Srinivasa Ramanujan Aiyangar [a] (22 de diciembre de 1887 - 26 de abril de 1920) fue un matemático indio . A menudo considerado como uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, aunque casi no tenía formación formal en matemáticas puras , hizo contribuciones sustanciales al análisis matemático , la teoría de números , las series infinitas y las fracciones continuas , incluidas soluciones a problemas matemáticos que entonces se consideraban irresolubles.
Ramanujan desarrolló inicialmente su propia investigación matemática de forma aislada. Según Hans Eysenck , "trató de interesar a los principales matemáticos profesionales en su trabajo, pero fracasó en su mayor parte. Lo que tenía que mostrarles era demasiado novedoso, demasiado desconocido y, además, presentado de formas inusuales; no se molestaron en hacerlo". [4] En busca de matemáticos que pudieran comprender mejor su trabajo, en 1913 comenzó una correspondencia por correo con el matemático inglés GH Hardy en la Universidad de Cambridge , Inglaterra. Reconociendo el trabajo de Ramanujan como extraordinario, Hardy organizó su viaje a Cambridge. En sus notas, Hardy comentó que Ramanujan había producido nuevos teoremas innovadores , incluidos algunos que "me derrotaron por completo; nunca había visto nada parecido antes", [5] y algunos resultados recientemente demostrados pero muy avanzados.
Durante su corta vida, Ramanujan recopiló de forma independiente casi 3.900 resultados (en su mayoría identidades y ecuaciones ). [6] Muchos eran completamente novedosos; sus resultados originales y altamente poco convencionales, como el primo de Ramanujan , la función theta de Ramanujan , las fórmulas de partición y las funciones theta simuladas , han abierto áreas de trabajo completamente nuevas e inspirado investigaciones posteriores. [7] De sus miles de resultados, la mayoría han resultado correctos. [8] El Ramanujan Journal , una revista científica , se estableció para publicar trabajos en todas las áreas de las matemáticas influenciadas por Ramanujan, [9] y sus cuadernos, que contienen resúmenes de sus resultados publicados e inéditos, han sido analizados y estudiados durante décadas desde su muerte como fuente de nuevas ideas matemáticas. Incluso en 2012, los investigadores continuaron descubriendo que los meros comentarios en sus escritos sobre "propiedades simples" y "resultados similares" para ciertos hallazgos eran en sí mismos resultados profundos y sutiles de la teoría de números que permanecieron insospechados hasta casi un siglo después de su muerte. [10] [11] Se convirtió en uno de los miembros más jóvenes de la Royal Society y en el segundo miembro indio y el primer indio en ser elegido miembro del Trinity College de Cambridge .
En 1919, una mala salud (que ahora se cree que se debió a una amebiasis hepática , una complicación de episodios de disentería muchos años antes) obligó a Ramanujan a regresar a la India, donde murió en 1920 a la edad de 32 años. Sus últimas cartas a Hardy, escritas en enero de 1920, muestran que todavía seguía produciendo nuevas ideas y teoremas matemáticos. Su " cuaderno perdido ", que contenía descubrimientos del último año de su vida, causó gran entusiasmo entre los matemáticos cuando fue redescubierto en 1976.
Ramanujan (literalmente, "hermano menor de Rama ", una deidad hindú) [12] nació el 22 de diciembre de 1887 en una familia tamil brahmán Iyengar en Erode , en la actual Tamil Nadu . [13] Su padre, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, originario del distrito de Thanjavur , trabajaba como empleado en una tienda de saris . [14] [2] Su madre, Komalatammal, era ama de casa y cantaba en un templo local. [15] Vivían en una pequeña casa tradicional en la calle Sarangapani Sannidhi en la ciudad de Kumbakonam . [16] La casa familiar ahora es un museo. Cuando Ramanujan tenía un año y medio, su madre dio a luz a un hijo, Sadagopan, que murió menos de tres meses después. En diciembre de 1889, Ramanujan contrajo viruela , pero se recuperó, a diferencia de las otras 4.000 personas que murieron en un mal año en el distrito de Thanjavur en esa época. Se mudó con su madre a la casa de sus padres en Kanchipuram , cerca de Madrás (hoy Chennai ). Su madre dio a luz a dos hijos más, en 1891 y 1894, ambos murieron antes de cumplir su primer año. [12]
El 1 de octubre de 1892, Ramanujan se matriculó en la escuela local. [17] Después de que su abuelo materno perdiera su trabajo como funcionario judicial en Kanchipuram, [18] Ramanujan y su madre regresaron a Kumbakonam , y él se matriculó en la escuela primaria de Kangayan. [19] Cuando murió su abuelo paterno, fue enviado de vuelta con sus abuelos maternos, que vivían en Madrás. No le gustaba la escuela en Madrás y trató de evitar asistir. Su familia reclutó a un policía local para asegurarse de que asistiera a la escuela. En seis meses, Ramanujan estaba de vuelta en Kumbakonam. [19]
Como el padre de Ramanujan trabajaba la mayor parte del día, su madre cuidaba del niño y tenían una relación muy estrecha. De ella, Ramanujan aprendió sobre la tradición y los puranas , a cantar canciones religiosas, a asistir a pujas en el templo y a mantener hábitos alimenticios particulares, todo ello parte de la cultura brahmán . [20] En la escuela primaria de Kangayan, Ramanujan tuvo un buen desempeño. Justo antes de cumplir 10 años, en noviembre de 1897, aprobó sus exámenes primarios de inglés, tamil , geografía y aritmética con las mejores calificaciones del distrito. [21] Ese año, Ramanujan ingresó en la escuela secundaria superior de la ciudad , donde se topó con las matemáticas formales por primera vez. [21]
A los 11 años, un niño prodigio , había agotado los conocimientos matemáticos de dos estudiantes universitarios que se alojaban en su casa. Más tarde, le prestaron un libro escrito por SL Loney sobre trigonometría avanzada. [22] [23] Dominó esto a la edad de 13 años mientras descubría teoremas sofisticados por su cuenta. A los 14 años, recibió certificados de mérito y premios académicos que continuaron durante toda su carrera escolar, y ayudó a la escuela en la logística de asignar sus 1200 estudiantes (cada uno con diferentes necesidades) a sus aproximadamente 35 maestros. [24] Completó los exámenes matemáticos en la mitad del tiempo asignado y mostró familiaridad con la geometría y las series infinitas . A Ramanujan se le mostró cómo resolver ecuaciones cúbicas en 1902. Más tarde desarrollaría su propio método para resolver la cuártica . En 1903, trató de resolver la quíntica , sin saber que era imposible resolverla con radicales. [25]
