Función de partición (teoría de números)

El número de particiones de un número entero.

Los valores de la función de partición (1, 2, 3, 5, 7, 11, 15 y 22) se pueden determinar contando los diagramas de Young para las particiones de los números del 1 al 8. ${\displaystyle p(1),\dots ,p(8)}$

En teoría de números , la función de partición p ( n ) representa el número de particiones posibles de un entero no negativo n . Por ejemplo, p (4) = 5 porque el número entero 4 tiene las cinco particiones 1 + 1 + 1 + 1 , 1 + 1 + 2 , 1 + 3 , 2 + 2 y 4 .

No se conoce ninguna expresión de forma cerrada para la función de partición, pero tiene expansiones asintóticas que la aproximan con precisión y relaciones de recurrencia mediante las cuales se puede calcular exactamente. Crece como función exponencial de la raíz cuadrada de su argumento. La inversa multiplicativa de su función generadora es la función de Euler ; Según el teorema de los números pentagonales de Euler , esta función es una suma alterna de potencias de números pentagonales de su argumento.

Srinivasa Ramanujan descubrió por primera vez que la función de partición tiene patrones no triviales en la aritmética modular , ahora conocidos como congruencias de Ramanujan . Por ejemplo, siempre que la representación decimal de n termine en el dígito 4 o 9, el número de particiones de n será divisible por 5.

Definición y ejemplos

Para un número entero positivo n , p ( n ) es el número de formas distintas de representar n como una suma de números enteros positivos. A los efectos de esta definición, el orden de los términos en la suma es irrelevante: dos sumas con los mismos términos en diferente orden no se consideran distintas.

Por convención p (0) = 1 , ya que hay una forma (la suma vacía ) de representar el cero como suma de números enteros positivos. Además p ( n ) = 0 cuando n es negativo.

Los primeros valores de la función de partición, comenzando con p (0) = 1 , son:

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604,... (secuencia A000041 en la OEIS ).

Algunos valores exactos de p ( n ) para valores más grandes de n incluyen: ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(100)&=190,\!569,\!292\\p(1000)&=24,\!061,\!467,\!864,\!032,\!622,\!473,\!692,\!149,\!727,\!991\approx 2.40615\times 10^{31}\\p(10000)&=36,\!167,\!251,\!325,\!\dots ,\!906,\!916,\!435,\!144\approx 3.61673\times 10^{106}\end{aligned}}}$$

En junio de 2022 ^[actualizar], el número primo más grande conocido entre los valores de p ( n ) es p (1289844341) , con 40.000 dígitos decimales. ^{[2] [3]} Hasta marzo de 2022, este también era el primo más grande que se había demostrado mediante la demostración de primalidad de curva elíptica . ^[4]

función generadora

Usando el método de Euler para encontrar p (40) : se desliza hacia abajo una regla con signos más y menos (cuadro gris), y se suman o restan los términos relevantes. Las posiciones de los signos vienen dadas por las diferencias de alternancia de números naturales (azul) e impares (naranja). En el archivo SVG, coloque el cursor sobre la imagen para mover la regla.

La función generadora de p ( n ) viene dada por ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)\\&=\left(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \right)\left(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\cdots \right)\left(1+x^{3}+x^{6}+x^{9}+\cdots \right)\cdots \\&={\frac {1}{1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots }}\\&=1{\Big /}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{k(3k-1)/2}.\end{aligned}}}$$

serie geométrica.ley distributivamonomios ${\displaystyle 1/(1-x^{k})}$ ${\displaystyle (1+x^{k}+x^{2k}+x^{3k}+\cdots ).}$ ${\displaystyle x^{a_{1}}x^{2a_{2}}x^{3a_{3}}\cdots }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\textstyle n=\sum ia_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle x^{n}}$

La función que aparece en el denominador en la tercera y cuarta línea de la fórmula es la función de Euler . La igualdad entre el producto de la primera línea y las fórmulas de la tercera y cuarta línea es el teorema del número pentagonal de Euler . Los exponentes de en estas líneas son los números pentagonales de (un tanto generalizados a partir de los números pentagonales habituales, que provienen de la misma fórmula para los valores positivos de ). El patrón de signos positivos y negativos en la tercera línea proviene del término en la cuarta línea: las elecciones pares producen términos positivos y las elecciones impares producen términos negativos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{k}=k(3k-1)/2}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,-1,2,-2,\dots \}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$ ${\displaystyle k}$

De manera más general, la función generadora para las particiones de en números seleccionados de un conjunto de enteros positivos se puede encontrar tomando solo aquellos términos del primer producto para los cuales . Este resultado se debe a Leonhard Euler . ^[6] La formulación de la función generadora de Euler es un caso especial de un símbolo -Pochhammer y es similar a la formulación del producto de muchas formas modulares , y específicamente la función eta de Dedekind . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k\in A}$ ${\displaystyle q}$

Relaciones de recurrencia

La misma secuencia de números pentagonales aparece en una relación de recurrencia para la función de partición: ^[7]

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(n)&=\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}(-1)^{k+1}p(n-k(3k-1)/2)\\&=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-p(n-22)-\cdots \end{aligned}}}$$

