MR 0254021
Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439, Zbl 0980.16001
Lam, TY ; Reyes, Manuel L. (2008), "Un principio ideal primo en álgebra conmutativa", J. Algebra , 319 (7): 3006–3027, doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.07.016 , ISSN 0021-8693, MR 2397420, Zbl 1168.13002
"Ideal primo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]