campo perfecto

En álgebra , un campo k es perfecto si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

• Cada polinomio irreducible sobre k tiene raíces distintas .
• Todo polinomio irreducible sobre k es separable .
• Toda extensión finita de k es separable .
• Toda extensión algebraica de k es separable.
• O k tiene la característica 0 o, cuando k tiene la característica p > 0 , cada elemento de k es una p -ésima potencia .
• O k tiene la característica 0 o, cuando k tiene la característica p > 0 , el endomorfismo de Frobenius x ↦ x ^p es un automorfismo de k .
• El cierre separable de k es algebraicamente cerrado .
• Cada k -álgebra A conmutativa reducida es un álgebra separable ; es decir, se reduce para cada extensión de campo F / k . (vea abajo) ${\displaystyle A\otimes _{k}F}$

De lo contrario, k se llama imperfecto .

En particular, todos los campos de característica cero y todos los campos finitos son perfectos.

Los campos perfectos son importantes porque la teoría de Galois sobre estos campos se vuelve más simple, ya que la suposición general de Galois de que las extensiones de campo son separables se satisface automáticamente sobre estos campos (ver la tercera condición arriba).

Otra propiedad importante de los campos perfectos es que admiten vectores de Witt .

De manera más general, un anillo de característica p ( p a prime ) se llama perfecto si el endomorfismo de Frobenius es un automorfismo . ^[1] (Cuando se restringe a dominios integrales , esto es equivalente a la condición anterior "cada elemento de k es una p -ésima potencia".)

Ejemplos

Ejemplos de campos perfectos son:

• cada campo de característica cero, así y cada extensión finita, y ; ^[2] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• cada campo finito ; ^[3] ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$
• cada campo algebraicamente cerrado ;
• la unión de un conjunto de campos perfectos totalmente ordenados por extensión;
• campos algebraicos sobre un campo perfecto.

La mayoría de los campos que se encuentran en la práctica son perfectos. El caso imperfecto surge principalmente en geometría algebraica en la característica p > 0 . Todo campo imperfecto es necesariamente trascendental sobre su subcampo primo (el subcampo mínimo), porque este último es perfecto. Un ejemplo de campo imperfecto es el campo , ya que el endomorfismo de Frobenius envía y por tanto no es sobreyectivo. Este campo se incrusta en el campo perfecto. ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2}},\ldots )}$

llamó su perfección . Los campos imperfectos causan dificultades técnicas porque los polinomios irreducibles pueden volverse reducibles en la clausura algebraica del campo base. Por ejemplo, ^[4] considere un campo imperfecto de característica y una potencia no p -ésima en k . Entonces en su clausura algebraica , se cumple la siguiente igualdad: ${\displaystyle f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k^{\operatorname {alg} }[x,y]}$

${\displaystyle f(x,y)=(x+by)^{p},}$

donde b ^p = a y tal b existe en este cierre algebraico. Geométricamente, esto significa que no define una curva plana afín en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k[x,y]}$

Extensión de campo sobre un campo perfecto

Cualquier extensión de campo K generada finitamente sobre un campo perfecto k se genera de forma separable, es decir, admite una base de trascendencia separadora , es decir, una base de trascendencia Γ tal que K es separablemente algebraica sobre k (Γ). ^[5]

Cierre perfecto y perfección.

Una de las condiciones equivalentes dice que, en la característica p , un campo contiguo a todas las raíces p ^r -ésimas ( r ≥ 1 ) es perfecto; se llama cierre perfecto de k y generalmente se denota por . ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$

El cierre perfecto se puede utilizar en una prueba de separabilidad. Más precisamente, una k -álgebra A conmutativa es separable si y sólo si se reduce. ^[6] ${\displaystyle A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}}$

En términos de propiedades universales , el cierre perfecto de un anillo A de característica p es un anillo perfecto A _p de característica p junto con un homomorfismo de anillo u  : A → A _p tal que para cualquier otro anillo perfecto B de característica p con homomorfismo v  : A → B hay un homomorfismo único f  : A _p → B tal que v factoriza a través de u (es decir, v = fu ). El cierre perfecto siempre existe; la prueba implica "adjuntar p -ésimas raíces de elementos de A ", similar al caso de los campos. ^[7]

La perfección de un anillo A de característica p es la noción dual (aunque este término se utiliza a veces para el cierre perfecto). En otras palabras, la perfección R ( A ) de A es un anillo perfecto de característica p junto con un mapa θ  : R ( A ) → A tal que para cualquier anillo perfecto B de característica p equipado con un mapa φ  : B → A , hay un mapa único f  : B → R ( A ) tal que φ factoriza a través de θ (es decir, φ = θf ). La perfección de A puede construirse de la siguiente manera. Considere el sistema proyectivo.

${\displaystyle \cdots \rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow \cdots }$

donde los mapas de transición son el endomorfismo de Frobenius. El límite inverso de este sistema es R ( A ) y consta de secuencias ( x ₀ , x ₁ ,...) de elementos de A tales que para todo i . El mapa θ  : R ( A ) → A envía ( x _i ) a x ₀ . ^[8] ${\displaystyle x_{i+1}^{p}=x_{i}}$

Ver también

• anillo p
• anillo perfecto
• Campo cuasi finito

Notas

1. Serre 1979, Sección II.4
2. Ejemplos de campos de característica cero incluyen el campo de números racionales , el campo de números reales o el campo de números complejos .
3. Se puede denotar cualquier campo finito de orden q , donde q = p ^k para algún primo p y entero positivo k . ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$
4. Milne, James . Curvas elípticas (PDF) . pag. 6.
5. Matsumura, Teorema 26.2
6. Cohn 2003, Teorema 11.6.10
7. Bourbaki 2003, sección V.5.1.4, página 111
8. Brinon y Conrad 2009, sección 4.2

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (2003), Álgebra II , Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
• Brinón, Olivier; Conrad, Brian (2009), Notas de la escuela de verano de CMI sobre la teoría p-adic de Hodge (PDF) , consultado el 5 de febrero de 2010
• Cohn, PM (2003), Álgebra básica: grupos, anillos y campos
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR  1878556, Zbl  0984.00001
• Matsumura, Hideyuki (2003), Teoría del anillo conmutativo , Traducido del japonés por M. Reid. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 8 (2ª ed.)
• Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de Licenciatura en Matemáticas , vol. 67 (2 ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, SEÑOR  0554237

enlaces externos

• "Campo perfecto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]