Función de von Mangoldt

Función sobre un número entero n que es log(p) si n es igual a p^k y cero en caso contrario

En matemáticas , la función von Mangoldt es una función aritmética que lleva el nombre del matemático alemán Hans von Mangoldt . Es un ejemplo de una función aritmética importante que no es ni multiplicativa ni aditiva .

Definición

La función de von Mangoldt, denotada por Λ( n ) , se define como

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Los valores de Λ( n ) para los primeros nueve números enteros positivos (es decir, números naturales) son

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}$

que está relacionado con (secuencia A014963 en el OEIS ).

Propiedades

La función de von Mangoldt satisface la identidad ^{[1] [2]}

${\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}$

La suma se toma de todos los números enteros d que dividen a n . Esto lo demuestra el teorema fundamental de la aritmética , ya que los términos que no son potencias de números primos son iguales a 0 . Por ejemplo, considere el caso n = 12 = 2 ² × 3 . Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}$

Por inversión de Möbius , tenemos

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\log \left({\frac {n}{d}}\right)}$

y usando la regla del producto para el logaritmo obtenemos ^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}$

Para todos , tenemos ^[5] ${\displaystyle x\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1).}$

Además, existen constantes positivas c ₁ y c ₂ tales que

${\displaystyle \psi (x)\leq c_{1}x,}$

para todos , y ${\displaystyle x\geq 1}$

${\displaystyle \psi (x)\geq c_{2}x,}$

para todos los suficientemente grandes x .

Serie Dirichlet

La función de von Mangoldt juega un papel importante en la teoría de series de Dirichlet , y en particular, la función zeta de Riemann . Por ejemplo, uno tiene

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.}$

La derivada logarítmica es entonces ^[6]

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Estos son casos especiales de una relación más general sobre las series de Dirichlet. si uno tiene

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

para una función completamente multiplicativa f  ( n ) , y la serie converge para Re( s ) > σ ₀ , entonces 

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

converge para Re( s ) > σ ₀ .

función de Chebyshev

La segunda función de Chebyshev ψ ( x ) es la función sumatoria de la función de von Mangoldt: ^[7]

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}$

Fue introducido por Pafnuty Chebyshev , quien lo utilizó para demostrar que el verdadero orden de la función de conteo de primos es . Von Mangoldt proporcionó una prueba rigurosa de una fórmula explícita para ψ ( x ) que implica una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann . Esta fue una parte importante de la primera demostración del teorema de los números primos . ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x/\log x}$

La transformada de Mellin de la función de Chebyshev se puede encontrar aplicando la fórmula de Perron :

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

que es válido para Re( s ) > 1 .

Serie exponencial

Hardy y Littlewood examinaron la serie ^[8]

${\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}$

en el límite y → 0 ⁺ . Asumiendo la hipótesis de Riemann , demuestran que

${\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)}$

En particular, esta función es oscilatoria con oscilaciones divergentes : existe un valor K > 0 tal que ambas desigualdades

${\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}}$

se mantienen infinitamente a menudo en cualquier vecindad de 0. El gráfico de la derecha indica que este comportamiento no es numéricamente obvio al principio: las oscilaciones no se ven claramente hasta que la serie se suma en exceso de 100 millones de términos, y sólo son fácilmente visibles cuando y < ^10-5 .

Riesz significa

La media de Riesz de la función de von Mangoldt viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}}$

Aquí, λ y δ son números que caracterizan la media de Riesz. Hay que tomar c > 1 . La suma sobre ρ es la suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, y

${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}$

Se puede demostrar que es una serie convergente para λ > 1 .

Aproximación por ceros zeta de Riemann

La primera onda cero zeta de Riemann en la suma que se aproxima a la función de von Mangoldt

Existe una fórmula explícita para la función sumatoria de Mangoldt dada por ^[9] ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi ).}$

Si separamos los ceros triviales de la función zeta, que son los enteros pares negativos, obtenemos

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ 0<\Re (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(La suma no es absolutamente convergente, por lo que tomamos los ceros en orden de valor absoluto de su parte imaginaria).

En la dirección opuesta, en 1911 E. Landau demostró que para cualquier t fijo > 1 ^[10]

${\displaystyle \sum _{0<\gamma \leq T}t^{\rho }={\frac {-T}{2\pi }}\Lambda (t)+{\mathcal {O}}(\log T)}$

(Usamos la notación ρ = β + iγ para los ceros no triviales de la función zeta).

(Izquierda) La función de von Mangoldt, aproximada por ondas zeta cero. (Derecha) La transformada de Fourier de la función de von Mangoldt proporciona un espectro con partes imaginarias de los ceros zeta de Riemann como picos.

Por lo tanto, si usamos la notación de Riemann α = −i(ρ − 1/2) tenemos que la suma sobre ceros zeta no triviales expresada como

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\sum _{0<\gamma \leq T}\cos(\alpha \log t)=-{\frac {\Lambda (t)}{2\pi {\sqrt {t}}}}}$

picos en números primos y potencias de números primos.

La transformada de Fourier de la función von Mangoldt proporciona un espectro con picos en ordenadas iguales a las partes imaginarias de los ceros de la función zeta de Riemann. A esto a veces se le llama dualidad.

Función de von Mangoldt generalizada

Las funciones

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d),}$

donde denota la función de Möbius y denota un número entero positivo, generalice la función de von Mangoldt. ^[11] La función es la función ordinaria de von Mangoldt . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda _{1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Ver también

• Función de conteo de primos

Referencias

1. Apóstol (1976) p.32
2. Tenenbaum (1995) p.30
3. Apóstol (1976) p.33
4. Schroeder, Manfred R. (1997). Teoría de números en la ciencia y la comunicación. Con aplicaciones en criptografía, física, información digital, informática y autosimilitud . Serie Springer en Ciencias de la Información. vol. 7 (3ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-62006-0. Zbl  0997.11501.
5. Apóstol (1976) p.88
6. Hardy y Wright (2008) §17.7, teorema 294
7. Apóstol (1976) p.246
8. Hardy, GH y Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de números primos" (PDF) . Acta Matemática . 41 : 119-196. doi : 10.1007/BF02422942 . Archivado desde el original (PDF) el 7 de febrero de 2012 . Consultado el 3 de julio de 2014 .
9. Conrey, J. Brian (marzo de 2003). "La hipótesis de Riemann" (PDF) . Avisos Soy. Matemáticas. Soc . 50 (3): 341–353. Zbl  1160.11341. Página 346
10. E. Landau, Über die Nullstellen der Zetafunktion, Matemáticas. Annalen 71 (1911), 548-564.
11. Iwaniec, Henryk ; Friedlander, John (2010), Opera de cribro , Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 57, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , pág. 23, ISBN 978-0-8218-4970-5, señor  2647984

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Heath-Brown, DR ; Silverman, JH (eds.). Introducción a la teoría de los números (6ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-921985-8. SEÑOR  2445243. Zbl  1159.11001.

• Tenebaum, Gerald (1995). Introducción a la teoría de números analítica y probabilística . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 46. ​​Traducido por CB Thomas. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-41261-7. Zbl  0831.11001.

enlaces externos

• Allan Gut, Algunas observaciones sobre la distribución zeta de Riemann (2005)
• SA Stepanov (2001) [1994], "Función de Mangoldt", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Heike, ¿ cómo trazar el espectro cero zeta de Riemann en Mathematica? (2012)