La asintotología ha sido definida como “el arte de tratar con sistemas matemáticos aplicados en casos límite ” [1] así como “la ciencia sobre la síntesis de simplicidad y exactitud mediante la localización”. [2]
El campo de la asintótica normalmente se encuentra por primera vez en la geometría escolar con la introducción de la asíntota , una línea a la que una curva tiende al infinito. La palabra Ασύμπτωτος (asymptotos) en griego significa no coincidente y pone fuerte énfasis en el hecho de que la aproximación no se convierte en coincidencia. Es una característica destacada de los asintóticos, pero esta propiedad por sí sola no cubre completamente la idea de asintóticos y, etimológicamente, el término parece bastante insuficiente.
En la física y otros campos de la ciencia , a menudo nos topamos con problemas de naturaleza asintótica, como la amortiguación, la órbita, la estabilización de un movimiento perturbado, etc. Sus soluciones se prestan al análisis asintótico ( teoría de la perturbación ), que se utiliza ampliamente en la ciencia moderna. matemáticas aplicadas , mecánica y física . Pero los métodos asintóticos pretenden ser más que una parte de las matemáticas clásicas. K. Friedrichs dijo: "La descripción asintótica no es sólo una herramienta conveniente en el análisis matemático de la naturaleza, sino que tiene un significado más fundamental". M. Kruskal introdujo el término especial asintotología, definido anteriormente, y pidió una formalización de la experiencia acumulada para convertir el arte de la asintotología en una ciencia. Un término general es capaz de poseer un valor heurístico significativo. En su ensayo "El futuro de las matemáticas", [3] H. Poincaré escribió lo siguiente.
La invención de una nueva palabra será a menudo suficiente para poner de manifiesto la relación, y la palabra será creativa... Es difícil creer qué economía de pensamiento, como solía decir Mach, puede lograrse mediante una buena palabra. término elegido... Las matemáticas son el arte de dar el mismo nombre a cosas diferentes... Cuando se ha elegido bien el lenguaje, uno se sorprende al descubrir que todas las demostraciones hechas para un objeto conocido se aplican inmediatamente a muchos objetos nuevos: nada requiere ser cambiado, ni siquiera los términos, ya que los nombres se han vuelto los mismos... El simple hecho, entonces, a veces no tiene gran interés... sólo adquiere valor cuando algún pensador más cuidadoso percibe la conexión que trae consigo. y lo simboliza mediante un término.
Además, “el éxito de la ' cibernética ', los ' atractores ' y la ' teoría de la catástrofe ' ilustra la fecundidad de la creación de palabras como investigación científica”. [4]
Casi todas las teorías físicas, formuladas de la manera más general, son bastante difíciles desde un punto de vista matemático. Por lo tanto, tanto en la génesis de la teoría como en su desarrollo posterior, los casos límite más simples, que permiten soluciones analíticas, son de particular importancia. En esos límites, el número de ecuaciones suele disminuir, su orden se reduce, las ecuaciones no lineales pueden ser reemplazadas por otras lineales, el sistema inicial se promedia en cierto sentido, y así sucesivamente.
Todas estas idealizaciones, por diferentes que parezcan, aumentan el grado de simetría del modelo matemático del fenómeno considerado.
En esencia, el enfoque asintótico de un problema complejo consiste en tratar el sistema de gobierno insuficientemente simétrico lo más cerca posible de uno cierto y simétrico.
Al intentar obtener una mejor aproximación de la solución exacta al problema dado, es crucial que la determinación de soluciones correctivas, que se aparten del caso límite, sea mucho más simple que investigar directamente el sistema gobernante. A primera vista, las posibilidades de tal enfoque parecen restringidas a variar los parámetros que determinan el sistema sólo dentro de un rango estrecho. Sin embargo, la experiencia en la investigación de diferentes problemas físicos muestra que si los parámetros del sistema han cambiado lo suficiente y el sistema se ha desviado mucho del caso límite simétrico, se puede encontrar otro sistema límite, a menudo con simetrías menos obvias, para el cual se puede realizar un análisis asintótico. también aplicable. Esto permite describir el comportamiento del sistema basándose en un pequeño número de casos límite en todo el rango de variaciones de parámetros. Este enfoque corresponde al nivel máximo de intuición, promueve conocimientos adicionales y, finalmente, conduce a la formulación de nuevos conceptos físicos.
También es importante que el análisis asintótico ayude a establecer la conexión entre diferentes teorías físicas. El objetivo del enfoque asintótico es simplificar el objeto. Esta simplificación se logra disminuyendo la vecindad de la singularidad considerada. Es típico que la precisión de las expansiones asintóticas crezca con la localización. La exactitud y la simplicidad se consideran comúnmente nociones mutuamente excluyentes. Cuando tendemos a la simplicidad, sacrificamos la exactitud y, al tratar de lograr la exactitud, no esperamos simplicidad. Sin embargo, bajo la localización convergen las antípodas; la contradicción se resuelve en una síntesis llamada asintótica . En otras palabras, la simplicidad y la exactitud están unidas por una relación de “principio de incertidumbre”, mientras que el tamaño del dominio sirve como un pequeño parámetro: una medida de incertidumbre.
Ilustremos el “principio de incertidumbre asintótica”. Tome la expansión de la función en una secuencia asintótica : , → .
Una suma parcial de la serie se designa con , y la exactitud de la aproximación en un punto dado se estima con . La simplicidad se caracteriza aquí por el número y la localidad por la longitud del intervalo .
Con base en las propiedades conocidas de la expansión asintótica , consideramos la interrelación por pares de valores , y . En un valor fijo la expansión inicialmente converge, es decir, la exactitud aumenta a costa de la simplicidad. Si fijamos , la exactitud y el tamaño del intervalo empiezan a competir. Cuanto más pequeño es el intervalo, más fácilmente se alcanza el valor dado de.
Ilustramos estas regularidades usando un ejemplo simple. Considere la función integral exponencial: .
Integrando por partes obtenemos la siguiente expansión asintótica → .
Poner , . Calculando las sumas parciales de esta serie y los valores y para diferentes rendimientos:
1/3 0,262 0,071 0,040 0,034 0,040 0,060 0,106 0,223 1/5 0,171 0,029 0,011 0,006 0,004 0,0035 0,0040 0,0043 1/7 0,127 0,016 0,005 0,002 0,001 0,0006 0,0005 0,0004
Por lo tanto, en un dado , la exactitud primero aumenta con el crecimiento de y luego disminuye (por lo que se tiene una expansión asintótica). Para un dado , se puede observar una mejora en la exactitud al disminuir .
Finalmente, ¿merece la pena utilizar el análisis asintótico si las computadoras y los métodos numéricos han alcanzado un estado tan avanzado? Como ha mencionado el Director General Crighton , [5]
El diseño de esquemas computacionales o experimentales sin la guía de información asintótica es, en el mejor de los casos, un desperdicio y, en el peor, peligroso, debido a la posible falla en identificar características cruciales (rígidas) del proceso y su localización en el espacio de coordenadas y parámetros. Además, toda la experiencia sugiere que las soluciones asintóticas son útiles numéricamente mucho más allá de su rango nominal de validez y, a menudo, pueden usarse directamente, al menos en una etapa preliminar de diseño del producto, por ejemplo, ahorrando la necesidad de un cálculo preciso hasta la etapa de diseño final donde muchas variables se han restringido a rangos estrechos.
