Extensión trascendental

Extensión de campo que no es algebraica

En matemáticas , una extensión trascendental es una extensión de campo tal que existe un elemento en el campo que es trascendental sobre el campo ; es decir, un elemento que no es raíz de ningún polinomio univariante con coeficientes en . En otras palabras, una extensión trascendental es una extensión de campo que no es algebraica . Por ejemplo, y son ambas extensiones trascendentales de ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Una base de trascendencia de una extensión de campo (o una base de trascendencia de sobre ) es un subconjunto algebraicamente independiente máximo de sobre Las bases de trascendencia comparten muchas propiedades con las bases de los espacios vectoriales . En particular, todas las bases de trascendencia de una extensión de campo tienen la misma cardinalidad , llamada grado de trascendencia de la extensión. Por lo tanto, una extensión de campo es una extensión trascendental si y solo si su grado de trascendencia es distinto de cero. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K.}$

Las extensiones trascendentales se utilizan ampliamente en geometría algebraica . Por ejemplo, la dimensión de una variedad algebraica es el grado de trascendencia de su cuerpo de funciones . Asimismo, los cuerpos de funciones globales son extensiones trascendentales de grado uno de un cuerpo finito y desempeñan en la teoría de números en la característica positiva un papel que es muy similar al papel de los cuerpos de números algebraicos en la característica cero.

Base de la trascendencia

El lema de Zorn muestra que existe un subconjunto linealmente independiente máximo de un espacio vectorial (es decir, una base). Un argumento similar con el lema de Zorn muestra que, dada una extensión de campo L / K , existe un subconjunto algebraicamente independiente máximo de L sobre K . ^[1] Se denomina entonces base de trascendencia . Por maximalidad, un subconjunto algebraicamente independiente S de L sobre K es una base de trascendencia si y solo si L es una extensión algebraica de K ( S ), el campo obtenido al unir los elementos de S a K .

El lema de intercambio (una versión para conjuntos algebraicamente independientes ^[2] ) implica que si S y S' son bases de trascendencia, entonces S y S' tienen la misma cardinalidad . Entonces, la cardinalidad común de las bases de trascendencia se llama grado de trascendencia de L sobre K y se denota como o . Por lo tanto, existe una analogía: una base de trascendencia y un grado de trascendencia, por un lado, y una base y una dimensión, por el otro. Esta analogía se puede hacer más formal, observando que la independencia lineal en espacios vectoriales y la independencia algebraica en extensiones de cuerpo forman ejemplos de matroides finitarios ( pregeometrías ). Cualquier matroide finitario tiene una base, y todas las bases tienen la misma cardinalidad. ^[3] ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L}$ ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} (L/K)}$

Si G es un conjunto generador de L (es decir, L = K ( G )), entonces una base de trascendencia para L puede tomarse como un subconjunto de G . Por lo tanto, la cardinalidad mínima de los conjuntos generadores de L sobre K . En particular, una extensión de campo finitamente generada admite una base de trascendencia finita. ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq }$

Si no se especifica ningún campo K , el grado de trascendencia de un campo L es su grado relativo a algún campo base fijo; por ejemplo, el campo primo de la misma característica , o K , si L es un campo de función algebraica sobre K.

La extensión de campo L / K es puramente trascendental si existe un subconjunto S de L que es algebraicamente independiente sobre K y tal que L = K ( S ).

Una base de trascendencia separadora de L / K es una base de trascendencia S tal que L es una extensión algebraica separable sobre K ( S ). Se dice que una extensión de campo L / K es generada separablemente si admite una base de trascendencia separadora. ^[4] Si una extensión de campo es generada finitamente y también es generada separablemente, entonces cada conjunto generador de la extensión de campo contiene una base de trascendencia separadora. ^[5] Sobre un campo perfecto , cada extensión de campo generada finitamente es generada separablemente; es decir, admite una base de trascendencia separadora finita. ^[6]

Ejemplos

• Una extensión es algebraica si y sólo si su grado de trascendencia es 0; el conjunto vacío sirve aquí como base de trascendencia.
• El campo de funciones racionales en n variables K ( x ₁ ,..., x _n ) (es decir, el campo de fracciones del anillo polinomial K [ x ₁ ,..., x _n ]) es una extensión puramente trascendental con grado de trascendencia n sobre K ; podemos, por ejemplo, tomar { x ₁ ,..., x _n } como base de trascendencia.
• De manera más general, el grado de trascendencia del campo de funciones L de una variedad algebraica n -dimensional sobre un campo fundamental K es n .
• Q ( √2 , e ) tiene grado de trascendencia 1 sobre Q porque √2 es algebraico mientras que e es trascendental .
• El grado de trascendencia de C o R sobre Q es la cardinalidad del continuo . (Dado que Q es contable, el campo Q ( S ) tendrá la misma cardinalidad que S para cualquier conjunto infinito S , y cualquier extensión algebraica de Q ( S ) tendrá nuevamente la misma cardinalidad.)
• El grado de trascendencia de Q ( e , π ) sobre Q es 1 o 2; la respuesta precisa se desconoce porque no se sabe si e y π son algebraicamente independientes .
• Si S es una superficie de Riemann compacta , el campo C ( S ) de funciones meromórficas sobre S tiene grado de trascendencia 1 sobre C .

