La función de paciente de Jordan

Una función en matemáticas, teoría de números.

En teoría de números , la función totiente de Jordan , denotada como , donde es un número entero positivo, es una función de un número entero positivo , que es igual al número de - tuplas de números enteros positivos que son menores o iguales que y que juntos forman un coprimo . conjunto de números enteros ${\displaystyle J_{k}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k+1}$

La función totiente de Jordan es una generalización de la función totiente de Euler , que es lo mismo que . La función lleva el nombre de Camille Jordan . ${\displaystyle J_{1}(n)}$

Definición

Para cada número entero positivo , la función totient de Jordan es multiplicativa y puede evaluarse como ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)\,}$, donde pasa por los divisores primos de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

Propiedades

• ${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}$

que puede escribirse en el lenguaje de las convoluciones de Dirichlet como ^[1]

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$

y mediante la inversión de Möbius como

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$.

Dado que la función generadora de Dirichlet de es y la función generadora de Dirichlet de es , la serie para se convierte en ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1/\zeta (s)}$ ${\displaystyle n^{k}}$ ${\displaystyle \zeta (s-k)}$ ${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$.

• Un orden promedio de es ${\displaystyle J_{k}(n)}$

${\displaystyle J_{k}(n)\sim {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}}$.

• La función psi de Dedekind es

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$,

y mediante la inspección de la definición (reconociendo que cada factor en el producto sobre los números primos es un polinomio ciclotómico de ), también se puede demostrar que las funciones aritméticas definidas por o son funciones multiplicativas con valores enteros. ${\displaystyle p^{-k}}$ ${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$ ${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

• ${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$. ^[2]

Orden de grupos de matrices

• El grupo lineal general de matrices de orden tiene orden ^[3] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

• El grupo lineal especial de matrices de orden tiene orden ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

• El grupo simpléctico de matrices de orden tiene orden ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} /n)|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

Las dos primeras fórmulas fueron descubiertas por Jordan.

Ejemplos

• Las listas explícitas en OEIS son J ₂ en OEIS : A007434 , J ₃ en OEIS : A059376 , J ₄ en OEIS : A059377 , J ₅ en OEIS : A059378 , J ₆ hasta J ₁₀ en OEIS : A069091 hasta OEIS : A069095 .

• Las funciones multiplicativas definidas por razones son J ₂ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A001615 , J ₃ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160889 , J ₄ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160891 , J ₅ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160893 , J ₆ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160895 , J ₇ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160897 , J ₈ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160908 , J ₉ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160953 , J ₁₀ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160957 , J ₁₁ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160960 .

• Ejemplos de las relaciones J _2k (n)/J _k (n) son J ₄ (n)/J ₂ (n) en OEIS : A065958 , J ₆ (n)/J ₃ (n) en OEIS : A065959 , y J ₈ (n)/J ₄ (n) en OEIS : A065960 .

Notas

1. Sándor y Crstici (2004) p.106
2. Holden et al en enlaces externos. La fórmula es la de Gegenbauer.
3. Todas estas fórmulas son de Andrica y Piticari en #Enlacesexternos.

Referencias

• LE Dickson (1971) [1919]. Historia de la teoría de los números, vol. I . Publicaciones de Chelsea . pag. 147.ISBN​ 0-8284-0086-5. JFM  47.0100.04.
• M. Ram Murty (2001). Problemas de la teoría analítica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 206. Springer-Verlag . pag. 11.ISBN​ 0-387-95143-1. Zbl  0971.11001.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. págs. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.

enlaces externos

• Andrica, Dorin; Piticari, Mihai (2004). "Sobre algunas extensiones de las funciones aritméticas de Jordan". Acta Universitatis Apulensis . 7 : 13–22. SEÑOR  2157944.
• Holden, Mateo; Orrison, Michael; Vrable, Michael. "Otra generalización más de la función Totient de Euler" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 5 de marzo de 2016 . Consultado el 21 de diciembre de 2011 .