En 1903, cuando tenía 16 años, Ramanujan obtuvo de un amigo una copia de la biblioteca de A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics , la colección de 5000 teoremas de GS Carr . [26] [27] Según se informa, Ramanujan estudió el contenido del libro en detalle. [28] Al año siguiente, Ramanujan desarrolló e investigó de forma independiente los números de Bernoulli y calculó la constante de Euler-Mascheroni hasta 15 decimales. [29] Sus compañeros en ese momento dijeron que "raramente lo entendían" y "lo admiraban con respeto". [24]
Cuando se graduó de la Escuela Secundaria Superior de la Ciudad en 1904, Ramanujan recibió el premio K. Ranganatha Rao de matemáticas por parte del director de la escuela, Krishnaswami Iyer. Iyer presentó a Ramanujan como un estudiante sobresaliente que merecía puntajes más altos que el máximo. [30] Recibió una beca para estudiar en el Government Arts College, Kumbakonam , [31] [32] pero estaba tan concentrado en las matemáticas que no podía concentrarse en ninguna otra materia y reprobó la mayoría de ellas, perdiendo su beca en el proceso. [33] En agosto de 1905, Ramanujan se escapó de su casa, se dirigió a Visakhapatnam y se quedó en Rajahmundry [34] durante aproximadamente un mes. [33] Más tarde se inscribió en el Pachaiyappa's College en Madrás. Allí, aprobó matemáticas, eligiendo solo intentar responder las preguntas que le atraían y dejando el resto sin respuesta, pero se desempeñó mal en otras materias, como inglés, fisiología y sánscrito. [35] Ramanujan reprobó su examen de becario de artes en diciembre de 1906 y nuevamente un año después. Sin un título de becario de artes, abandonó la universidad y continuó con su investigación independiente en matemáticas, viviendo en extrema pobreza y a menudo al borde de la inanición. [36]
En 1910, después de una reunión entre Ramanujan, de 23 años, y el fundador de la Sociedad Matemática India , V. Ramaswamy Aiyer , Ramanujan comenzó a obtener reconocimiento en los círculos matemáticos de Madrás, lo que llevó a su inclusión como investigador en la Universidad de Madrás . [37]
El 14 de julio de 1909, Ramanujan se casó con Janaki (Janakiammal; 21 de marzo de 1899 - 13 de abril de 1994), [38] una niña que su madre había seleccionado para él un año antes y que tenía diez años cuando se casaron. [39] [40] [41] No era inusual entonces que se concertaran matrimonios con niñas a una edad temprana. Janaki era de Rajendram, un pueblo cercano a la estación de tren de Marudur ( distrito de Karur ). El padre de Ramanujan no participó en la ceremonia de matrimonio. [42] Como era común en ese momento, Janaki continuó quedándose en su casa materna durante tres años después del matrimonio, hasta que alcanzó la pubertad. En 1912, ella y la madre de Ramanujan se unieron a Ramanujan en Madrás. [43]
Después del matrimonio, Ramanujan desarrolló una hidrocele testicular . [44] La afección podía tratarse con una operación quirúrgica de rutina que liberaría el líquido bloqueado en el saco escrotal, pero su familia no podía costear la operación. En enero de 1910, un médico se ofreció a realizar la cirugía sin costo alguno. [45]
Después de su exitosa operación, Ramanujan buscó trabajo. Se quedó en casa de un amigo mientras iba de puerta en puerta por Madrás buscando un puesto de oficinista. Para ganar dinero, daba clases particulares a estudiantes del Presidency College que se preparaban para el examen de Fellow of Arts. [46]
A finales de 1910, Ramanujan enfermó de nuevo. Temía por su salud y le dijo a su amigo R. Radakrishna Iyer que "entregara [sus cuadernos] al profesor Singaravelu Mudaliar [el profesor de matemáticas del Pachaiyappa's College] o al profesor británico Edward B. Ross, del Madras Christian College ". [47] Después de que Ramanujan se recuperara y recuperara sus cuadernos de Iyer, tomó un tren desde Kumbakonam a Villupuram , una ciudad bajo control francés. [48] [49] En 1912, Ramanujan se mudó con su esposa y su madre a una casa en la calle Saiva Muthaiah Mudali, George Town , Madrás , donde vivieron durante unos meses. [50] En mayo de 1913, tras conseguir un puesto de investigación en la Universidad de Madrás, Ramanujan se mudó con su familia a Triplicane . [51]
En 1910, Ramanujan conoció al recaudador adjunto V. Ramaswamy Aiyer , quien fundó la Sociedad Matemática de la India. [52] Deseando un trabajo en el departamento de ingresos donde trabajaba Aiyer, Ramanujan le mostró sus cuadernos de matemáticas. Como Aiyer recordó más tarde:
Me impresionaron los extraordinarios resultados matemáticos que contenían [los cuadernos]. No tenía intención de sofocar su genio con un nombramiento en los puestos más bajos del departamento de Hacienda. [53]
Aiyer envió a Ramanujan, con cartas de presentación, a sus amigos matemáticos en Madrás. [52] Algunos de ellos vieron su trabajo y le dieron cartas de presentación a R. Ramachandra Rao , el recaudador de impuestos del distrito de Nellore y el secretario de la Sociedad Matemática de la India. [54] [55] [56] Rao quedó impresionado por la investigación de Ramanujan, pero dudaba de que fuera su propio trabajo. Ramanujan mencionó una correspondencia que tuvo con el profesor Saldhana, un notable matemático de Bombay , en la que Saldhana expresó una falta de comprensión de su trabajo, pero concluyó que no era un fraude. [57] El amigo de Ramanujan, CV Rajagopalachari, intentó calmar las dudas de Rao sobre la integridad académica de Ramanujan. Rao aceptó darle otra oportunidad y escuchó mientras Ramanujan discutía las integrales elípticas , las series hipergeométricas y su teoría de las series divergentes , que, según Rao, finalmente lo convencieron de la brillantez de Ramanujan. [57] Cuando Rao le preguntó qué quería, Ramanujan respondió que necesitaba trabajo y apoyo financiero. Rao aceptó y lo envió a Madrás. Continuó su investigación con la ayuda financiera de Rao. Con la ayuda de Aiyer, Ramanujan publicó su trabajo en el Journal of the Indian Mathematical Society. [58]
Uno de los primeros problemas que planteó en la revista [30] fue encontrar el valor de:
Esperó a que le ofrecieran una solución en tres números, durante seis meses, pero no recibió ninguna. Al final, Ramanujan proporcionó una solución incompleta [59] al problema. En la página 105 de su primer cuaderno, formuló una ecuación que podía utilizarse para resolver el problema de los radicales infinitamente anidados .
