Análisis asintótico

Descripción del comportamiento limitante de una función.

En el análisis matemático , el análisis asintótico , también conocido como asintótico , es un método para describir el comportamiento limitante .

A modo de ilustración, supongamos que estamos interesados ​​en las propiedades de una función f  ( n ) cuando n se vuelve muy grande. Si f ( n ) = n ² + 3 n , entonces a medida que n se vuelve muy grande, el término 3 n se vuelve insignificante en comparación con n ² . Se dice que la función f ( n ) es " asintóticamente equivalente a n ² , ya que n → ∞ ". Esto a menudo se escribe simbólicamente como f  ( n ) ~ n ² , que se lee como " f ( n ) es asintótica con n ² ".

Un ejemplo de resultado asintótico importante es el teorema de los números primos . Sea π( x ) la función de conteo de primos (que no está directamente relacionada con la constante pi ), es decir, π( x ) es el número de números primos que son menores o iguales que x . Entonces el teorema establece que

$${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.}$$

El análisis asintótico se utiliza comúnmente en informática como parte del análisis de algoritmos y a menudo se expresa allí en términos de notación O grande .

Definición

Formalmente, dadas las funciones f  ( x ) y g ( x ) , definimos una relación binaria

$${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{as }}x\to \infty )}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$$

El símbolo ~ es la tilde . La relación es una relación de equivalencia sobre el conjunto de funciones de x ; Se dice que las funciones f y g son asintóticamente equivalentes . El dominio de f y g puede ser cualquier conjunto para el cual esté definido el límite: por ejemplo, números reales, números complejos, enteros positivos.

La misma notación también se utiliza para otras formas de pasar a un límite: por ejemplo, x → 0 , x ↓ 0 , | x | → 0 . La forma de pasar al límite a menudo no se indica explícitamente, si se desprende del contexto.

Aunque la definición anterior es común en la literatura, es problemática si g ( x ) es cero infinitamente cuando x llega al valor límite. Por esa razón, algunos autores utilizan una definición alternativa. La definición alternativa, en notación de o pequeña , es que f ~ g si y sólo si

$${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$$

Esta definición es equivalente a la definición anterior si g ( x ) no es cero en alguna vecindad del valor límite. ^{[1] [2]}

Propiedades

Si y , entonces, bajo algunas condiciones leves, ^{[ se necesita más explicación ]} se cumple lo siguiente: ${\displaystyle f\sim g}$ ${\displaystyle a\sim b}$

• ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$, por cada r real
• ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$si ${\displaystyle \lim g\neq 1}$
• ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

Estas propiedades permiten que funciones asintóticamente equivalentes se intercambien libremente en muchas expresiones algebraicas.

Ejemplos de fórmulas asintóticas

• Factorial
  $${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$
  —esta es la aproximación de Stirling
• Función de partición
  Para un entero positivo n , la función de partición, p ( n ), proporciona el número de formas de escribir el entero n como una suma de enteros positivos, donde no se considera el orden de los sumandos.
  $${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$$
• Función aireada
  La función de Airy, Ai( x ), es una solución de la ecuación diferencial y″ − xy = 0 ; Tiene muchas aplicaciones en física.
  $${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$$
• Funciones de Hankel
  $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$$

Expansión asintótica

Una expansión asintótica de una función f ( x ) es en la práctica una expresión de esa función en términos de una serie , cuyas sumas parciales no necesariamente convergen, pero de manera que tomar cualquier suma parcial inicial proporciona una fórmula asintótica para f . La idea es que los términos sucesivos proporcionen una descripción cada vez más precisa del orden de crecimiento de f .

En símbolos, significa que tenemos pero también y para cada k fijo . En vista de la definición del símbolo, la última ecuación significa en la pequeña notación o , es decir, es mucho más pequeña que ${\displaystyle f\sim g_{1},}$ ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$ ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$ ${\displaystyle g_{k}.}$

La relación toma su significado completo si para todo k , lo que significa que forma una escala asintótica . En ese caso, algunos autores pueden escribir abusivamente para denotar la declaración. Sin embargo, se debe tener cuidado de que este no sea un uso estándar del símbolo y que no corresponda a la definición dada en § Definición. ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ ${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$ ${\displaystyle g_{k}}$ ${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$ ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$ ${\displaystyle \sim }$

En la situación actual, esta relación en realidad se deriva de combinar los pasos k y k −1; restando de uno se obtiene , es decir ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$ ${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$ ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

En caso de que la expansión asintótica no converja, para cualquier valor particular del argumento habrá una suma parcial particular que proporcione la mejor aproximación y agregar términos adicionales disminuirá la precisión. Esta suma parcial óptima normalmente tendrá más términos a medida que el argumento se acerque al valor límite.

