Conjetura de Andrica

Prueba gráfica de la conjetura de Andrica para los primeros (a)100, (b)200 y (c)500 números primos. Se conjetura que la función es siempre menor que 1. ${\displaystyle A_{n}}$

La conjetura de Andrica (llamada así en honor al matemático rumano Dorin Andrica) es una conjetura sobre las brechas entre los números primos . ^[1]

La conjetura establece que la desigualdad

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$

se cumple para todos , donde es el n -ésimo número primo. Si denota el n- ésimo hueco primo , entonces la conjetura de Andrica también puede reescribirse como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Evidencia empírica

Imran Ghory ha utilizado datos sobre los mayores gaps primos para confirmar la conjetura hasta 1,3002 × 10 ¹⁶ . ^[2] Utilizando una tabla de gaps máximos y la desigualdad de gap anterior, el valor de confirmación se puede extender exhaustivamente hasta 4 × 10 ¹⁸ . ${\displaystyle n}$

La función discreta se representa gráficamente en las figuras opuestas. Los puntos más altos para se dan para n  = 1, 2 y 4, con A ₄ ≈ 0,670873..., sin ningún valor mayor entre los primeros 10 ⁵ primos. Dado que la función Andrica disminuye asintóticamente a medida que n aumenta, se necesita una brecha entre primos de tamaño cada vez mayor para que la diferencia sea grande a medida que n se hace grande. Por lo tanto, parece muy probable que la conjetura sea cierta, aunque esto aún no se ha demostrado. ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Generalizaciones

Valor de x en la conjetura de Andrica generalizada para los primeros 100 primos, con el valor conjeturado de x _min etiquetado.

Como generalización de la conjetura de Andrica, se ha considerado la siguiente ecuación:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

donde es el n- ésimo primo y x puede ser cualquier número positivo. ${\displaystyle p_{n}}$

Se ve fácilmente que la mayor solución posible para x ocurre para n = 1, cuando x _max  = 1. Se conjetura que la solución más pequeña para x es x _min  ≈ 0,567148... (secuencia A038458 en la OEIS ), que ocurre para n  = 30.

Esta conjetura también ha sido enunciada como una desigualdad , la conjetura generalizada de Andrica:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$para ${\displaystyle x<x_{\min }.}$

Véase también

• Conjetura de Cramer
• La conjetura de Legendre
• La conjetura de Firoozbakht

Referencias y notas

1. Andrica, D. (1986). "Nota sobre una conjetura en la teoría de números primos". Studia Univ. Babes–Bolyai Math . 31 (4): 44–48. ISSN  0252-1938. Zbl  0623.10030.
2. Wells, David (18 de mayo de 2005). Números primos: las cifras más misteriosas de las matemáticas . Hoboken (Nueva Jersey): Wiley. pág. 13. ISBN 978-0-471-46234-7.

• Guy, Richard K. (2004). "Sección A8". Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-20860-2.Zbl 1058.11001  .

Enlaces externos

• La conjetura de Andrica en PlanetMath
• Conjetura generalizada de Andrica en PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "La conjetura de Andrica". MundoMatemático .