Usando esta ecuación, la respuesta a la pregunta planteada en la revista fue simplemente 3, obtenida al establecer x = 2 , n = 1 y a = 0. [ 60] Ramanujan escribió su primer artículo formal para la revista sobre las propiedades de los números de Bernoulli . Una propiedad que descubrió fue que los denominadores de las fracciones de los números de Bernoulli (secuencia A027642 en la OEIS ) siempre son divisibles por seis. También ideó un método para calcular B n basado en números de Bernoulli anteriores. Uno de estos métodos es el siguiente:
Se observará que si n es par pero no igual a cero,
En su artículo de 17 páginas "Algunas propiedades de los números de Bernoulli" (1911), Ramanujan ofreció tres pruebas, dos corolarios y tres conjeturas. [61] Al principio, su redacción tenía muchos fallos. Como señaló el editor de la revista MT Narayana Iyengar:
Los métodos del señor Ramanujan eran tan concisos y novedosos y su presentación tan carente de claridad y precisión, que el lector matemático común, no acostumbrado a tal gimnasia intelectual, difícilmente podía seguirlo. [62]
Ramanujan escribió más tarde otro artículo y también continuó proporcionando problemas en el Journal . [63] A principios de 1912, consiguió un trabajo temporal en la oficina del Contador General de Madrás , con un salario mensual de 20 rupias. Duró solo unas pocas semanas. [64] Hacia el final de esa asignación, solicitó un puesto bajo el Contador Jefe del Madras Port Trust .
En una carta fechada el 9 de febrero de 1912, Ramanujan escribió:
Señor,
tengo entendido que hay una vacante en su oficina y le solicito que solicite el puesto. He aprobado el examen de matriculación y he estudiado hasta el grado de FA, pero varias circunstancias adversas me han impedido continuar mis estudios. Sin embargo, he dedicado todo mi tiempo a las matemáticas y al desarrollo de la materia. Puedo decir que tengo plena confianza en que podré hacer justicia a mi trabajo si me designan para el puesto. Por lo tanto, le solicito que tenga la amabilidad de conferirme el nombramiento. [65]
Junto con su solicitud había una recomendación de EW Middlemast , un profesor de matemáticas en el Presidency College , que escribió que Ramanujan era "un joven con una capacidad bastante excepcional en matemáticas". [66] Tres semanas después de que presentó su solicitud, el 1 de marzo, Ramanujan se enteró de que había sido aceptado como empleado de contabilidad de clase III, grado IV, ganando 30 rupias por mes. [67] En su oficina, Ramanujan completó fácil y rápidamente el trabajo que le asignaron y pasó su tiempo libre haciendo investigación matemática. El jefe de Ramanujan, Sir Francis Spring , y S. Narayana Iyer, un colega que también era tesorero de la Sociedad Matemática de la India, alentaron a Ramanujan en sus actividades matemáticas. [68]
En la primavera de 1913, Narayana Iyer, Ramachandra Rao y EW Middlemast intentaron presentar el trabajo de Ramanujan a los matemáticos británicos. MJM Hill, del University College de Londres, comentó que los documentos de Ramanujan estaban plagados de lagunas. [69] Dijo que, aunque Ramanujan tenía "un gusto por las matemáticas y cierta habilidad", carecía de la formación y la base educativas necesarias para ser aceptado por los matemáticos. [70] Aunque Hill no se ofreció a aceptar a Ramanujan como estudiante, le dio un asesoramiento profesional serio y exhaustivo sobre su trabajo. Con la ayuda de amigos, Ramanujan redactó cartas a los principales matemáticos de la Universidad de Cambridge. [71]
Los dos primeros profesores, HF Baker y EW Hobson , devolvieron los trabajos de Ramanujan sin comentarios. [72] El 16 de enero de 1913, Ramanujan le escribió a GH Hardy , a quien conocía por haber estudiado Órdenes del infinito (1910). [73] [74] Al provenir de un matemático desconocido, las nueve páginas de matemáticas hicieron que Hardy viera inicialmente los manuscritos de Ramanujan como un posible fraude. [75] Hardy reconoció algunas de las fórmulas de Ramanujan, pero otras "parecían casi imposibles de creer". [76] : 494 Uno de los teoremas que Hardy encontró asombroso estaba en la parte inferior de la página tres (válido para 0 < a < b + 1/2 ):
Hardy también quedó impresionado por otros trabajos de Ramanujan relacionados con las series infinitas:
El primer resultado ya había sido determinado por G. Bauer en 1859. El segundo era nuevo para Hardy, y se derivó de una clase de funciones llamadas series hipergeométricas , que habían sido investigadas por primera vez por Euler y Gauss. Hardy encontró estos resultados "mucho más intrigantes" que el trabajo de Gauss sobre integrales. [77] Después de ver los teoremas de Ramanujan sobre fracciones continuas en la última página de los manuscritos, Hardy dijo que los teoremas "me derrotaron por completo; nunca había visto nada parecido antes", [78] y que "debían ser ciertos, porque, si no lo fueran, nadie tendría la imaginación para inventarlos". [78] Hardy le pidió a un colega, JE Littlewood , que echara un vistazo a los artículos. Littlewood estaba asombrado por el genio de Ramanujan. Después de discutir los documentos con Littlewood, Hardy concluyó que las cartas eran "sin duda las más notables que he recibido" y que Ramanujan era "un matemático de la más alta calidad, un hombre de originalidad y poder totalmente excepcionales". [76] : 494–495 Un colega, EH Neville , comentó más tarde que "nadie que estuviera en los círculos matemáticos de Cambridge en ese momento puede olvidar la sensación causada por esta carta... ni un solo [teorema] podría haber sido establecido en el examen matemático más avanzado del mundo". [63]
