Conjetura de Cramer

En teoría de números , la conjetura de Cramér , formulada por el matemático sueco Harald Cramér en 1936, ^[1] es una estimación del tamaño de las brechas entre números primos consecutivos : intuitivamente, las brechas entre primos consecutivos son siempre pequeñas, y la conjetura cuantifica asintóticamente cuán pequeñas deben ser. Afirma que

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}),\ }$

donde p _n denota el n º número primo , O es la notación O grande y "log" es el logaritmo natural . Si bien esta es la afirmación explícitamente conjeturada por Cramér, su heurística en realidad respalda la afirmación más fuerte

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1,}$

A esta formulación se la denomina a veces conjetura de Cramér. Sin embargo, esta versión más fuerte no está respaldada por modelos heurísticos más precisos, que sí respaldan la primera versión de la conjetura de Cramér. Ninguna de las dos formas ha sido aún probada o refutada.

Resultados probados condicionales sobre brechas principales

Cramér dio una prueba condicional de la afirmación mucho más débil de que

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})}$

asumiendo la hipótesis de Riemann . ^[1] El límite incondicional más conocido es

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})}$

debido a Baker, Harman y Pintz . ^[2]

En la otra dirección, E. Westzynthius demostró en 1931 que los huecos primos crecen más que logarítmicamente. Es decir, ^[3]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

Su resultado fue mejorado por RA Rankin , ^[4] quien demostró que

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0.}$

Paul Erdős conjeturó que el lado izquierdo de la fórmula anterior es infinito, y esto fue demostrado en 2014 por Kevin Ford , Ben Green , Sergei Konyagin y Terence Tao , ^[5] e independientemente por James Maynard . ^[6] Los dos grupos de autores mejoraron el resultado por un factor más tarde ese año. ^[7] ${\displaystyle \log \log \log p_{n}}$

Justificación heurística

La conjetura de Cramér se basa en un modelo probabilístico (esencialmente una heurística ) en el que la probabilidad de que un número de tamaño x sea primo es 1/log x . Esto se conoce como el modelo aleatorio de Cramér o el modelo de Cramér de los primos. ^[8]

En el modelo aleatorio de Cramér,

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1}$

con probabilidad uno . ^[1] Sin embargo, como señaló Andrew Granville , ^[9] el teorema de Maier muestra que el modelo aleatorio de Cramér no describe adecuadamente la distribución de primos en intervalos cortos, y un refinamiento del modelo de Cramér teniendo en cuenta la divisibilidad por primos pequeños sugiere que ^{[ aclaración necesaria ]} ( OEIS : A125313 ), donde es la constante de Euler-Mascheroni . János Pintz ha sugerido que el límite sup puede ser infinito, ^[10] y de manera similar Leonard Adleman y Kevin McCurley escriben ${\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots }$ ${\displaystyle \gamma }$

Como resultado del trabajo de H. Maier sobre los huecos entre primos consecutivos, la formulación exacta de la conjetura de Cramér ha sido puesta en tela de juicio [...] Es probablemente todavía cierto que para cada constante , existe una constante tal que existe un primo entre y . ${\displaystyle c>2}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+d(\log x)^{c}}$ ^[11]

De manera similar, Robin Visser escribe:

De hecho, debido al trabajo realizado por Granville, ahora se cree ampliamente que la conjetura de Cramér es falsa. De hecho, existen algunos teoremas sobre intervalos cortos entre primos, como el teorema de Maier, que contradicen el modelo de Cramér. ^[12]

(referencias internas eliminadas).

Conjeturas y heurísticas relacionadas

Función de brecha primaria

Daniel Shanks conjeturó la siguiente igualdad asintótica, más fuerte que la conjetura de Cramér, ^[13] para brechas de registros: ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x.}$

JH Cadwell ^[14] ha propuesto la fórmula para las brechas máximas: que es formalmente idéntica a la conjetura de Shanks pero sugiere un término de orden inferior. ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x,}$

Marek Wolf ^[15] propuso la fórmula para los huecos máximos expresados ​​en términos de la función de conteo de primos : ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),}$

donde y es el doble de la constante de los primos gemelos ; véase OEIS : A005597 , OEIS : A114907 . Esto nuevamente es formalmente equivalente a la conjetura de Shanks pero sugiere términos de orden inferior ${\displaystyle c=\log(C_{2})=0.2778769...}$ ${\displaystyle C_{2}=1.3203236...}$

${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.}$.

