función multiplicativa

Function equal to the product of its values on coprime factors

En teoría de números , una función multiplicativa es una función aritmética f ( n ) de un entero positivo n con la propiedad de que f (1) = 1 y

$${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$$

abcoprimos

Se dice que una función aritmética f ( n ) es completamente multiplicativa (o totalmente multiplicativa ) si f (1) = 1 y f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) se cumple para todos los enteros positivos a y b , incluso cuando no son coprimos.

Ejemplos

Algunas funciones multiplicativas están definidas para facilitar la escritura de fórmulas:

• 1( n ): la función constante, definida por 1( n ) = 1 (completamente multiplicativa)
• Id( n ): función identidad , definida por Id( n ) = n (completamente multiplicativa)
• Id _k ( n ): las funciones potencia, definidas por Id _k ( n ) = n ^k para cualquier número complejo k (completamente multiplicativo). Como casos especiales tenemos
  • Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) y
  • Identificación ₁ ( norte ) = Identificación ( norte ) .
• ε ( n ): la función definida por ε ( n ) = 1 si n = 1 y 0 en caso contrario, a veces llamada unidad de multiplicación para la convolución de Dirichlet o simplemente función unitaria (completamente multiplicativa). A veces se escribe como u ( n ), pero no debe confundirse con μ ( n ).
• 1 _C ( n ), la función indicadora del conjunto C ⊂ Z , para ciertos conjuntos C . La función indicadora 1 _C ( n ) es multiplicativa precisamente cuando el conjunto C tiene la siguiente propiedad para cualquier número coprimo a y b : el producto ab está en C si y sólo si los números a y b están ambos en C . Este es el caso si C es el conjunto de cuadrados, cubos o k -ésimas potencias, o si C es el conjunto de números sin cuadrados .

Otros ejemplos de funciones multiplicativas incluyen muchas funciones de importancia en la teoría de números, como:

• mcd( n , k ): el máximo común divisor de n y k , en función de n , donde k es un entero fijo.
• ${\displaystyle \varphi (n)}$: Función totient de Euler , que cuenta los números enteros positivos coprimos hasta (pero no mayores que) n ${\displaystyle \varphi }$
• μ ( n ): la función de Möbius , la paridad (−1 para impar, +1 para par) del número de factores primos de números libres de cuadrados ; 0 si n no está libre de cuadrados
• σ _k ( n ): la función divisora , que es la suma de las k -ésimas potencias de todos los divisores positivos de n (donde k puede ser cualquier número complejo ). Casos especiales que tenemos
  • σ ₀ ( n ) = d ( n ) el número de divisores positivos de n ,
  • σ ₁ ( n ) = σ ( n ), la suma de todos los divisores positivos de n .
• La suma de las k -ésimas potencias de los divisores unitarios se denota por σ* _k ( n ):

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

• a ( n ): el número de grupos abelianos no isomorfos de orden n .
• λ ( n ): la función de Liouville , λ ( n ) = (−1) ^{Ω( n )} donde Ω( n ) es el número total de primos (contados con multiplicidad) que dividen n . (completamente multiplicativo).
• γ ( n ), definida por γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , donde la función aditiva ω ( n ) es el número de primos distintos que dividen a n .
• τ ( n ): la función tau de Ramanujan .
• Todos los caracteres de Dirichlet son funciones completamente multiplicativas. Por ejemplo
  • ( n / p ), el símbolo de Legendre , considerado como una función de n donde p es un número primo fijo .

Un ejemplo de una función no multiplicativa es la función aritmética r ₂ ( n ): el número de representaciones de n como suma de cuadrados de dos números enteros, positivos , negativos o cero , donde al contar el número de formas, se invierte Se permite el orden. Por ejemplo:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

y por tanto r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Esto demuestra que la función no es multiplicativa. Sin embargo, r ₂ ( n )/4 es multiplicativo.

En la Enciclopedia en línea de secuencias enteras , las secuencias de valores de una función multiplicativa tienen la palabra clave "mult".

Consulte función aritmética para ver otros ejemplos de funciones no multiplicativas.

Propiedades

Una función multiplicativa está completamente determinada por sus valores en las potencias de los números primos , consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . Por lo tanto, si n es un producto de potencias de primos distintos, digamos n = p ^a q ^b ..., entonces f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Esta propiedad de las funciones multiplicativas reduce significativamente la necesidad de cálculo, como en los siguientes ejemplos para n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² :

$${\displaystyle d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15}$$

$${\displaystyle \sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403}$$

$${\displaystyle \sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170}$$

De manera similar, tenemos:

$${\displaystyle \varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48}$$

En general, si f ( n ) es una función multiplicativa y a , b son dos enteros positivos cualesquiera, entonces

f ( a ) · f ( b ) = f ( mcd ( a , b )) · f ( mcm ( a , b )).

