Función divisoria

Función aritmética relacionada con los divisores de un número entero

Función divisora ​​σ ₀ ( n ) hasta n  = 250

Función sigma σ ₁ ( n ) hasta n  = 250

Suma de los cuadrados de divisores, σ ₂ ( n ), hasta n  = 250

Suma de cubos de divisores, σ ₃ ( n ) hasta n  = 250

En matemáticas , y específicamente en teoría de números , una función divisora ​​es una función aritmética relacionada con los divisores de un número entero . Cuando se la conoce como función divisora, cuenta el número de divisores de un número entero (incluido 1 y el número mismo). Aparece en una serie de identidades notables, incluidas las relaciones sobre la función zeta de Riemann y la serie de formas modulares de Eisenstein . Ramanujan estudió las funciones divisorias y proporcionó una serie de congruencias e identidades importantes ; estos se tratan por separado en el artículo La suma de Ramanujan .

Una función relacionada es la función sumatoria del divisor , que, como su nombre lo indica, es una suma sobre la función divisora.

Definición

La función de suma de divisores positivos σ _z ( n ), para un número real o complejo z , se define como la suma de las z- ésimas potencias de los divisores positivos de n . Se puede expresar en notación sigma como

${\displaystyle \sigma _{z}(n)=\sum _{d\mid n}d^{z}\,\!,}$

donde es la abreviatura de " d divide n ". Las notaciones d ( n ), ν( n ) y τ( n ) (para el Teiler alemán = divisores) también se utilizan para denotar σ ₀ ( n ), o la función de número de divisores ^{[1] [2]} ( OEIS : A000005 ). Cuando z es 1, la función se llama función sigma o función de suma de divisores , ^{[1] [3]} y el subíndice a menudo se omite, por lo que σ( n ) es lo mismo que σ ₁ ( n ) ( OEIS : A000203 ). ${\displaystyle {d\mid n}}$

La suma alícuota s ( n ) de n es la suma de los divisores propios (es decir, los divisores excluyendo al propio n , OEIS : A001065 ), y es igual a σ ₁ ( n ) −  n ; la secuencia alícuota de n se forma aplicando repetidamente la función de suma alícuota.

Ejemplo

Por ejemplo, σ ₀ (12) es el número de divisores de 12:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

mientras que σ ₁ (12) es la suma de todos los divisores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

y la suma alícuota s(12) de divisores propios es:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

σ _-1 ( n ) a veces se denomina índice de abundancia de n , y tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{aligned}}}$

tabla de valores

Los casos x = 2 a 5 se enumeran en OEIS : A001157 a OEIS : A001160 , x = 6 a 24 se enumeran en OEIS : A013954 a OEIS : A013972 .

Propiedades

Fórmulas en potencias primarias.

Para un número primo p ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)&=p+1\end{aligned}}}$

porque por definición los factores de un número primo son 1 y él mismo. Además, donde p _n # denota el primorial ,

${\displaystyle \sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}}$

ya que n factores primos permiten una secuencia de selección binaria ( o 1) de n términos para cada divisor adecuado formado. Sin embargo, estos no son en general los números más pequeños cuyo número de divisores es una potencia de dos ; en cambio, el número más pequeño puede obtenerse multiplicando los primeros n primos de Fermi-Dirac , potencias primas cuyo exponente es una potencia de dos. ^[4] ${\displaystyle p_{i}}$

Claramente, por todos , y para todos ,. ${\displaystyle 1<\sigma _{0}(n)<n}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \sigma _{x}(n)>n}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle x>0}$

La función divisora ​​es multiplicativa (ya que cada divisor c del producto mn corresponde distintivamente a un divisor a de my un divisor b de n ), pero no completamente multiplicativa : ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$

${\displaystyle \gcd(a,b)=1\Longrightarrow \sigma _{x}(ab)=\sigma _{x}(a)\sigma _{x}(b).}$

La consecuencia de esto es que, si escribimos

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$

donde r  =  ω ( n ) es el número de factores primos distintos de n , p _i es el i- ésimo factor primo y a _i es la potencia máxima de p _i por la cual n es divisible , entonces tenemos: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}\left(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}\right).}$

que, cuando x  ≠ 0, equivale a la útil fórmula: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}.}$

Cuando x  = 0, es: ^[5] ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$

Este resultado se puede deducir directamente del hecho de que todos los divisores de están determinados de forma única por las distintas tuplas de números enteros con (es decir, elecciones independientes para cada uno ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{i},...,x_{r})}$ ${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}+1}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Por ejemplo, si n es 24, hay dos factores primos ( p ₁ es 2; p ₂ es 3); observando que 24 es el producto de 2 ³ ×3 ¹ , a ₁ es 3 y a ₂ es 1. Por lo tanto, podemos calcular así: ${\displaystyle \sigma _{0}(24)}$

${\displaystyle \sigma _{0}(24)=\prod _{i=1}^{2}(a_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.}$

Los ocho divisores que cuenta esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 y 24.

