En el análisis complejo , la coloración de dominios o un gráfico de rueda de colores es una técnica para visualizar funciones complejas asignando un color a cada punto del plano complejo . Al asignar puntos en el plano complejo a diferentes colores y brillo, la coloración de dominio permite representar y comprender fácilmente una función del plano complejo hacia sí mismo, cuyo gráfico normalmente requeriría cuatro dimensiones espaciales. Esto proporciona información sobre la fluidez de funciones complejas y muestra extensiones geométricas naturales de funciones reales .
Una gráfica de una función real se puede dibujar en dos dimensiones porque hay dos variables representadas y . Sin embargo, los números complejos están representados por dos variables y por tanto dos dimensiones; esto significa que representar una función compleja (más precisamente, una función con valores complejos de una variable compleja ) requiere la visualización de cuatro dimensiones. Una forma de lograrlo es con una superficie de Riemann , pero otro método es mediante coloración de dominio.
Representar un mapeo complejo de cuatro dimensiones con solo dos variables no es deseable, ya que métodos como las proyecciones pueden resultar en una pérdida de información. Sin embargo, es posible agregar variables que mantengan el proceso de cuatro dimensiones sin requerir una visualización de cuatro dimensiones. En este caso, las dos variables agregadas son entradas visuales como el color y el brillo porque, naturalmente, son dos variables fácilmente procesadas y distinguidas por el ojo humano. Esta asignación se denomina "función de color". Se utilizan muchas funciones de color diferentes. Una práctica común es representar el argumento complejo , (también conocido como "fase" o "ángulo") con un tono siguiendo la rueda de colores y la magnitud por otros medios, como el brillo o la saturación .
El siguiente ejemplo colorea el origen en negro, 1 en verde , −1 en magenta y un punto en el infinito en blanco:
Una opción muy extendida que no tiene esta propiedad es la función (con algún parámetro ) que para y está muy cerca de .
Este enfoque utiliza el modelo de color HSL (tono, saturación, luminosidad). La saturación siempre se establece al máximo del 100%. Los colores vivos del arco iris giran de manera continua en el círculo unitario complejo, por lo que las sextas raíces de la unidad (comenzando con 1) son: verde, cian, azul, magenta, rojo y amarillo.
Dado que el espacio de color HSL no es perceptualmente uniforme, se pueden ver rayas de brillo percibido en amarillo, cian y magenta (aunque sus valores absolutos son los mismos que los de rojo, verde y azul) y un halo alrededor de L =1/2. Los espacios de color más modernos, por ejemplo, el espacio de color Lab o CIECAM02 , corrigen esto, haciendo que las imágenes sean más precisas y menos saturadas.
Muchos gráficos de color tienen discontinuidades, donde en lugar de cambiar uniformemente el brillo y el color, cambian repentinamente, incluso cuando la función en sí sigue siendo suave. Esto se hace por diversas razones, como mostrar más detalles o resaltar ciertos aspectos de una función, como conjuntos de niveles .
A diferencia del argumento, que tiene un rango finito, la magnitud de un número complejo puede variar de 0 a ∞ . Por lo tanto, en funciones que tienen grandes rangos de magnitud, los cambios de magnitud a veces pueden ser difíciles de diferenciar cuando también se representa un cambio muy grande en el gráfico. Esto se puede solucionar con una función de color discontinua que muestra un patrón de brillo repetido para la magnitud basada en una ecuación determinada. Esto permite ver fácilmente cambios más pequeños, así como cambios más grandes que "saltan discontinuamente" a una magnitud mayor. En el gráfico de la derecha, estas discontinuidades ocurren en círculos alrededor del centro y muestran una atenuación del gráfico que luego puede comenzar a volverse más brillante nuevamente. Se ha utilizado una función de color similar para el gráfico de la parte superior del artículo.
Las ecuaciones que determinan las discontinuidades pueden ser lineales, como para cada magnitud entera , ecuaciones exponenciales como cada magnitud donde n es un número entero, o cualquier otra ecuación.
Se pueden colocar discontinuidades donde las salidas tienen una determinada propiedad para resaltar qué partes del gráfico tienen esa propiedad. Por ejemplo, un gráfico puede, en lugar de mostrar el color cian, saltar del verde al azul. Esto provoca una discontinuidad que es fácil de detectar y puede resaltar líneas como aquellas en las que el argumento es cero. [1] Las discontinuidades también pueden afectar grandes partes de un gráfico, como un gráfico donde la rueda de colores lo divide en cuadrantes. De esta manera, es fácil mostrar dónde termina cada cuadrante en sus relaciones con los demás. [2]
El término "coloración de dominio" fue acuñado por Frank Farris, posiblemente alrededor de 1998. [3] [4] Hubo muchos usos anteriores del color para visualizar funciones complejas, típicamente asignando argumento ( fase ) a tono. [5] Larry Crone utilizó el método a finales de los años 1980. [6] Dan Kucerovsky lo usó en 1990. [7] La técnica de usar color continuo para mapear puntos desde el dominio al codominio o plano de la imagen fue utilizada en 1999 por George Abdo y Paul Godfrey [8] y las cuadrículas de colores fueron utilizadas en gráficos por Doug Arnold que data de 1997. [9]
Las personas que sufren daltonismo pueden tener problemas para interpretar dichos gráficos cuando están elaborados con mapas de colores estándar . [10] [11] Este problema posiblemente se pueda mejorar creando versiones alternativas utilizando mapas de color que se ajusten al espacio de color discernible para las personas con daltonismo. [12] Por ejemplo, para uso de personas con deuteranopía total , un mapa de colores basado en azul/gris/amarillo puede ser más legible que el mapa convencional basado en azul/verde/rojo. [12]
