El método de Van der Corput

En matemáticas, el método de van der Corput genera estimaciones para sumas exponenciales . El método aplica dos procesos, los procesos de van der Corput A y B , que relacionan las sumas en sumas más simples que son más fáciles de estimar.

Los procesos se aplican a sumas exponenciales de la forma

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}e(f(n))\ }$

donde f es una función suficientemente suave y e ( x ) denota exp(2πi x ).

Proceso A

Para aplicar el proceso A, escriba la primera diferencia f _h ( x ) para f ( x + h )− f ( x ).

Supongamos que existe H ≤ b − a tal que

${\displaystyle \sum _{h=1}^{H}\left\vert {\sum _{n=a}^{b-h}e(f_{h}(n))}\right\vert \leq b-a\ .}$

Entonces

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {b-a}{\sqrt {H}}}\ .}$

Proceso B

El proceso B transforma la suma que involucra a f en una que involucra a una función g definida en términos de la derivada de f. Supóngase que f' es monótona creciente con f '( a ) = α, f '( b ) = β. Entonces f ' es invertible en [α,β] con u inversa, digamos. Supóngase además que f '' ≥ λ > 0. Escribe

${\displaystyle g(y)=f(u(y))-yu(y)\ .}$

Tenemos

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\max _{\alpha \leq \gamma \leq \beta }\left\vert {\sum _{\nu =\alpha }^{\gamma }e(g(\nu ))}\right\vert \ .}$

Al aplicar nuevamente el Proceso B a la suma que involucra g se obtiene la suma sobre f y, por lo tanto, no se obtiene más información.

Pares de exponentes

El método de pares de exponentes proporciona una clase de estimaciones para funciones con una propiedad de suavidad particular. Fije los parámetros N , R , T , s , δ. Consideremos funciones f definidas en un intervalo [ N ,2N ] que son R veces continuamente diferenciables , satisfaciendo

${\displaystyle \left\vert {f^{(r+1)}(x)-(-1)^{r}s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}}\right\vert \leq \delta s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}\ }$

uniformemente en [ a , b ] para 0 ≤ r < R .

Decimos que un par de números reales ( k , l ) con 0 ≤ k ≤ 1/2 ≤ l ≤ 1 es un par de exponentes si para cada σ > 0 existen δ y R dependientes de k , l ,σ tales que

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll \left({\frac {T}{N^{\sigma }}}\right)^{k}N^{l}\ }$

uniformemente en f .

Mediante el proceso A, encontramos que si ( k , l ) es un par de exponentes, entonces también lo es . Mediante el proceso B, encontramos que también lo es . ${\displaystyle \left({{\frac {k}{2k+2}},{\frac {k+l+1}{2k+2}}}\right)}$ ${\displaystyle \left({l-1/2,k+1/2}\right)}$

Un límite trivial muestra que (0,1) es un par de exponentes.

El conjunto de pares de exponentes es convexo.

Se sabe que si ( k , l ) es un par de exponentes entonces la función zeta de Riemann en la línea crítica satisface

${\displaystyle \zeta (1/2+it)\ll t^{\theta }\log t}$

dónde . ${\displaystyle \theta =(k+l-1/2)/2}$

La conjetura del par de exponentes establece que para todo ε > 0, el par (ε,1/2+ε) es un par de exponentes. Esta conjetura implica la hipótesis de Lindelöf .

Referencias

• Ivić, Aleksandar (1985). La función zeta de Riemann. La teoría de la función zeta de Riemann con aplicaciones . Nueva York, etc.: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X.Zbl 0556.10026  .
• Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales sobre matemáticas. Vol. 84. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0737-4.Zbl 0814.11001  .
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9.Zbl 1151.11300  .