Ejemplos de expansiones asintóticas

• función gamma
  $${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$$
• Integral exponencial
  $${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
• función de error
  $${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
  donde m !! es el doble factorial .

Ejemplo resuelto

Las expansiones asintóticas ocurren a menudo cuando se usa una serie ordinaria en una expresión formal que obliga a tomar valores fuera de su dominio de convergencia. Por ejemplo, podríamos comenzar con la serie ordinaria

$${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}}$$

La expresión de la izquierda es válida en todo el plano complejo , mientras que la de la derecha converge sólo para . Multiplicar e integrar ambos lados produce ${\displaystyle w\neq 1}$ ${\displaystyle |w|<1}$ ${\displaystyle e^{-w/t}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du}$$

La integral del lado izquierdo se puede expresar en términos de la integral exponencial . La integral del lado derecho, después de la sustitución , puede reconocerse como la función gamma . Evaluando ambos, se obtiene la expansión asintótica ${\displaystyle u=w/t}$

$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}}$$

Aquí, el lado derecho claramente no es convergente para ningún valor distinto de cero de t . Sin embargo, manteniendo t pequeño y truncando la serie de la derecha a un número finito de términos, se puede obtener una aproximación bastante buena al valor de . Sustituir y observar eso da como resultado la expansión asintótica dada anteriormente en este artículo. ${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/t)}$ ${\displaystyle x=-1/t}$ ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

Distribución asintótica

En estadística matemática , una distribución asintótica es una distribución hipotética que es en cierto sentido la distribución "limitante" de una secuencia de distribuciones. Una distribución es un conjunto ordenado de variables aleatorias Z _i para i = 1,…, n , para algún entero positivo n . Una distribución asintótica permite que i tenga un rango ilimitado, es decir, n es infinito.

Un caso especial de distribución asintótica es cuando las entradas tardías van a cero, es decir, Z i _va a 0 cuando i va al infinito. Algunos casos de "distribución asintótica" se refieren únicamente a este caso especial.

Esto se basa en la noción de una función asintótica que se aproxima limpiamente a un valor constante (la asíntota ) cuando la variable independiente llega al infinito; "limpio" en este sentido significa que para cualquier cercanía épsilon deseada hay algún valor de la variable independiente después del cual la función nunca difiere de la constante en más de épsilon.

Una asíntota es una línea recta a la que se acerca una curva pero que nunca se encuentra ni se cruza. Informalmente, se puede hablar de que la curva encuentra la asíntota "en el infinito", aunque ésta no es una definición precisa. En la ecuación, y se vuelve arbitrariamente pequeña en magnitud a medida que x aumenta. ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$

Aplicaciones

El análisis asintótico se utiliza en varias ciencias matemáticas . En estadística , la teoría asintótica proporciona aproximaciones limitantes de la distribución de probabilidad de estadísticas muestrales , como la estadística de razón de verosimilitud y el valor esperado de la desviación . Sin embargo, la teoría asintótica no proporciona un método para evaluar las distribuciones de muestras finitas de las estadísticas muestrales. Los límites no asintóticos se proporcionan mediante métodos de teoría de aproximación .

Ejemplos de aplicaciones son los siguientes.

• En matemáticas aplicadas , el análisis asintótico se utiliza para construir métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones .
• En estadística matemática y teoría de la probabilidad , las asintóticas se utilizan en el análisis del comportamiento a largo plazo o de muestras grandes de variables aleatorias y estimadores.
• En informática en el análisis de algoritmos , considerando el desempeño de los algoritmos.
• El comportamiento de los sistemas físicos , siendo un ejemplo la mecánica estadística .
• En el análisis de accidentes, al identificar la causa del accidente mediante modelos de recuento con una gran cantidad de recuentos de accidentes en un tiempo y espacio determinado.

El análisis asintótico es una herramienta clave para explorar las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales que surgen en el modelado matemático de fenómenos del mundo real. ^[3] Un ejemplo ilustrativo es la derivación de las ecuaciones de la capa límite a partir de las ecuaciones completas de Navier-Stokes que rigen el flujo de fluidos. En muchos casos, la expansión asintótica está en potencia de un pequeño parámetro, ε : en el caso de la capa límite, esta es la relación adimensional del espesor de la capa límite con respecto a una escala de longitud típica del problema. De hecho, las aplicaciones del análisis asintótico en el modelado matemático a menudo ^[3] se centran en un parámetro adimensional que se ha demostrado, o se ha asumido, que es pequeño al considerar las escalas del problema en cuestión.