El 8 de febrero de 1913, Hardy le escribió a Ramanujan una carta en la que expresaba su interés por su trabajo y añadía que era «esencial que yo viera pruebas de algunas de sus afirmaciones». [79] Antes de que su carta llegara a Madrás durante la tercera semana de febrero, Hardy se puso en contacto con la Oficina de la India para planificar el viaje de Ramanujan a Cambridge. El secretario Arthur Davies del Comité Asesor para Estudiantes Indios se reunió con Ramanujan para hablar del viaje al extranjero. [80] De acuerdo con su educación brahmán, Ramanujan se negó a abandonar su país para « ir a una tierra extranjera », y sus padres también se opusieron por la misma razón. [81] Mientras tanto, le envió a Hardy una carta repleta de teoremas, escribiendo: «He encontrado en ti un amigo que ve mi trabajo con simpatía». [82]
Para complementar el respaldo de Hardy, Gilbert Walker , un ex profesor de matemáticas en el Trinity College de Cambridge , observó el trabajo de Ramanujan y expresó su asombro, instando al joven a pasar un tiempo en Cambridge. [83] Como resultado del respaldo de Walker, B. Hanumantha Rao, un profesor de matemáticas en una escuela de ingeniería, invitó al colega de Ramanujan, Narayana Iyer, a una reunión de la Junta de Estudios de Matemáticas para discutir "lo que podemos hacer por S. Ramanujan". [84] La junta acordó otorgarle a Ramanujan una beca de investigación mensual de 75 rupias durante los próximos dos años en la Universidad de Madrás . [85]
Mientras trabajaba como estudiante de investigación, Ramanujan continuó enviando artículos al Journal of the Indian Mathematical Society. En una ocasión, Iyer presentó algunos de los teoremas de Ramanujan sobre la suma de series a la revista, añadiendo: "El siguiente teorema se debe a S. Ramanujan, el estudiante de matemáticas de la Universidad de Madrás". Más tarde, en noviembre, el profesor británico Edward B. Ross del Madras Christian College , a quien Ramanujan había conocido unos años antes, irrumpió en su clase un día con los ojos brillantes y preguntó a sus estudiantes: "¿Sabe Ramanujan polaco?". La razón fue que en un artículo, Ramanujan había anticipado el trabajo de un matemático polaco cuyo artículo acababa de llegar en el correo del día. [86] En sus artículos trimestrales, Ramanujan elaboró teoremas para hacer que las integrales definidas fueran más fáciles de resolver. Partiendo del teorema integral de Giuliano Frullani de 1821, Ramanujan formuló generalizaciones que podrían utilizarse para evaluar integrales que antes no eran constantes. [87]
La correspondencia de Hardy con Ramanujan se agrió después de que Ramanujan se negara a ir a Inglaterra. Hardy reclutó a un colega que daba conferencias en Madrás, EH Neville, para que fuera su mentor y trajera a Ramanujan a Inglaterra. [88] Neville le preguntó a Ramanujan por qué no quería ir a Cambridge. Ramanujan aparentemente había aceptado la propuesta; Neville dijo que "Ramanujan no necesitaba ser convertido" y "la oposición de sus padres había sido retirada". [63] Al parecer, la madre de Ramanujan tuvo un sueño vívido en el que Ramanujan estaba rodeado de europeos y la diosa de la familia, la deidad de Namagiri , le ordenó "no interponerse más entre su hijo y el cumplimiento del propósito de su vida". [63] El 17 de marzo de 1914, Ramanujan viajó a Inglaterra en barco, [89] dejando a su esposa para que se quedara con sus padres en la India. [90]
Ramanujan partió de Madrás a bordo del SS Nevasa el 17 de marzo de 1914. [91] [92] Cuando desembarcó en Londres el 14 de abril, Neville lo estaba esperando con un automóvil. Cuatro días después, Neville lo llevó a su casa en Chesterton Road en Cambridge. Ramanujan comenzó inmediatamente su trabajo con Littlewood y Hardy. Después de seis semanas, Ramanujan se mudó de la casa de Neville y se instaló en Whewell's Court, a cinco minutos a pie de la habitación de Hardy. [93]
Hardy y Littlewood comenzaron a mirar los cuadernos de Ramanujan. Hardy ya había recibido 120 teoremas de Ramanujan en las dos primeras cartas, pero había muchos más resultados y teoremas en los cuadernos. Hardy vio que algunos estaban equivocados, otros ya habían sido descubiertos y el resto eran nuevos avances. [94] Ramanujan dejó una profunda impresión en Hardy y Littlewood. Littlewood comentó: "Puedo creer que es al menos un Jacobi ", [95] mientras que Hardy dijo que "sólo puedo compararlo con Euler o Jacobi". [96]
Ramanujan pasó casi cinco años en Cambridge colaborando con Hardy y Littlewood, y publicó allí parte de sus hallazgos. Hardy y Ramanujan tenían personalidades muy contrastantes. Su colaboración fue un choque de culturas, creencias y estilos de trabajo diferentes. En las décadas anteriores, los fundamentos de las matemáticas habían sido cuestionados y se reconoció la necesidad de pruebas matemáticamente rigurosas . Hardy era ateo y un apóstol de la prueba y el rigor matemático, mientras que Ramanujan era un hombre profundamente religioso que dependía en gran medida de su intuición y sus percepciones. Hardy hizo todo lo posible por llenar los vacíos en la educación de Ramanujan y guiarlo en la necesidad de pruebas formales para respaldar sus resultados, sin obstaculizar su inspiración, un conflicto que a ninguno de los dos le resultó fácil.
