Función sumatoria del divisor

Función sumatoria de la función de conteo de divisores

La función sumatoria, con los términos principales eliminados, por ejemplo ${\displaystyle x<10^{4}}$

La función sumatoria, con los términos principales eliminados, por ejemplo ${\displaystyle x<10^{7}}$

La función sumatoria, sin los términos principales, para , se representa gráficamente como una distribución o histograma. La escala vertical no es constante de izquierda a derecha; haga clic en la imagen para obtener una descripción detallada. ${\displaystyle x<10^{7}}$

En teoría de números , la función sumatoria del divisor es una función que es una suma sobre la función divisora . Ocurre con frecuencia en el estudio del comportamiento asintótico de la función zeta de Riemann . Los diversos estudios del comportamiento de la función divisora ​​se denominan a veces problemas de divisores .

Definición

La función sumatoria del divisor se define como

${\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1}$

dónde

${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1}$

es la función divisora . La función divisor cuenta el número de formas en que el número entero n se puede escribir como producto de dos números enteros. De manera más general, se define

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)}$

donde d _k ( n ) cuenta el número de formas en que n puede escribirse como producto de k números. Esta cantidad se puede visualizar como el recuento del número de puntos de la red delimitados por una superficie hiperbólica en k dimensiones. Por lo tanto, para k = 2, D ( x ) = D ₂ ( x ) cuenta el número de puntos en una red cuadrada delimitada a la izquierda por el eje vertical, en la parte inferior por el eje horizontal y en la parte superior. justo al lado de la hipérbola jk  =  x . En términos generales, esta forma puede visualizarse como un simplex hiperbólico . Esto nos permite proporcionar una expresión alternativa para D ( x ) y una forma sencilla de calcularla en el tiempo: ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$

${\displaystyle D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}}$, dónde ${\displaystyle u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor }$

Si la hipérbola en este contexto se reemplaza por un círculo, entonces determinar el valor de la función resultante se conoce como problema del círculo de Gauss .

Secuencia de D(n)(secuencia A006218 en el OEIS ):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...

El problema del divisor de Dirichlet

Encontrar una forma cerrada para esta expresión sumada parece estar más allá de las técnicas disponibles, pero es posible dar aproximaciones. El comportamiento principal de la serie viene dado por

${\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ }$

donde está la constante de Euler-Mascheroni y el término de error es ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).}$

Aquí, denota notación O grande . Esta estimación se puede probar utilizando el método de la hipérbola de Dirichlet , y fue establecida por primera vez por Dirichlet en 1849. ^{[1] : 37–38, 69} El problema del divisor de Dirichlet , planteado con precisión, consiste en mejorar este límite de error encontrando el valor más pequeño de para cual ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)}$

es válido para todos . A día de hoy, este problema sigue sin resolverse. El progreso ha sido lento. Muchos de los mismos métodos funcionan para este problema y para el problema del círculo de Gauss , otro problema de conteo de puntos de la red. La sección F1 de Problemas no resueltos en teoría de números ^[2] analiza lo que se sabe y lo que no se sabe sobre estos problemas. ${\displaystyle \epsilon >0}$

• En 1904, G. Voronoi demostró que el término de error se puede mejorar a ^{[3] : 381} ${\displaystyle O(x^{1/3}\log x).}$
• En 1916, GH Hardy demostró que . En particular, demostró que para alguna constante existen valores de x para los cuales y valores de x para los cuales . ^{[1] : 69} ${\displaystyle \inf \theta \geq 1/4}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}}$ ${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}}$
• En 1922, J. van der Corput mejoró el límite de Dirichlet a . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 33/100=0.33}$
• En 1928, van der Corput lo demostró . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}}$
• En 1950, Chih Tsung-tao e independientemente en 1953, HE Richert demostraron que . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...}$
• En 1969, Grigori Kolesnik lo demostró . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}}$
• En 1973, Kolesnik lo demostró . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...}$
• En 1982, Kolesnik lo demostró . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}}$
• En 1988, H. Iwaniec y CJ Mozzochi lo demostraron . ^[4] ${\displaystyle \inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}}$
• En 2003, MN Huxley mejoró esto para demostrar que . ^[5] ${\displaystyle \inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...}$