Otras propiedades e identidades

Euler demostró la notable recurrencia: ^{[6] [7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(n)&=\sigma _{1}(n-1)+\sigma _{1}(n-2)-\sigma _{1}(n-5)-\sigma _{1}(n-7)+\sigma _{1}(n-12)+\sigma _{1}(n-15)+\cdots \\[12mu]&=\sum _{i\in \mathbb {N} }(-1)^{i+1}\left(\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)\right)+\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}+i\right)\right)\right),\end{aligned}}}$

donde si ocurre y para , y son pares consecutivos de números pentagonales generalizados ( OEIS : A001318 , comenzando en el desplazamiento 1). De hecho, Euler demostró esto mediante la diferenciación logarítmica de la identidad en su teorema de los números pentagonales . ${\displaystyle \sigma _{1}(0)=n}$ ${\displaystyle \sigma _{1}(x)=0}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(3i^{2}\mp i\right)}$

Para un entero no cuadrado, n , cada divisor, d , de n está emparejado con el divisor n / d de n y es par; para un entero cuadrado, un divisor (es decir, ) no está emparejado con un divisor distinto y es impar. De manera similar, el número es impar si y sólo si n es un cuadrado o dos veces un cuadrado. ^[9] ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ ${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$

También observamos s ( n ) = σ ( n ) −  n . Aquí s ( n ) denota la suma de los divisores propios de n , es decir, los divisores de n excluyendo el propio n . Esta función se utiliza para reconocer números perfectos , que son los n tales que s ( n )=  n . Si s ( n ) > n , entonces n es un número abundante , y si s ( n ) < n , entonces n es un número deficiente .

Si n es una potencia de 2, entonces y , lo que hace que n sea casi perfecto . ${\displaystyle n=2^{k}}$ ${\displaystyle \sigma (n)=2\cdot 2^{k}-1=2n-1}$ ${\displaystyle s(n)=n-1}$

Como ejemplo, para dos números primos , sea ${\displaystyle p,q:p<q}$

${\displaystyle n=p\,q}$.

Entonces

${\displaystyle \sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),}$

${\displaystyle \varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),}$

y

${\displaystyle n+1=(\sigma (n)+\varphi (n))/2,}$

${\displaystyle p+q=(\sigma (n)-\varphi (n))/2,}$

¿Dónde está la función totiente de Euler ? ${\displaystyle \varphi (n)}$

Entonces, las raíces de

${\displaystyle (x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\varphi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]=0}$

expresar p y q en términos de σ ( n ) y φ ( n ) únicamente, sin requerir conocimiento de n o , como ${\displaystyle p+q}$

${\displaystyle p=(\sigma (n)-\varphi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}},}$

${\displaystyle q=(\sigma (n)-\varphi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}.}$

Además, conocer n y o , o, alternativamente, y o permite una fácil recuperación de p y q . ${\displaystyle \sigma (n)}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle p+q}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$

En 1984, Roger Heath-Brown demostró que la igualdad

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)}$

es cierto para infinitos valores de n , consulte OEIS : A005237 .

Relaciones en serie

Dos series de Dirichlet que involucran la función divisora ​​son: ^[10]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad s>1,s>a+1,}$

¿Dónde está la función zeta de Riemann ? La serie para d ( n ) =  σ ₀ ( n ) da: ^[10] ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad s>1,}$

y una identidad Ramanujan ^[11]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},}$

que es un caso especial de la convolución Rankin-Selberg .

Una serie de Lambert que involucra la función divisora ​​es: ^[12]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

para complejo arbitrario | q | ≤ 1 y  a . Esta sumatoria también aparece como la serie de Fourier de la serie de Eisenstein y las invariantes de las funciones elípticas de Weierstrass .