Toda función completamente multiplicativa es un homomorfismo de monoides y está completamente determinada por su restricción a los números primos.

Circunvolución

Si f y g son dos funciones multiplicativas, se define una nueva función multiplicativa , la convolución de Dirichlet de f y g , por ${\displaystyle f*g}$

$${\displaystyle (f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)}$$

dngrupo abelianoelemento identidadε

Las relaciones entre las funciones multiplicativas analizadas anteriormente incluyen:

• ${\displaystyle \mu *1=\varepsilon }$(la fórmula de inversión de Möbius )
• ${\displaystyle (\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon }$(inversión de Möbius generalizada)
• ${\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} }$
• ${\displaystyle d=1*1}$
• ${\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d}$
• ${\displaystyle \sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1}$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu }$

La convolución de Dirichlet se puede definir para funciones aritméticas generales y produce una estructura de anillo, el anillo de Dirichlet .

La convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa. Una prueba de este hecho viene dada por la siguiente expansión para primos relativos : ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}}$$

Serie de Dirichlet para algunas funciones multiplicativas

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$

Se muestran más ejemplos en el artículo sobre la serie Dirichlet .

Funciones aritméticas racionales

Una función aritmética f se dice que es una función aritmética racional de orden si existen funciones completamente multiplicativas g ₁ ,..., g _r , h ₁ ,..., h _s tales que ${\displaystyle (r,s)}$

$${\displaystyle f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},}$$

${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle \lambda (n)}$ ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (0,0)}$

Todas las funciones aritméticas racionales son multiplicativas. Una función multiplicativa f es una función aritmética racional de orden si y sólo si su serie de Bell es de la forma ${\displaystyle (r,s)}$

$${\displaystyle {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}}}$$

${\displaystyle p}$

El concepto de función aritmética racional tiene su origen en R. Vaidyanathaswamy (1931).

Función multiplicativa sobre F q [ X ]

Sea A = F _q [ X ] , el anillo polinómico sobre el campo finito con q elementos. A es un dominio ideal principal y por lo tanto A es un dominio de factorización único .

Una función de valores complejos en A se llama multiplicativa si siempre que f y g son primos relativos . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)}$

Función Zeta y serie de Dirichlet en F q [ X ]

Sea h una función aritmética polinómica (es decir, una función sobre un conjunto de polinomios mónicos sobre A ). Su correspondiente serie de Dirichlet se define como

$${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$$

donde para establecer si y en caso contrario. ${\displaystyle g\in A,}$ ${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$ ${\displaystyle g\neq 0,}$ ${\displaystyle |g|=0}$

La función polinómica zeta es entonces

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$$

De manera similar a la situación en N , cada serie de Dirichlet de una función multiplicativa h tiene una representación de producto ( producto de Euler ):

$${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),}$$

donde el producto recorre todos los polinomios mónicos irreducibles P . Por ejemplo, la representación del producto de la función zeta es la misma que para los números enteros:

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}$$

A diferencia de la función zeta clásica , es una función racional simple: ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

De manera similar, si f y g son dos funciones aritméticas polinómicas, se define f  *  g , la convolución de Dirichlet de f y g , por

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}}$$

donde la suma es sobre todos los divisores mónicos d de  m , o de manera equivalente sobre todos los pares ( a , b ) de polinomios mónicos cuyo producto es m . La identidad aún se mantiene. ${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

multivariado

Las funciones multivariadas se pueden construir utilizando estimadores de modelos multiplicativos. Donde una función matricial de A se define como

$${\displaystyle D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2}$$

una suma se puede distribuir entre el producto

$${\displaystyle y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}}$$

Para la estimación eficiente de Σ(.) , se pueden considerar las dos regresiones no paramétricas siguientes:

$${\displaystyle {\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),}$$

y

$${\displaystyle y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1).}$$

Por lo tanto da un valor estimado de

$${\displaystyle L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}}$$

con una función de probabilidad local para conocidos y desconocidos . ${\displaystyle y_{t}^{2}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}(t/T)}$

Ver también

• Producto Euler
• serie campana
• serie lamberto

Referencias

• Véase el capítulo 2 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001
• Hafner, Christian M.; Linton, Oliver (2010). "Estimación eficiente de un modelo de volatilidad multiplicativa multivariante" (PDF) . Revista de Econometría . 159 (1): 55–73. doi :10.1016/j.jeconom.2010.04.007. S2CID  54812323.
• R. Vaidyanathaswamy (1931). "La teoría de las funciones aritméticas multiplicativas". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 33 (2): 579–662. doi : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .

enlaces externos

• Función multiplicativa en PlanetMath .