Por lo tanto, se encuentra entre 1/4 y 131/416 (aprox. 0,3149); Se conjetura ampliamente que es 1/4. La evidencia teórica da crédito a esta conjetura, ya que tiene una distribución limitante (no gaussiana). ^[6] El valor de 1/4 también se derivaría de una conjetura sobre pares de exponentes . ^[7] ${\displaystyle \inf \theta }$ ${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}$

Problema del divisor de Piltz

En el caso generalizado, se tiene

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,}$

donde es un polinomio de grado . Utilizando estimaciones simples, se demuestra fácilmente que ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)}$

para entero . Como en este caso, el mínimo del límite no se conoce para ningún valor de . Calcular estos ínfimas se conoce como el problema del divisor de Piltz, en honor al nombre del matemático alemán Adolf Piltz (consulte también su página en alemán). Definiendo el orden como el valor más pequeño que se cumple, para cualquiera , se tienen los siguientes resultados (tenga en cuenta que es el de la sección anterior): ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha _{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,}$^[5]

${\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,}$^[8] y ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}}$

• EC Titchmarsh conjetura que ${\displaystyle \alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .}$

Transformación de Mellin

Ambas porciones pueden expresarse como transformadas de Mellin :

${\displaystyle D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

para . Aquí está la función zeta de Riemann . De manera similar, uno tiene ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

con . El término principal de se obtiene desplazando el contorno más allá del doble polo en : el término principal es solo el residuo , según la fórmula integral de Cauchy . En general uno tiene ${\displaystyle 0<c^{\prime }<1}$ ${\displaystyle D(x)}$ ${\displaystyle w=1}$

${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

y lo mismo para , para . ${\displaystyle \Delta _{k}(x)}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

Notas

1. Montgomery, Hugh ; RC Vaughan (2007). Teoría de los Números Multiplicativos I: Teoría Clásica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-84903-6.
2. Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-20860-2.
3. Ivic, Aleksandar (2003). La función Zeta de Riemann . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-42813-3.
4. Iwaniec, H .; CJ Mozzochi (1988). "Sobre los problemas del divisor y del círculo". Revista de teoría de números . 29 : 60–93. doi : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .
5. Huxley, MN (2003). "Sumas exponenciales y puntos reticulares III". Proc. Matemáticas de Londres. Soc . 87 (3): 591–609. doi :10.1112/S0024611503014485. ISSN  0024-6115. Zbl  1065.11079.
6. Heath-Brown, DR (1992). "La distribución y momentos del término de error en el problema del divisor de Dirichlet". Acta Aritmética . 60 (4): 389–415. doi : 10.4064/aa-60-4-389-415 . ISSN  0065-1036. S2CID  59450869. Teorema 1 La función tiene una función de distribución.
7. Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de Conferencias Regionales en Matemáticas. vol. 84. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 59.ISBN​ 0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001.
8. G. Kolesnik. Sobre la estimación de sumas exponenciales múltiples, en "Recent Progress in Analytic Number Theory", Symposium Durham 1979 (Vol. 1), Academic, Londres, 1981, págs.
9. Aleksandar Ivić . La teoría de la función Zeta de Riemann con aplicaciones (Teorema 13.2). John Wiley e hijos 1985.

Referencias

• HM Edwards , Función Zeta de Riemann , (1974) Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-41740-9 
• EC Titchmarsh, La teoría de la función Zeta de Riemann , (1951) Oxford en Clarendon Press, Oxford. (Ver el capítulo 12 para una discusión del problema del divisor generalizado)
• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001 (Proporciona una introducción al problema del divisor de Dirichlet).
• Se levantó. Un curso de teoría de números. , Oxford, 1988.
• MN Huxley (2003) 'Sumas exponenciales y puntos de celosía III', Proc. Matemáticas de Londres. Soc. (3)87: 591–609