${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle -{\frac {{\sqrt {24n+1}}-1}{6}}\leq k\leq {\frac {{\sqrt {24n+1}}+1}{6}}.}$$

Otra relación de recurrencia para se puede dar en términos de la función de suma de divisores σ : ^[8] ${\displaystyle p(n)}$

$${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sigma (n-k)p(k).}$$

^[9] ${\displaystyle q(n)}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle p(n)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }q(n-2k)p(k).}$$

Congruencias

A Srinivasa Ramanujan se le atribuye el descubrimiento de que la función de partición tiene patrones no triviales en la aritmética modular . Por ejemplo el número de particiones es divisible por cinco siempre que la representación decimal de termine en el dígito 4 o 9, como lo expresa la congruencia ^[10] ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle p(5k+4)\equiv 0{\pmod {5}}}$$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)x^{k}=5~{\frac {(x^{5})_{\infty }^{5}}{(x)_{\infty }^{6}}},}$$

^{[11] [12]} ${\displaystyle (x)_{\infty }}$

$${\displaystyle (x)_{\infty }=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{m}).}$$

una breve prueba de este resultado a partir de la función generadora de la función de partición.

Ramanujan también descubrió congruencias módulos 7 y 11: ^[10]

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}}$$

^[12]

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)x^{k}=7~{\frac {(x^{7})_{\infty }^{3}}{(x)_{\infty }^{4}}}+49x~{\frac {(x^{7})_{\infty }^{7}}{(x)_{\infty }^{8}}}.}$$

Dado que 5, 7 y 11 son primos consecutivos , se podría pensar que habría una congruencia análoga para el siguiente primo 13, para algunos a . Sin embargo, no hay congruencia de la forma para ningún primo b que no sea 5, 7 u 11. ^[13] En cambio, para obtener una congruencia, el argumento de debe tomar la forma para some . En la década de 1960, AOL Atkin de la Universidad de Illinois en Chicago descubrió congruencias adicionales de esta forma para módulos primos pequeños. Por ejemplo: ${\displaystyle p(13k+a)\equiv 0{\pmod {13}}}$ ${\displaystyle p(bk+a)\equiv 0{\pmod {b}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle cbk+a}$ ${\displaystyle c>1}$

$${\displaystyle p(11^{3}\cdot 13\cdot k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}$$

Ken Ono  (2000) demostró que existen tales congruencias para cada módulo primo mayor que 3. Posteriormente, Ahlgren y Ono (2001) demostraron que existen congruencias de partición módulo para cada número entero coprimo hasta 6. ^{[14] [15]}

Fórmulas de aproximación

Existen fórmulas de aproximación que son más rápidas de calcular que la fórmula exacta proporcionada anteriormente.

Una expresión asintótica para p ( n ) viene dada por

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right)}$como . ${\displaystyle n\to \infty }$

Esta fórmula asintótica fue obtenida por primera vez por GH Hardy y Ramanujan en 1918 e independientemente por JV Uspensky en 1920. Considerando , la fórmula asintótica da aproximadamente , razonablemente cerca de la respuesta exacta dada anteriormente (1,415% mayor que el valor real). ${\displaystyle p(1000)}$ ${\displaystyle 2.4402\times 10^{31}}$

Hardy y Ramanujan obtuvieron una expansión asintótica con esta aproximación como primer término: ^[16]

$${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{v}A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\exp \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right),}$$

$${\displaystyle A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k,\;(m,k)=1}e^{\pi i\left(s(m,k)-2nm/k\right)}.}$$

primos relativossuma de Dedekind ${\displaystyle (m,k)=1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s(m,k)}$

El error después de los términos es del orden del siguiente término y puede considerarse del orden de . Como ejemplo, Hardy y Ramanujan demostraron que es el número entero más cercano a la suma de los primeros términos de la serie. ^[dieciséis] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle p(200)}$ ${\displaystyle v=5}$

En 1937, Hans Rademacher pudo mejorar los resultados de Hardy y Ramanujan proporcionando una expresión en serie convergente para . Es ^{[17] [18]} ${\displaystyle p(n)}$

$${\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right).}$$

La prueba de la fórmula de Rademacher involucra círculos de Ford , secuencias de Farey , simetría modular y la función eta de Dedekind .

Se puede demostrar que el décimo término de la serie de Rademacher es del orden ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \exp \left({\frac {\pi }{k}}{\sqrt {\frac {2n}{3}}}\right),}$$

Paul Erdős^{[19] [20]} ${\displaystyle p(n)}$

Johansson (2012) analiza las técnicas para implementar la fórmula de Hardy-Ramanujan-Rademacher de manera eficiente en una computadora, y muestra que se puede calcular en el tiempo para cualquier . Esto es casi óptimo porque coincide con el número de dígitos del resultado. ^[21] El valor más grande de la función de partición calculado exactamente es , que tiene poco más de 11 mil millones de dígitos. ^[22] ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle O(n^{1/2+\varepsilon })}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle p(10^{20})}$