Ramanujan recibió el título de Bachelor of Arts by Research [97] [98] (el predecesor del título de PhD) en marzo de 1916 por su trabajo sobre números altamente compuestos , secciones de la primera parte del cual se habían publicado el año anterior en las Actas de la London Mathematical Society . El artículo tenía más de 50 páginas y demostraba varias propiedades de tales números. A Hardy no le gustaba este tema, pero comentó que, aunque abordaba lo que él llamaba el "remanso de las matemáticas", en él Ramanujan mostró "un dominio extraordinario sobre el álgebra de desigualdades". [99]
El 6 de diciembre de 1917, Ramanujan fue elegido miembro de la London Mathematical Society. El 2 de mayo de 1918, fue elegido miembro de la Royal Society , [100] el segundo indio admitido, después de Ardaseer Cursetjee en 1841. A los 31 años, Ramanujan fue uno de los miembros más jóvenes en la historia de la Royal Society. Fue elegido "por su investigación en funciones elípticas y la teoría de números". El 13 de octubre de 1918, fue el primer indio en ser elegido miembro del Trinity College, Cambridge . [101]
Ramanujan tuvo numerosos problemas de salud a lo largo de su vida. Su salud empeoró en Inglaterra; posiblemente también fue menos resistente debido a la dificultad de mantener los estrictos requisitos dietéticos de su religión allí y debido al racionamiento en tiempos de guerra en 1914-18 . Se le diagnosticó tuberculosis y una grave deficiencia de vitaminas , y fue confinado a un sanatorio . Intentó suicidarse a fines de 1917 o principios de 1918 saltando a las vías de una estación de metro de Londres. Scotland Yard lo arrestó por intento de suicidio (lo cual era un delito), pero lo liberó después de que Hardy interviniera. [102] [103] En 1919, Ramanujan regresó a Kumbakonam , Presidencia de Madrás , donde murió en 1920 a los 32 años. Después de su muerte, su hermano Tirunarayanan recopiló las notas manuscritas restantes de Ramanujan, que consistían en fórmulas sobre módulos singulares, series hipergeométricas y fracciones continuas. [43] En sus últimos días, aunque con fuertes dolores, "continuó haciendo sus matemáticas llenando hoja tras hoja con números", relata Janaki Ammal. [104]
La viuda de Ramanujan, Smt. Janaki Ammal, se mudó a Bombay . En 1931, regresó a Madrás y se estableció en Triplicane , donde se mantuvo con una pensión de la Universidad de Madrás y los ingresos de la sastrería. En 1950, adoptó un hijo, W. Narayanan, que finalmente se convirtió en funcionario del Banco Estatal de la India y formó una familia. En sus últimos años, recibió una pensión vitalicia del antiguo empleador de Ramanujan, el Madras Port Trust, y pensiones de, entre otros, la Academia Nacional de Ciencias de la India y los gobiernos estatales de Tamil Nadu , Andhra Pradesh y Bengala Occidental . Continuó apreciando la memoria de Ramanujan y participó activamente en los esfuerzos por aumentar su reconocimiento público; matemáticos destacados, incluidos George Andrews, Bruce C. Berndt y Béla Bollobás, se aseguraron de visitarla mientras estaba en la India. Murió en su residencia de Triplicane en 1994. [42] [43]
Un análisis de los registros médicos y síntomas de Ramanujan realizado en 1994 por DAB Young [103] concluyó que sus síntomas médicos —incluyendo sus recaídas pasadas, fiebres y afecciones hepáticas— eran mucho más parecidos a los resultantes de la amebiasis hepática , una enfermedad entonces extendida en Madrás, que a la tuberculosis. Tuvo dos episodios de disentería antes de salir de la India. Cuando no se trata adecuadamente, la disentería amebiana puede permanecer latente durante años y derivar en amebiasis hepática, cuyo diagnóstico no estaba bien establecido en ese momento. [105] En ese momento, si se diagnosticaba correctamente, la amebiasis era una enfermedad tratable y a menudo curable; [105] [106] Los soldados británicos que la contrajeron durante la Primera Guerra Mundial se curaban con éxito de la amebiasis en la época en que Ramanujan salió de Inglaterra. [107]
Mientras dormía, tuve una experiencia inusual. Había una pantalla roja formada por sangre fluyendo, por así decirlo. La estaba observando. De repente, una mano comenzó a escribir en la pantalla. Me concentré por completo en ella. Esa mano escribió una serie de integrales elípticas. Se me quedaron grabadas en la mente. Tan pronto como me desperté, las puse por escrito.