Hechos

Si M / L y L / K son extensiones de campo, entonces

trdeg( M / K ) = trdeg( M / L ) + trdeg( L / K )

Esto se demuestra mostrando que una base de trascendencia de M / K se puede obtener tomando la unión de una base de trascendencia de M / L y una de L / K .

Si el conjunto S es algebraicamente independiente sobre K, entonces el campo K ( S ) es isomorfo al campo de funciones racionales sobre K en un conjunto de variables de la misma cardinalidad que S. Cada una de esas funciones racionales es una fracción de dos polinomios en un número finito de esas variables, con coeficientes en K.

Dos campos algebraicamente cerrados son isomorfos si y sólo si tienen la misma característica y el mismo grado de trascendencia sobre su campo primo. ^[7]

El grado de trascendencia de un dominio integral

Sean dominios integrales . Si y denotan los campos de fracciones de A y B , entonces el grado de trascendencia de B sobre A se define como el grado de trascendencia de la extensión del campo ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle Q(A)}$ ${\displaystyle Q(B)}$ ${\displaystyle Q(B)/Q(A).}$

El lema de normalización de Noether implica que si R es un dominio integral que es un álgebra generada finitamente sobre un cuerpo k , entonces la dimensión de Krull de R es el grado de trascendencia de R sobre k .

Esto tiene la siguiente interpretación geométrica: si X es una variedad algebraica afín sobre un cuerpo k , la dimensión de Krull de su anillo de coordenadas es igual al grado de trascendencia de su cuerpo de funciones , y esto define la dimensión de X . De ello se deduce que, si X no es una variedad afín, su dimensión (definida como el grado de trascendencia de su cuerpo de funciones) también puede definirse localmente como la dimensión de Krull del anillo de coordenadas de la restricción de la variedad a un subconjunto afín abierto.

Relaciones con los diferenciales

Sea una extensión de campo finitamente generada. Entonces ^[8] ${\displaystyle K/k}$

${\displaystyle \dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K).}$

donde denota el módulo de las diferenciales de Kahler . Además, en lo anterior, la igualdad se cumple si y solo si K se genera de manera separable sobre k (lo que significa que admite una base de trascendencia separadora). ${\displaystyle \Omega _{K/k}}$

Aplicaciones

Las bases de trascendencia son útiles para probar varias afirmaciones de existencia sobre homomorfismos de cuerpo . He aquí un ejemplo: Dado un cuerpo algebraicamente cerrado L , un subcuerpo K y un automorfismo de cuerpo f de K , existe un automorfismo de cuerpo de L que extiende f (es decir, cuya restricción a K es f ). Para la prueba, se empieza con una base de trascendencia S de L / K . Los elementos de K ( S ) son simplemente cocientes de polinomios en elementos de S con coeficientes en K ; por lo tanto, el automorfismo f puede extenderse a uno de K ( S ) enviando cada elemento de S a sí mismo. El cuerpo L es el cierre algebraico de K ( S ) y los cierres algebraicos son únicos hasta el isomorfismo; esto significa que el automorfismo puede extenderse aún más desde K ( S ) a L .

Como otra aplicación, mostramos que hay (muchos) subcuerpos propios del cuerpo de números complejos C que son (como cuerpos) isomorfos a C . Para la prueba, tomemos una base de trascendencia S de C / Q . S es un conjunto infinito (incluso incontable), por lo que existen (muchas) aplicaciones f : S → S que son inyectivas pero no sobreyectivas . Cualquier aplicación de este tipo puede extenderse a un homomorfismo de cuerpo Q ( S ) → Q ( S ) que no es sobreyectivo. Tal homomorfismo de cuerpo puede a su vez extenderse a la clausura algebraica C , y los homomorfismos de cuerpo resultantes C → C no son sobreyectivos.

El grado de trascendencia puede dar una comprensión intuitiva del tamaño de un campo. Por ejemplo, un teorema de Siegel establece que si X es una variedad compacta, conexa y compleja de dimensión n y K ( X ) denota el campo de funciones meromórficas (definido globalmente) en ella, entonces trdeg _C ( K ( X )) ≤  n .

Véase también

• Teorema de Lüroth , un teorema sobre extensiones puramente trascendentales de grado uno
• Extensión regular

Referencias

1. Milne, Teorema 9.13.
2. Milne, Lema 9.6.
3. Joshi, KD (1997), Estructuras discretas aplicadas, New Age International, pág. 909, ISBN 9788122408263.
4. Hartshorne 1977, Cap. I, § 4, justo antes del Teorema 4.7.A
5. Hartshorne 1977, Cap. I, Teorema 4.7.A
6. Milne, Teorema 9.27.
7. Milne, Proposición 9.16.
8. Hartshorne 1977, Cap. II, Teorema 8.6. A

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Milne, James, Teoría de campos (PDF)
• § 6.3. de Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol. 11, Tokio: Iwanami Shoten, Zbl  0221.10029