Thomas Nicely ha calculado muchos grandes huecos primos. ^[16] Mide la calidad del ajuste a la conjetura de Cramér midiendo la relación

${\displaystyle R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.}$

Escribe: "La brecha máxima más grande conocida se ha mantenido cerca de 1,13". ${\displaystyle R}$

Véase también

• Teorema de los números primos
• La conjetura de Legendre y la conjetura de Andrica , límites superiores mucho más débiles pero aún no demostrados para los huecos primos
• La conjetura de Firoozbakht
• Teorema de Maier sobre el número de primos en intervalos cortos para los que el modelo predice una respuesta incorrecta

Referencias

1. Cramér, Harald (1936), "Sobre el orden de magnitud de la diferencia entre números primos consecutivos" (PDF) , Acta Arithmetica , 2 : 23–46, doi :10.4064/aa-2-1-23-46, archivado desde el original (PDF) el 2018-07-23 , consultado el 2012-03-12
2. Baker, RC, Harman, G., Pintz, J. (2001), "La diferencia entre primos consecutivos, II", Actas de la London Mathematical Society , 83 (3), Wiley: 532–562, doi :10.1112/plms/83.3.532
3. Westzynthius, E. (1931), "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind", Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (en alemán), 5 : 1–37, JFM  57.0186.02, Zbl  0003.24601.
4. RA Rankin, La diferencia entre números primos consecutivos, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247
5. Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Tao, Terence (2016). "Grandes brechas entre números primos consecutivos". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 183 (3): 935–974. arXiv : 1408.4505 . doi : 10.4007/annals.2016.183.3.4 .
6. Maynard, James (2016). "Grandes brechas entre primos". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 183 (3): 915–933. arXiv : 1408.5110 . doi : 10.4007/annals.2016.183.3.3 .
7. Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence (2018). "Largos espacios entre primos". Revista de la Sociedad Matemática Americana . 31 : 65–105. arXiv : 1412.5029 . doi :10.1090/jams/876.
8. Terry Tao , 254A, Suplemento 4: Modelos probabilísticos y heurísticas para los números primos (opcional), sección sobre el modelo aleatorio de Cramér, enero de 2015.
9. Granville, A. (1995), "Harald Cramér y la distribución de números primos" (PDF) , Scandinavian Actuarial Journal , 1 : 12–28, doi :10.1080/03461238.1995.10413946, archivado desde el original (PDF) el 23 de septiembre de 2015 , consultado el 5 de junio de 2007.
10. János Pintz, Espacios muy grandes entre primos consecutivos, Journal of Number Theory 63 :2 (abril de 1997), pp. 286–301.
11. Leonard Adleman y Kevin McCurley, Problemas abiertos en complejidad teórica de números, II. Teoría algorítmica de números (Ithaca, NY, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci., 877, Springer, Berlín, 1994.
12. Robin Visser, Grandes brechas entre números primos, Universidad de Cambridge (2020).
13. Shanks, Daniel (1964), "Sobre las brechas máximas entre primos sucesivos", Matemáticas de la computación , 18 (88), American Mathematical Society: 646–651, doi : 10.2307/2002951 , JSTOR  2002951, Zbl  0128.04203.
14. Cadwell, JH (1971), "Grandes intervalos entre primos consecutivos", Matemáticas de la computación , 25 (116): 909–913, doi : 10.2307/2004355 , JSTOR  2004355
15. Wolf, Marek (2014), "Distribución de números primos y caos cuántico por espaciamiento entre vecinos más próximos", Phys. Rev. E , 89 (2): 022922, arXiv : 1212.3841 , Bibcode :2014PhRvE..89b2922W, doi :10.1103/physreve.89.022922, PMID  25353560, S2CID  25003349
16. Bien, Thomas R. (1999), "Nuevos huecos de primos máximos y primeras ocurrencias", Mathematics of Computation , 68 (227): 1311–1315, Bibcode :1999MaCom..68.1311N, doi : 10.1090/S0025-5718-99-01065-0 , MR  1627813.

• Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3.ª ed.). Springer-Verlag . A8. ISBN 978-0-387-20860-2.Zbl 1058.11001  .
• Pintz, János (2007). "Cramér vs. Cramér. Sobre el modelo probabilístico de números primos de Cramér". Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 37 (2): 361–376. doi : 10.7169/facm/1229619660 . ISSN  0208-6573. SEÑOR  2363833. Zbl  1226.11096.
• Soundararajan, K. (2007). "La distribución de los números primos". En Granville, Andrew ; Rudnick, Zeév (eds.). Equidistribución en la teoría de números, una introducción. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN sobre equidistribución en la teoría de números, Montreal, Canadá, 11--22 de julio de 2005 . NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Vol. 237. Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 59-83. ISBN 978-1-4020-5403-7.Zbl 1141.11043  .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Cramer". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Cramér-Granville". MathWorld .