Para , existe una representación en serie explícita con sumas de Ramanujan como: ^[13] ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle c_{m}(n)}$

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$

El cálculo de los primeros términos de muestra sus oscilaciones en torno al "valor medio" : ${\displaystyle c_{m}(n)}$ ${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$

Tasa de crecimiento

En notación o pequeña , la función divisor satisface la desigualdad: ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}\varepsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\varepsilon }).}$

Más precisamente, Severin Wigert demostró que: ^[15]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.}$

Por otro lado, dado que hay infinitos números primos , ^[15]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}$

En notación O grande , Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró que el orden promedio de la función divisor satisface la siguiente desigualdad: ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),}$

¿Dónde está la constante gamma de Euler ? Mejorar la cota en esta fórmula se conoce como problema del divisor de Dirichlet . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$

El comportamiento de la función sigma es irregular. La tasa de crecimiento asintótico de la función sigma se puede expresar mediante: ^[18]

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },}$

donde lim sup es el límite superior . Este resultado es el teorema de Grönwall , publicado en 1913 (Grönwall 1913). Su prueba utiliza el tercer teorema de Mertens , que dice que:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },}$

donde p denota un número primo.

En 1915, Ramanujan demostró que bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann , la desigualdad de Robin

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni )

es válido para todos los n suficientemente grandes (Ramanujan 1997). El mayor valor conocido que viola la desigualdad es n = 5040 . En 1984, Guy Robin demostró que la desigualdad es verdadera para todo n > 5040 si y sólo si la hipótesis de Riemann es verdadera (Robin 1984). Este es el teorema de Robin y la desigualdad se conoció después de él. Robin demostró además que si la hipótesis de Riemann es falsa, entonces hay un número infinito de valores de n que violan la desigualdad, y se sabe que el más pequeño de estos n > 5040 debe ser superabundante (Akbary y Friggstad 2009). Se ha demostrado que la desigualdad se cumple para enteros grandes impares y sin cuadrados, y que la hipótesis de Riemann es equivalente a la desigualdad solo para n divisible por la quinta potencia de un primo (Choie et al. 2007).

Robin también demostró, incondicionalmente, que la desigualdad:

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}}$

es válido para todo n ≥ 3.

Jeffrey Lagarias dio un límite relacionado en 2002, quien demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})}$

para todo número natural n > 1, donde está el enésimo número armónico , (Lagarias 2002). ${\displaystyle H_{n}}$

Ver también

• Convoluciones de suma de divisores , enumera algunas identidades que involucran las funciones de divisor
• Función totient de Euler , función phi de Euler
• Número refactorizable
• tabla de divisores
• Divisor unitario

Notas

1. Largo (1972, pág.46)
2. Pettofrezzo y Byrkit (1970, pág.63)
3. Pettofrezzo y Byrkit (1970, pág.58)
4. Ramanujan, S. (1915), "Números altamente compuestos", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , s2-14 (1): 347–409, doi :10.1112/plms/s2_14.1.347; véase la sección 47, págs. 405–406, reproducida en Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , Cambridge Univ. Prensa, 2015, págs. 124-125
5. Hardy y Wright (2008), págs. 310 y siguientes, §16.7.
6. Euler, Leonhard; Bell, Jordania (2004). "Una observación sobre las sumas de divisores". arXiv : matemáticas/0411587 .
7. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/175/, Descubra una de las cosas más extraordinarias de los nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs
8. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/542/, De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium
9. Gioia y Vaidya (1967).
10. Hardy y Wright (2008), págs. 326–328, §17.5.
11. Hardy y Wright (2008), págs. 334–337, §17.8.
12. Hardy y Wright (2008), págs. 338–341, §17.10.
13. E. Krätzel (1981). Zahlentheorie . Berlín: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. pag. 130.(Alemán)
14. Apóstol (1976), pág. 296.
15. Hardy y Wright (2008), págs. 342–347, §18.1.
16. Apóstol (1976), Teorema 3.3.
17. Hardy y Wright (2008), págs. 347–350, §18.2.
18. Hardy y Wright (2008), págs. 469–471, §22.9.

Referencias

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• Gioia, AA; Vaidya, AM (1967), "Números amistosos con paridad opuesta", The American Mathematical Monthly , 74 (8): 969–973, doi :10.2307/2315280, JSTOR  2315280, MR  0220659
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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función divisoria". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Robin". MundoMatemático .
• Evaluación elemental de ciertas sumas de convolución que involucran funciones de divisor PDF de un artículo de Huard, Ou, Spearman y Williams. Contiene pruebas elementales (es decir, que no se basan en la teoría de formas modulares) de convoluciones de suma de divisores, fórmulas para el número de formas de representar un número como una suma de números triangulares y resultados relacionados.