Dado que esta última suma es una suma típica de la teoría de números, casi cualquier función multiplicativa natural será exactamente sumable cuando se use en una serie de Lambert. Así, por ejemplo, se tiene
donde es el número de divisores positivos del número n .
es la función divisora. En particular, para , la serie de Lambert que se obtiene es
que es (hasta el factor de ) la derivada logarítmica de la función generadora habitual para números de partición
Las series adicionales de Lambert relacionadas con la identidad anterior incluyen aquellas para las variantes de la función de Möbius que se indican a continuación.
[2]
Las series de Lambert relacionadas sobre la función de Möbius incluyen las siguientes identidades para cualquier primo :
La prueba de la primera identidad anterior se deriva de una identidad de múltiples secciones (o bisección) de estas funciones generadoras de series de Lambert en la siguiente forma, donde denotamos que es la función generadora de series de Lambert de la función aritmética f :
En términos generales, podemos ampliar la expansión de la función generadora anterior dejando denotar la función característica de las potencias, , para números naturales positivos y definiendo la función lambda m -Liouville generalizada como la función aritmética que satisface . Esta definición de implica claramente que , lo que a su vez muestra que
También tenemos una expansión en serie de Lambert ligeramente más generalizada que genera la función de suma de cuadrados en la forma de [3]
En general, si escribimos la serie de Lambert sobre la que se generan las funciones aritméticas , los siguientes pares de funciones corresponden a otras convoluciones conocidas expresadas por sus series de Lambert que generan funciones en forma de
El uso convencional de la letra q en las sumatorias es un uso histórico, refiriéndose a sus orígenes en la teoría de curvas elípticas y funciones theta, como el nomo .
Forma alternativa
Sustituyendo uno se obtiene otra forma común para la serie, como
dónde
como antes. Ejemplos de series de Lambert en esta forma, con , ocurren en expresiones para la función zeta de Riemann para valores enteros impares; consulte Constantes Zeta para obtener más detalles.
Uso actual
En la literatura encontramos series de Lambert aplicadas a una amplia variedad de sumas. Por ejemplo, como es una función polilogarítmica , podemos referirnos a cualquier suma de la forma
como una serie de Lambert, suponiendo que los parámetros estén adecuadamente restringidos. De este modo
que es válido para todo complejo q que no esté en el círculo unitario, se consideraría una identidad de la serie de Lambert. Esta identidad se desprende de forma directa de algunas identidades publicadas por el matemático indio S. Ramanujan . Se puede encontrar una exploración muy exhaustiva de las obras de Ramanujan en las obras de Bruce Berndt .
Teoremas de factorización
Una construcción algo más nueva publicada recientemente durante 2017-2018 se relaciona con los denominados teoremas de factorización de series de Lambert de la forma [4]
donde es la suma o diferencia respectiva de las funciones de partición restringidas que denotan el número de en todas las particiones en un número par (respectivamente, impar ) de partes distintas. Denotemos la secuencia triangular inferior invertible cuyos primeros valores se muestran en la siguiente tabla.
Otra forma característica de las expansiones del teorema de factorización de series de Lambert viene dada por [5]
¿Dónde está el símbolo q-Pochhammer (infinito) ? Los productos matriciales invertibles en el lado derecho de la ecuación anterior corresponden a productos matriciales inversos cuyas entradas triangulares inferiores están dadas en términos de la función de partición y la función de Möbius mediante las sumas de divisores.
La siguiente tabla enumera las primeras filas de estas matrices inversas correspondientes. [6]
Entonces, para cualquier serie de Lambert que genere la secuencia de , tenemos la relación de inversión correspondiente del teorema de factorización ampliado anteriormente dada por [7]
Este trabajo sobre los teoremas de factorización de series de Lambert se amplía en [8] a expansiones más generales de la forma
donde es cualquier función generadora recíproca (relacionada con la partición), es cualquier función aritmética y donde los coeficientes modificados se expanden en
Las matrices inversas correspondientes en la expansión anterior satisfacen
de modo que, como en la primera variante del teorema de factorización de Lambert anterior, obtenemos una relación de inversión para los coeficientes del lado derecho de la forma
Relaciones de recurrencia
Dentro de esta sección definimos las siguientes funciones para números naturales :
También adoptamos la notación de la sección anterior que
¿Dónde está el símbolo infinito q-Pochhammer ? Entonces tenemos las siguientes relaciones de recurrencia para involucrar estas funciones y los números pentagonales demostrados en: [7]
Derivados
Las derivadas de una serie de Lambert se pueden obtener derivando la serie terminológicamente con respecto a . Tenemos las siguientes identidades para las derivadas terminológicas de una serie de Lambert para cualquier [9] [10]
donde los coeficientes triangulares entre corchetes en las ecuaciones anteriores denotan los números de Stirling del primer y segundo tipo . También tenemos la siguiente identidad para extraer los coeficientes individuales de los términos implícitos en las expansiones anteriores dadas en forma de
Ahora si definimos las funciones para cualquiera por
donde denota la convención de Iverson , entonces tenemos los coeficientes para las derivadas de una serie de Lambert dados por
Por supuesto, mediante un argumento típico puramente de operaciones en series de potencias formales también tenemos que
^ Consulte la publicación del foro aquí (o el artículo arXiv :1112.4911) y la sección de conclusiones de arXiv :1712.00611 de Merca y Schmidt (2018) para conocer el uso de estas dos series de Lambert menos estándar para la función Moebius en aplicaciones prácticas.
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^ Merca, Mircea (13 de enero de 2017). "El teorema de factorización de series de Lambert". El diario Ramanujan . 44 (2): 417–435. doi :10.1007/s11139-016-9856-3. S2CID 125286799.
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Berry, Michael V. (2010). Funciones de la teoría de números. PRENSA DE LA UNIVERSIDAD DE CAMBRIDGE. págs. 637–641. ISBN 978-0-521-19225-5.
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Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR 0434929, Zbl 0335.10001