—Srinivasa Ramanujan [108]
Ramanujan ha sido descrito como una persona de una disposición algo tímida y tranquila, un hombre digno con modales agradables. [109] Vivió una vida sencilla en Cambridge. [110] Los primeros biógrafos indios de Ramanujan lo describen como un hindú rigurosamente ortodoxo . Atribuyó su perspicacia a la diosa de su familia , Namagiri Thayar (Diosa Mahalakshmi ) de Namakkal . Buscó en ella inspiración para su trabajo [111] y dijo que soñaba con gotas de sangre que simbolizaban a su consorte, Narasimha . Más tarde tuvo visiones de pergaminos de contenido matemático complejo que se desplegaban ante sus ojos. [112] A menudo decía: "Para mí, una ecuación no tiene significado a menos que exprese un pensamiento de Dios". [113]
Hardy cita a Ramanujan diciendo que todas las religiones le parecían igualmente verdaderas. [114] Hardy sostuvo además que la creencia religiosa de Ramanujan había sido romantizada por los occidentales y exagerada (en referencia a su creencia, no a su práctica) por los biógrafos indios. Al mismo tiempo, destacó el estricto vegetarianismo de Ramanujan . [115]
De manera similar, en una entrevista con Frontline, Berndt dijo: "Mucha gente atribuye poderes místicos al pensamiento matemático de Ramanujan. No es verdad. Él registró meticulosamente cada resultado en sus tres cuadernos", especulando además que Ramanujan elaboró resultados intermedios en una pizarra y que no podía permitirse el lujo de tener papel para registrarlos de manera más permanente. [8]
Berndt informó que Janaki dijo en 1984 que Ramanujan dedicaba tanto tiempo a las matemáticas que no iba al templo, que ella y su madre a menudo lo alimentaban porque no tenía tiempo para comer y que la mayoría de las historias religiosas que se le atribuían provenían de otros. Sin embargo, su ortopraxia no estaba en duda. [116]
En matemáticas, existe una distinción entre la intuición y la formulación o elaboración de una prueba. Ramanujan propuso una gran cantidad de fórmulas que podrían investigarse más adelante en profundidad. G. H. Hardy dijo que los descubrimientos de Ramanujan son inusualmente ricos y que a menudo contienen más de lo que parece a primera vista. Como subproducto de su trabajo, se abrieron nuevas direcciones de investigación. Los ejemplos de las fórmulas más intrigantes incluyen series infinitas para π , una de las cuales se da a continuación:
Este resultado se basa en el discriminante fundamental negativo d = −4 × 58 = −232 con número de clase h ( d ) = 2 . Además, 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 y 16 × 9801 = 396 2 , lo que está relacionado con el hecho de que
Esto podría compararse con los números de Heegner , que tienen el número de clase 1 y producen fórmulas similares.
La serie de Ramanujan para π converge extraordinariamente rápido y forma la base de algunos de los algoritmos más rápidos utilizados para calcular π . Truncando la suma al primer término también se obtiene la aproximación 9801 √ 2/4412 para π , que es correcto hasta seis decimales; truncarlo a los dos primeros términos da un valor correcto hasta 14 decimales .
Una de las capacidades notables de Ramanujan era la rápida solución de problemas, ilustrada por la siguiente anécdota sobre un incidente en el que el agente Mahalanobis planteó un problema:
Imagina que estás en una calle con casas marcadas del 1 al n . Hay una casa en el medio ( x ) tal que la suma de los números de las casas a la izquierda de ella es igual a la suma de los números de las casas a su derecha. Si n está entre 50 y 500, ¿cuántos son n y x ? Este es un problema bivariado con múltiples soluciones. Ramanujan pensó en ello y dio la respuesta con un giro: dio una fracción continua . Lo inusual fue que era la solución a toda la clase de problemas. Mahalanobis se quedó asombrado y le preguntó cómo lo hizo. "Es simple. En el momento en que escuché el problema, supe que la respuesta era una fracción continua. ¿Qué fracción continua?, me pregunté. Entonces la respuesta vino a mi mente", respondió Ramanujan. [117] [118]
Su intuición también le llevó a deducir algunas identidades hasta entonces desconocidas , como
para todos los θ tales que y , donde Γ( z ) es la función gamma , y relacionada con un valor especial de la función eta de Dedekind . Al expandir en series de potencias y coeficientes de igualación de θ 0 , θ 4 y θ 8 se obtienen algunas identidades profundas para la secante hiperbólica .
En 1918, Hardy y Ramanujan estudiaron extensamente la función de partición P ( n ) . Produjeron una serie asintótica no convergente que permite el cálculo exacto del número de particiones de un entero. En 1937, Hans Rademacher refinó su fórmula para encontrar una solución de serie convergente exacta para este problema. El trabajo de Ramanujan y Hardy en esta área dio lugar a un nuevo y poderoso método para encontrar fórmulas asintóticas llamado método del círculo . [119]
En el último año de su vida, Ramanujan descubrió las funciones theta simuladas . [120] Durante muchos años, estas funciones fueron un misterio, pero ahora se sabe que son las partes holomorfas de las formas débiles armónicas de Maass .