Las expansiones asintóticas suelen surgir en la aproximación de determinadas integrales ( método de Laplace , método del punto de silla , método del descenso más pronunciado ) o en la aproximación de distribuciones de probabilidad ( serie de Edgeworth ). Los gráficos de Feynman en la teoría cuántica de campos son otro ejemplo de expansiones asintóticas que a menudo no convergen.

Análisis asintótico versus numérico

Debruijn ilustra el uso de asintóticos en el siguiente diálogo entre la señorita NA, una analista numérica, y el Dr. AA, un analista asintótico:

NA: Quiero evaluar mi función para valores grandes de , con un error relativo de como máximo el 1%. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

AA: . ${\displaystyle f(x)=x^{-1}+\mathrm {O} (x^{-2})\qquad (x\to \infty )}$

NA: Lo siento, no entiendo.

AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO: ${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<8x^{-2}\qquad (x>10^{4}).}$

NA: Pero mi valor de es sólo 100. ${\displaystyle x}$

AA: ¿Por qué no lo dijiste? Mis evaluaciones dan

${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<57000x^{-2}\qquad (x>100).}$

NA: Esto no es ninguna novedad para mí. Eso ya lo sé . ${\displaystyle 0<f(100)<1}$

AA: Puedo ganar un poco con algunas de mis estimaciones. Ahora encuentro que

${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<20x^{-2}\qquad (x>100).}$

NA: Pedí el 1%, no el 20%.

AA: Es casi lo mejor que puedo conseguir. ¿Por qué no tomas valores mayores de ? ${\displaystyle x}$

N / A: !!! Creo que es mejor preguntarle a mi computadora electrónica.

Máquina: f(100) = 0,01137 42259 34008 67153

AA: ¿No te lo he dicho? Mi estimación del 20% no estaba muy lejos del 14% del error real.

N / A: !!! . . . !

Unos días después, la señorita NA quiere saber el valor de f(1000), pero su máquina tardaría un mes de cálculos en dar la respuesta. Regresa con su colega asintótico y obtiene una respuesta totalmente satisfactoria. ^[4]

Ver también

• Asíntota  : Límite de la recta tangente en un punto que tiende al infinito.
• Complejidad computacional asintótica  - en teoría de la computaciónPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Densidad asintótica  – Concepto en teoría de númerosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teoría asintótica (estadística)  – Estudio de las propiedades de convergencia de estimadores estadísticos
• Asintotología  : tratamiento de sistemas matemáticos aplicados en casos límite.
• Notación Big O  : describe el comportamiento limitante de una función.
• Término de orden principal  : términos en una expresión matemática con el mayor orden de magnitud
• Método de equilibrio dominante  : método para determinar el comportamiento asintótico de soluciones a EDO sin resolver completamente la ecuación
• Método de expansiones asintóticas emparejadas.
• Lema de Watson  - lema sobre el comportamiento asintótico de integralesPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. "Igualdad asintótica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
2. Estrada y Kanwal (2002, §1.2)
3. Howison, S. (2005), Matemáticas prácticas aplicadas , Cambridge University Press
4. Bruijn, Nicolaas Govert de (1981). Métodos asintóticos en análisis . Libros de Dover sobre matemáticas avanzadas. Nueva York: Dover publ. pag. 19.ISBN​ 978-0-486-64221-5.

Referencias

• Balser, W. (1994), De series de potencias divergentes a funciones analíticas, Springer-Verlag , ISBN 9783540485940
• de Bruijn, NG (1981), Métodos asintóticos en análisis, Publicaciones de Dover , ISBN 9780486642215
• Estrada, R.; Kanwal, RP (2002), Un enfoque distributivo de las asintóticas, Birkhäuser , ISBN 9780817681302
• Miller, PD (2006), Análisis asintótico aplicado, Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 9780821840788
• Murray, JD (1984), Análisis asintótico, Springer, ISBN 9781461211228
• París, RB; Kaminsky, D. (2001), Asintóticas e integrales de Mellin-Barnes, Cambridge University Press

enlaces externos

• Análisis asintótico: página de inicio de la revista, publicada por IOS Press
• Un artículo sobre análisis de series de tiempo utilizando distribución asintótica.