función de liouville

función aritmética

La función lambda de Liouville , denotada por λ( n ) y nombrada en honor a Joseph Liouville , es una función aritmética importante . Su valor es +1 si n es producto de un número par de números primos , y −1 si es producto de un número impar de primos.

Explícitamente, el teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier entero positivo n puede representarse únicamente como un producto de potencias de números primos: n = p ₁ ^{a ₁} ⋯ p _k ^{a _k} , donde p ₁ < p ₂ < ... < p _k son números primos y los _aj son números enteros positivos. ( 1 está dado por el producto vacío). Las funciones primas omega cuentan el número de primos, con ( Ω ) o sin ( ω ) multiplicidad:

${\displaystyle \omega (n)=k,}$

${\displaystyle \Omega (n)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}.}$

λ( n ) está definida por la fórmula

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

(secuencia A008836 en la OEIS ).

λ es completamente multiplicativo ya que Ω( n ) es completamente aditivo , es decir: Ω( ab ) = Ω( a ) + Ω( b ) . Como 1 no tiene factores primos, Ω(1) = 0 , entonces λ(1) = 1 .

Está relacionado con la función de Möbius μ( n ) . Escriba n como n = a ² b , donde b no tiene cuadrados , es decir, ω( b ) = Ω( b ) . Entonces

${\displaystyle \lambda (n)=\mu (b).}$

La suma de la función de Liouville sobre los divisores de n es la función característica de los cuadrados :

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

La inversión de Möbius de esta fórmula produce

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}$

La inversa de Dirichlet de la función de Liouville es el valor absoluto de la función de Möbius, λ ^–1 ( n ) = |μ( n )| = μ ² ( n ) , la función característica de los números enteros libres de cuadrados. También tenemos que λ( n ) = μ ² ( n ) .

Serie

La serie de Dirichlet para la función de Liouville está relacionada con la función zeta de Riemann por

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

También:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

La serie de Lambert para la función de Liouville es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}$

¿Dónde está la función theta de Jacobi ? ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$

Conjeturas sobre funciones sumatorias ponderadas

Función sumatoria de Liouville L ( n ) hasta n  = 10 ⁴ . Las oscilaciones fácilmente visibles se deben al primer cero no trivial de la función zeta de Riemann.

Función sumatoria de Liouville L ( n ) hasta n  = 10 ⁷ . Tenga en cuenta la aparente invariancia de escala de las oscilaciones.

Gráfica logarítmica del negativo de la función sumatoria de Liouville L ( n ) hasta n  = 2 × 10 ⁹ . El pico verde muestra la función en sí (no su negativo) en la estrecha región donde falla la conjetura de Pólya ; la curva azul muestra la contribución oscilatoria del primer cero de Riemann.

Función de Liouville sumatoria armónica T ( n ) hasta n  = 10 ³

El problema de Pólya es una cuestión planteada por George Pólya en 1919. Definición

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$(secuencia A002819 en el OEIS ),

el problema pregunta si para n  > 1. La respuesta resulta ser no. El contraejemplo más pequeño es n  = 906150257, encontrado por Minoru Tanaka en 1980. Desde entonces se ha demostrado que L ( n ) > 0,0618672 √ n para una infinidad de enteros positivos n , ^[1] aunque también se puede mostrar mediante el mismo métodos que L ( n ) < -1.3892783 √ n para infinitos enteros positivos n . ^[2] ${\displaystyle L(n)\leq 0}$

Para cualquier , asumiendo la hipótesis de Riemann, tenemos que la función sumatoria está acotada por ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle L(x)\equiv L_{0}(x)}$

${\displaystyle L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),}$

donde es una constante límite absoluta. ^[2] ${\displaystyle C>0}$

Definir la suma relacionada

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}$

Durante algún tiempo estuvo abierto si T ( n ) ≥ 0 para n ≥ n ₀ suficientemente grande (esta conjetura se atribuye ocasionalmente, aunque incorrectamente, a Pál Turán ). Esto fue luego refutado por Haselgrove (1958), quien demostró que T ( n ) toma valores negativos con una frecuencia infinita. Una confirmación de esta conjetura de positividad habría llevado a una prueba de la hipótesis de Riemann , como demostró Pál Turán .

Generalizaciones

De manera más general, podemos considerar las funciones sumatorias ponderadas sobre la función de Liouville definida para cualquiera de la siguiente manera para enteros positivos x donde (como arriba) tenemos los casos especiales y ^[2] ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(x):=L_{0}(x)}$ ${\displaystyle T(x)=L_{1}(x)}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.}$

Estas funciones sumatorias ponderadas están relacionadas con la función de Mertens , o funciones sumatorias ponderadas de la función de Moebius . De hecho, tenemos que la llamada función no ponderada u ordinaria corresponde precisamente a la suma ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle L(x)}$

${\displaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).}$

Además, estas funciones satisfacen relaciones asintóticas limitantes similares. ^[2] Por ejemplo, siempre que , vemos que existe una constante absoluta tal que ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle C_{\alpha }>0}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}$

Mediante una aplicación de la fórmula de Perron , o equivalentemente mediante una transformada clave (inversa) de Mellin , tenemos que

${\displaystyle {\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,}$

que luego se puede invertir mediante la transformada inversa para mostrar que para , y ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle T\geq 1}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}$

donde podemos tomar , y con los términos restantes definidos tal que y como . ${\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}$ ${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

En particular, si asumimos que la hipótesis de Riemann (RH) es verdadera y que todos los ceros no triviales, denotados por , de la función zeta de Riemann son simples , entonces para cualquiera y existe una secuencia infinita de la cual satisface que para todo v tal que ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma }$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle \{T_{v}\}_{v\geq 1}}$ ${\displaystyle v\leq T_{v}\leq v+1}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),}$

donde para cualquier cada vez más pequeño definimos ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha }$

${\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,}$

y donde el término restante

${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},}$

que por supuesto tiende a 0 como . Estas expansiones exactas de fórmulas analíticas nuevamente comparten propiedades similares a las correspondientes a los casos ponderados de funciones de Mertens . Además, tenemos otra similitud en la forma de to en la medida en que el término principal dominante en las fórmulas anteriores predice un sesgo negativo en los valores de estas funciones sobre los números naturales positivos x . ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \zeta (1/2)<0}$ ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle M(x)}$

Referencias

1. Borwein, P.; Ferguson, R.; Mossinghoff, MJ (2008). "Cambios de signos en las sumas de la función de Liouville". Matemáticas de la Computación . 77 (263): 1681-1694. doi : 10.1090/S0025-5718-08-02036-X .
2. Humphries, Peter (2013). "La distribución de sumas ponderadas de la función de Liouville y la conjetura de Pólya". Revista de teoría de números . 133 (2): 545–582. arXiv : 1108.1524 . doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.011 .

• Pólya, G. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 28 : 31–40.
• Haselgrove, C. Brian (1958). "Una refutación de una conjetura de Pólya". Matemática . 5 (2): 141-145. doi :10.1112/S0025579300001480. ISSN  0025-5793. SEÑOR  0104638. Zbl  0085.27102.
• Lehman, R. (1960). "Sobre la función de Liouville". Matemáticas de la Computación . 14 (72): 311–320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . SEÑOR  0120198.
• Tanaka, Minoru (1980). "Una investigación numérica sobre la suma acumulativa de la función de Liouville". Revista de Matemáticas de Tokio . 3 (1): 187–189. doi : 10.3836/tjm/1270216093 . SEÑOR  0584557.
• Weisstein, Eric W. "Función de Liouville". MundoMatemático .
• AF Lavrik (2001) [1994], "Función de Liouville", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press