Aunque existen numerosas afirmaciones que podrían haber llevado el nombre de conjetura de Ramanujan, una fue muy influyente en trabajos posteriores. En particular, la conexión de esta conjetura con las conjeturas de André Weil en geometría algebraica abrió nuevas áreas de investigación. Esa conjetura de Ramanujan es una afirmación sobre el tamaño de la función tau , que tiene una función generadora como la forma modular discriminante Δ( q ), una forma de cúspide típica en la teoría de formas modulares . Finalmente se demostró en 1973, como consecuencia de la prueba de Pierre Deligne de las conjeturas de Weil . El paso de reducción involucrado es complicado. Deligne ganó una Medalla Fields en 1978 por ese trabajo. [7] [121]
En su artículo "Sobre ciertas funciones aritméticas", Ramanujan definió la llamada función delta, cuyos coeficientes se llaman τ ( n ) (la función tau de Ramanujan ). [122] Demostró muchas congruencias para estos números, como τ ( p ) ≡ 1 + p 11 mod 691 para primos p . Esta congruencia (y otras similares que Ramanujan demostró) inspiró a Jean-Pierre Serre (Medalla Fields de 1954) a conjeturar que existe una teoría de representaciones de Galois que "explica" estas congruencias y, de manera más general, todas las formas modulares. Δ( z ) es el primer ejemplo de una forma modular que se estudia de esta manera. Deligne (en su trabajo ganador de la Medalla Fields) demostró la conjetura de Serre. La prueba del Último Teorema de Fermat procede primero reinterpretando las curvas elípticas y las formas modulares en términos de estas representaciones de Galois. Sin esta teoría, no habría prueba del último teorema de Fermat. [123]
Mientras aún se encontraba en Madrás, Ramanujan registró la mayor parte de sus resultados en cuatro cuadernos de hojas sueltas . La mayoría de ellos estaban escritos sin ninguna derivación. Este es probablemente el origen de la idea errónea de que Ramanujan no era capaz de demostrar sus resultados y simplemente había ideado el resultado final directamente. El matemático Bruce C. Berndt , en su revisión de estos cuadernos y del trabajo de Ramanujan, dice que Ramanujan ciertamente fue capaz de demostrar la mayoría de sus resultados, pero decidió no registrar las pruebas en sus notas.
Esto pudo haber sido por varias razones. Como el papel era muy caro, Ramanujan hizo la mayor parte de su trabajo y quizás sus pruebas en pizarra , después de lo cual transfirió los resultados finales al papel. En ese momento, las pizarras eran comúnmente utilizadas por los estudiantes de matemáticas en la Presidencia de Madrás . También es muy probable que haya sido influenciado por el estilo del libro de GS Carr , que establecía resultados sin pruebas. También es posible que Ramanujan considerara que su trabajo era solo para su interés personal y, por lo tanto, registró solo los resultados. [124]
El primer cuaderno tiene 351 páginas con 16 capítulos más o menos organizados y algo de material desorganizado. El segundo tiene 256 páginas en 21 capítulos y 100 páginas desorganizadas, y el tercero 33 páginas desorganizadas. Los resultados en sus cuadernos inspiraron numerosos artículos de matemáticos posteriores que intentaron demostrar lo que había encontrado. El propio Hardy escribió artículos explorando material del trabajo de Ramanujan, al igual que GN Watson , BM Wilson y Bruce Berndt. [124]
En 1976, George Andrews redescubrió un cuarto cuaderno con 87 páginas desorganizadas, el llamado "cuaderno perdido" . [105]
El número 1729 se conoce como el número Hardy-Ramanujan, en honor a una famosa visita que Hardy hizo a Ramanujan en un hospital. En palabras de Hardy: [125]
Recuerdo que una vez fui a verlo cuando estaba enfermo en Putney . Yo había viajado en el taxi número 1729 y comenté que el número me parecía bastante aburrido y que esperaba que no fuera un mal presagio. "No", respondió, "es un número muy interesante; es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes".
Inmediatamente antes de esta anécdota, Hardy citó a Littlewood diciendo: "Cada número entero positivo era uno de los amigos personales de [Ramanujan]". [126]
Las dos formas diferentes son:
Las generalizaciones de esta idea han creado el concepto de " números de taxi ".
"Por supuesto, siempre tenemos esperanzas. Ésa es una de las razones por las que siempre leo cartas que llegan de lugares desconocidos y que están escritas con una letra ilegible. Siempre tengo la esperanza de que puedan ser de otro Ramanujan".
—Freeman Dyson sobre cómo otro genio así podría aparecer en cualquier parte [127]
En su obituario de Ramanujan, escrito para Nature en 1920, Hardy observó que el trabajo de Ramanujan involucraba principalmente campos menos conocidos incluso entre otros matemáticos puros, y concluyó:
Su intuición sobre las fórmulas era asombrosa y, en general, superior a todo lo que he encontrado en cualquier matemático europeo. Tal vez sea inútil especular sobre su historia si hubiera conocido las ideas y los métodos modernos a los dieciséis años en lugar de a los veintiséis. No es descabellado suponer que podría haber llegado a ser el mayor matemático de su tiempo. Lo que hizo en realidad es bastante maravilloso... cuando se hayan completado las investigaciones que su trabajo ha sugerido, probablemente parecerá mucho más maravilloso de lo que parece hoy. [76]
Hardy agregó además: [128]
Combinaba un poder de generalización, un sentido de la forma y una capacidad para modificar rápidamente sus hipótesis que a menudo eran realmente sorprendentes y que lo convirtieron, en su propio campo peculiar, en un ser sin rival en su época. Las limitaciones de su conocimiento eran tan sorprendentes como su profundidad. He aquí un hombre que podía elaborar ecuaciones modulares y teoremas... hasta niveles inauditos, cuyo dominio de las fracciones continuas estaba... más allá del de cualquier matemático del mundo, que había descubierto por sí mismo la ecuación funcional de la función zeta y los términos dominantes de muchos de los problemas más famosos de la teoría analítica de los números; y sin embargo, nunca había oído hablar de una función doblemente periódica ni del teorema de Cauchy , y tenía, de hecho, sólo una vaga idea de lo que era una función de una variable compleja ...
A modo de ejemplo, Hardy comentó 15 teoremas en la primera carta. De ellos, los primeros 13 son correctos y esclarecedores, el 14.º es incorrecto pero esclarecedor, y el 15.º es correcto pero engañoso.