Función de partición estricta

Definición y propiedades

Una partición en la que ninguna parte ocurre más de una vez se llama estricta , o se dice que es una partición en partes distintas . La función q ( n ) da el número de estas particiones estrictas de la suma n dada . Por ejemplo, q (3) = 2 porque las particiones 3 y 1+2 son estrictas, mientras que la tercera partición 1+1+1 de 3 tiene partes repetidas. El número q ( n ) también es igual al número de particiones de n en las que sólo se permiten sumandos impares. ^[23]

función generadora

La función generadora de los números q ( n ) viene dada por un producto infinito simple: ^[24]

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1+x^{k})=(x;x^{2})_{\infty }^{-1},}$$

símbolo de Pochhammer.A000009OEIS ${\displaystyle (a;b)_{\infty }}$ ${\displaystyle (a;b)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-ab^{k}).}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=1+1x+1x^{2}+2x^{3}+2x^{4}+3x^{5}+4x^{6}+5x^{7}+6x^{8}+8x^{9}+10x^{10}+\ldots .}$$

funciones theta

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/24},}$$

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}}$$

$${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}.}$$

pn

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=(x;x)_{\infty }^{-1}=\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1/24}.}$$

Identidades sobre números de partición estrictos

La siguiente identidad es válida para los productos Pochhammer:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=(x^{2};x^{2})_{\infty }^{-1}(x;x^{2})_{\infty }^{-1}}$

De esta identidad se desprende esa fórmula:

${\displaystyle {\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}{\biggr ]}={\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{2n}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}{\biggr ]}}$

Por tanto esas dos fórmulas son válidas para la síntesis de la secuencia numérica p(n):

${\displaystyle p(2n)=\sum _{k=0}^{n}p(n-k)q(2k)}$

${\displaystyle p(2n+1)=\sum _{k=0}^{n}p(n-k)q(2k+1)}$

A continuación, se ejecutan dos ejemplos con precisión:

${\displaystyle p(8)=\sum _{k=0}^{4}p(4-k)q(2k)=}$

${\displaystyle =p(4)q(0)+p(3)q(2)+p(2)q(4)+p(1)q(6)+p(0)q(8)=}$

${\displaystyle =5\times 1+3\times 1+2\times 2+1\times 4+1\times 6=22}$

${\displaystyle p(9)=\sum _{k=0}^{4}p(4-k)q(2k+1)=}$

${\displaystyle =p(4)q(1)+p(3)q(3)+p(2)q(5)+p(1)q(7)+p(0)q(9)=}$

${\displaystyle =5\times 1+3\times 2+2\times 3+1\times 5+1\times 8=30}$

Función de partición restringida

De manera más general, es posible considerar particiones restringidas únicamente a elementos de un subconjunto A de los números naturales (por ejemplo, una restricción en el valor máximo de las partes), o con una restricción en el número de partes o en la diferencia máxima entre partes. . Cada restricción particular da lugar a una función de partición asociada con propiedades específicas. A continuación se dan algunos ejemplos comunes.

Teorema de Euler y Glaisher

Dos ejemplos importantes son las particiones restringidas solo a partes enteras impares o solo a partes enteras pares, con las funciones de partición correspondientes a menudo denotadas y . ${\displaystyle p_{o}(n)}$ ${\displaystyle p_{e}(n)}$

Un teorema de Euler muestra que el número de particiones estrictas es igual al número de particiones con sólo partes impares: para todo n ,. Esto se generaliza como teorema de Glaisher , que establece que el número de particiones con no más de d-1 repeticiones de cualquier parte es igual al número de particiones sin ninguna parte divisible por d . ${\displaystyle q(n)=p_{o}(n)}$

Coeficiente binomial gaussiano

Si denotamos el número de particiones de n en como máximo M partes, con cada parte menor o igual a N , entonces la función generadora de es el siguiente coeficiente binomial gaussiano : ${\displaystyle p(N,M,n)}$ ${\displaystyle p(N,M,n)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(N,M,n)q^{n}={N+M \choose M}_{q}={\frac {(1-q^{N+M})(1-q^{N+M-1})\cdots (1-q^{N+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{M})}}}$

Asintóticas

Se conocen algunos resultados generales sobre las propiedades asintóticas de funciones de partición restringidas. Si p _A ( n ) es la función de partición de particiones restringida únicamente a elementos de un subconjunto A de los números naturales, entonces:

Si A posee densidad natural positiva α entonces , con ${\displaystyle \log p_{A}(n)\sim C{\sqrt {\alpha n}}}$ ${\displaystyle C=\pi {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$

y a la inversa, si esta propiedad asintótica se cumple para p _A ( n ), entonces A tiene densidad natural α. ^[25] Este resultado fue declarado, con un esbozo de prueba, por Erdős en 1942. ^{[19] [26]}

Si A es un conjunto finito, este análisis no se aplica (la densidad de un conjunto finito es cero). Si A tiene k elementos cuyo máximo común divisor es 1, entonces ^[27]

${\displaystyle p_{A}(n)=\left(\prod _{a\in A}a^{-1}\right)\cdot {\frac {n^{k-1}}{(k-1)!}}+O(n^{k-2}).}$

Referencias

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enlaces externos

• Primeros 4096 valores de la función de partición.