Campo de residuos

En matemáticas , el campo residuo es una construcción básica en álgebra conmutativa . Si R es un anillo conmutativo y m es un ideal máximo , entonces el campo residual es el anillo cociente k = R / m , que es un campo . ^[1] Con frecuencia, R es un anillo local y m es entonces su ideal máximo único.

Esta construcción se aplica en geometría algebraica , donde a cada punto x de un esquema X se le asocia su campo residuo k ( x ). ^[2] Se puede decir un poco vagamente que el campo residual de un punto de una variedad algebraica abstracta es el "dominio natural" para las coordenadas del punto. ^{[ se necesita aclaración ]}

Definición

Supongamos que R es un anillo local conmutativo , con máximo ideal m . Entonces el campo residuo es el anillo cociente R / m .

Ahora supongamos que X es un esquema y x es un punto de X. Según la definición de esquema, podemos encontrar una vecindad afín U = Spec( A ) de x , con A algún anillo conmutativo . Considerado en la vecindad U , el punto x corresponde a un ideal primo p ⊆ A (ver topología de Zariski ). El anillo local de X en x es por definición la localización A _p de A por A \ p , y Ap tiene máximo ideal _m = p ·A _p . Aplicando la construcción anterior, obtenemos el campo residuo del punto x :

k ( x ) := A _p / p · A _p .

Se puede demostrar que esta definición no depende de la elección de la vecindad afín U. ^[3]

Un punto se llama K -racional para un determinado campo K , si k ( x ) = K . ^[4]

Ejemplo

Considere la línea afín A ¹ ( k ) = Spec( k [ t ]) sobre un campo k . Si k es algebraicamente cerrado , hay exactamente dos tipos de ideales primos, a saber

• ( t  −  una ), una ∈ k
• (0), el ideal cero.

Los campos de residuos son

• ${\displaystyle k[t]_{(t-a)}/(t-a)k[t]_{(t-a)}\cong k}$
• ${\displaystyle k[t]_{(0)}\cong k(t)}$, el campo de función sobre k en una variable.

Si k no es algebraicamente cerrado, entonces surgen más tipos, por ejemplo si k = R , entonces el ideal primo ( x ²  + 1) tiene un campo de residuos isomorfo a C.

Propiedades

• Para un esquema localmente de tipo finito sobre un campo k , un punto x está cerrado si y sólo si k ( x ) es una extensión finita del campo base k . Ésta es una formulación geométrica del Nullstellensatz de Hilbert . En el ejemplo anterior, los puntos del primer tipo son cerrados y tienen un campo residual k , mientras que el segundo punto es el punto genérico y tiene un grado de trascendencia 1 sobre k .
• Un morfismo Spec( K ) → X , K algún campo, equivale a dar un punto x ∈ X y una extensión K / k ( x ).
• La dimensión de un esquema de tipo finito sobre un campo es igual al grado de trascendencia del campo residual del punto genérico.

Ver también

• Función zeta aritmética

Referencias

1. Tonto, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3 ed.). Wiley. ISBN 9780471433347.
2. David Mumford (1999). El Libro Rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre las curvas y sus jacobianos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1358 (2ª ed.). Springer-Verlag. doi :10.1007/b62130. ISBN 3-540-63293-X.
3. Intuitivamente, el campo residual de un punto es un invariante local. Los axiomas de esquemas se establecen de tal manera que aseguren la compatibilidad entre varias vecindades abiertas afines de un punto, lo que implica el enunciado.
4. Görtz, Ulrich y Wedhorn, Torsten. Geometría algebraica: Parte 1: Esquemas (2010) Vieweg+Teubner Verlag.

Otras lecturas

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157, sección II.2