(14): El coeficiente de en es el entero más cercano a Este "fue uno de los más fructíferos que jamás hizo, ya que terminó por conducirnos a todo nuestro trabajo conjunto sobre particiones". [129]
Cuando se le preguntó sobre los métodos que Ramanujan utilizó para llegar a sus soluciones, Hardy dijo que "llegó a ellas mediante un proceso de argumentación, intuición e inducción mezclados, del que era totalmente incapaz de dar una explicación coherente". [130] También dijo que "nunca había conocido a nadie que lo igualara, y que sólo podía compararlo con Euler o Jacobi". [130] Hardy pensaba que Ramanujan trabajaba en un estilo del siglo XIX, donde llegar a fórmulas correctas era más importante que las teorías formales sistemáticas. Hardy pensaba que sus logros eran mayores en álgebra, especialmente en series hipergeométricas y fracciones continuas. [129]
Es posible que los grandes días de las fórmulas hayan terminado y que Ramanujan debería haber nacido hace cien años, pero fue, con diferencia, el mayor formalista de su tiempo. Ha habido muchos matemáticos más importantes (y supongo que hay que decir mayores) que Ramanujan durante los últimos cincuenta años, pero ninguno que pudiera hacerle frente en su propio terreno. Jugando al juego cuyas reglas conocía, podría darle quince a cualquier matemático del mundo. [129]
Descubrió menos cosas nuevas en el análisis, posiblemente porque carecía de la educación formal y no encontró libros para aprenderlo, pero redescubrió muchos resultados, incluido el teorema de los números primos . En el análisis, trabajó en las funciones elípticas y la teoría analítica de los números. En la teoría analítica de los números , fue tan imaginativo como de costumbre, pero mucho de lo que imaginaba era erróneo. Hardy atribuyó esto a la dificultad inherente de la teoría analítica de los números, donde la imaginación había llevado por mal camino a muchos grandes matemáticos. En la teoría analítica de los números, la prueba rigurosa es más importante que la imaginación, lo opuesto al estilo de Ramanujan. Su "único gran fracaso" es que no sabía "nada en absoluto sobre la teoría de las funciones analíticas ". [129]
Según se informa, Littlewood dijo que ayudar a Ramanujan a ponerse al día con las matemáticas europeas más allá de lo que estaba disponible en la India fue muy difícil porque cada nuevo punto que se le mencionaba a Ramanujan hacía que produjera ideas originales que impedían a Littlewood continuar la lección. [131]
K. Srinivasa Rao ha dicho, [132] "En cuanto a su lugar en el mundo de las Matemáticas, citamos a Bruce C. Berndt: ' Paul Erdős nos ha transmitido las calificaciones personales de Hardy de los matemáticos. Supongamos que calificamos a los matemáticos sobre la base del talento puro en una escala de 0 a 100. Hardy se dio a sí mismo una puntuación de 25, JE Littlewood 30, David Hilbert 80 y Ramanujan 100. ' " Durante una conferencia de mayo de 2011 en IIT Madras , Berndt dijo que durante los últimos 40 años, como casi todas las conjeturas de Ramanujan habían sido probadas, había habido una mayor apreciación del trabajo y la brillantez de Ramanujan, y que el trabajo de Ramanujan ahora estaba impregnando muchas áreas de las matemáticas y la física modernas. [120] [133]
Al año siguiente de su muerte, la revista Nature incluyó a Ramanujan entre otros científicos y matemáticos distinguidos en un "Calendario de pioneros científicos" que habían alcanzado la eminencia. [134] El estado natal de Ramanujan, Tamil Nadu, celebra el 22 de diciembre (el cumpleaños de Ramanujan) como el "Día de la Tecnología de la Información del Estado". El gobierno de la India emitió sellos con la imagen de Ramanujan en 1962, 2011, 2012 y 2016. [135]
Desde el año del centenario de Ramanujan, su cumpleaños, el 22 de diciembre, se ha celebrado anualmente como el Día de Ramanujan en la Escuela de Artes del Gobierno, Kumbakonam , donde estudió, y en el IIT Madrás en Chennai . El Centro Internacional de Física Teórica (ICTP) ha creado un premio en nombre de Ramanujan para matemáticos jóvenes de países en desarrollo en cooperación con la Unión Matemática Internacional , que nomina a los miembros del comité del premio. La Universidad SASTRA , una universidad privada con sede en Tamil Nadu , ha instituido el Premio SASTRA Ramanujan de US$ 10.000 que se entregará anualmente a un matemático que no exceda los 32 años por contribuciones sobresalientes en un área de las matemáticas influenciada por Ramanujan. [136]
Según las recomendaciones de un comité designado por la Comisión de Becas Universitarias (UGC) del Gobierno de la India, el Centro Srinivasa Ramanujan, establecido por la SASTRA, ha sido declarado centro fuera del campus, en el ámbito de la Universidad SASTRA. La Casa de las Matemáticas de Ramanujan, un museo de la vida y la obra de Ramanujan, también se encuentra en este campus. La SASTRA compró y renovó la casa donde Ramanujan vivió en Kumabakonam. [136]
En 2011, en el 125 aniversario de su nacimiento, el gobierno indio declaró que el 22 de diciembre se celebraría cada año como el Día Nacional de las Matemáticas . [137] Luego, el primer ministro indio Manmohan Singh también declaró que 2012 se celebraría como el Año Nacional de las Matemáticas y el 22 de diciembre como el Día Nacional de las Matemáticas de la India. [138]
Ramanujan IT City es una zona económica especial (ZEE) de tecnología de la información (TI) en Chennai que se construyó en 2011. Situada junto al Parque Tidel , incluye 25 acres (10 ha) con dos zonas, con un área total de 5,7 millones de pies cuadrados (530.000 m 2 ), incluidos 4,5 millones de pies cuadrados (420.000 m 2 ) de espacio de oficina. [139]
Sellos conmemorativos emitidos por India Post (por año):
Nevasa 1913
ideas que fueron fundamentales para la prueba del último teorema de Fermat
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![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}}{\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3affe3db147ab2c00c8ea31e9620380c20c7aafb)
