Martin David Kruskal ( / ˈkrʌskəl / ; 28 de septiembre de 1925 – 26 de diciembre de 2006) [ 1 ] fue un matemático y físico estadounidense . Hizo contribuciones fundamentales en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia, que abarcan desde la física del plasma hasta la relatividad general y desde el análisis no lineal hasta el análisis asintótico . Su contribución más celebrada fue en la teoría de los solitones . [4]
Fue estudiante en la Universidad de Chicago y en la Universidad de Nueva York , donde completó su doctorado con Richard Courant en 1952. Pasó gran parte de su carrera en la Universidad de Princeton , como científico investigador en el Laboratorio de Física del Plasma a partir de 1951, y luego como profesor de astronomía (1961), fundador y presidente del Programa de Matemáticas Aplicadas y Computacionales (1968), y profesor de matemáticas (1979). Se retiró de la Universidad de Princeton en 1989 y se unió al departamento de matemáticas de la Universidad de Rutgers , ocupando la Cátedra David Hilbert de Matemáticas.
Además de su trabajo matemático serio, Kruskal era conocido por sus diversiones matemáticas. Por ejemplo, inventó el conteo de Kruskal , un efecto mágico que desconcertó a los magos profesionales porque no se basaba en juegos de manos sino en un fenómeno matemático.
Martin David Kruskal nació en una familia judía [5] en la ciudad de Nueva York y creció en New Rochelle . Era conocido generalmente como Martin en el mundo y David en su familia. Su padre, Joseph B. Kruskal Sr., era un exitoso mayorista de pieles. Su madre, Lillian Rose Vorhaus Kruskal Oppenheimer , se convirtió en una destacada promotora del arte del origami durante la era temprana de la televisión y fundó el Origami Center of America en la ciudad de Nueva York, que más tarde se convirtió en OrigamiUSA. [6] Fue uno de cinco hijos. Sus dos hermanos, ambos matemáticos eminentes, fueron Joseph Kruskal (1928-2010; descubridor del escalamiento multidimensional , el teorema del árbol de Kruskal y el algoritmo de Kruskal ) y William Kruskal (1919-2005; descubridor de la prueba de Kruskal-Wallis ).
La esposa de Martin Kruskal, Laura Kruskal, fue conferenciante y escritora sobre origami y creadora de muchos modelos nuevos. [7] Estuvieron casados durante 56 años. Martin Kruskal también inventó varios modelos de origami, incluido un sobre para enviar mensajes secretos. El sobre se podía desplegar fácilmente, pero no se podía volver a doblar fácilmente para ocultar la escritura. [8] [ verificación fallida ] Sus tres hijos son Karen (abogada [9] ), Kerry (autora de libros infantiles [10] ) y Clyde , un científico informático.
Los intereses científicos de Martin Kruskal abarcaron una amplia gama de temas de matemáticas puras y aplicaciones de las matemáticas a las ciencias. Durante toda su vida se interesó por muchos temas relacionados con las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis no lineal , y desarrolló ideas fundamentales sobre expansiones asintóticas , invariantes adiabáticos y numerosos temas relacionados.
Su tesis doctoral, escrita bajo la dirección de Richard Courant y Bernard Friedman en la Universidad de Nueva York , versó sobre el tema "El teorema del puente para superficies mínimas ". Recibió su doctorado en 1952.
En la década de 1950 y principios de la de 1960, trabajó principalmente en física del plasma, desarrollando muchas ideas que ahora son fundamentales en el campo. Su teoría de invariantes adiabáticos fue importante en la investigación de la fusión. Los conceptos importantes de la física del plasma que llevan su nombre incluyen la inestabilidad de Kruskal-Shafranov y los modos Bernstein-Greene-Kruskal (BGK) . Con IB Bernstein, EA Frieman y RM Kulsrud, desarrolló el principio de energía MHD (o magnetohidrodinámico [11] ). Sus intereses se extendieron a la astrofísica del plasma, así como a los plasmas de laboratorio.
En 1960, Kruskal descubrió la estructura clásica completa del espacio-tiempo del tipo más simple de agujero negro en la relatividad general . Un espacio-tiempo con simetría esférica puede describirse mediante la solución de Schwarzschild , que fue descubierta en los primeros días de la relatividad general. Sin embargo, en su forma original, esta solución solo describe la región exterior al horizonte de sucesos del agujero negro. Kruskal (en paralelo con George Szekeres ) descubrió la continuación analítica máxima de la solución de Schwarzschild, que exhibió elegantemente utilizando lo que ahora se denominan coordenadas de Kruskal-Szekeres .
Esto llevó a Kruskal al asombroso descubrimiento de que el interior del agujero negro parece un " agujero de gusano " que conecta dos universos idénticos y asintóticamente planos . Este fue el primer ejemplo real de una solución de agujero de gusano en la relatividad general. El agujero de gusano colapsa en una singularidad antes de que cualquier observador o señal pueda viajar de un universo al otro. Ahora se cree que este es el destino general de los agujeros de gusano en la relatividad general. En la década de 1970, cuando se descubrió la naturaleza térmica de la física de los agujeros negros , la propiedad de agujero de gusano de la solución de Schwarzschild resultó ser un ingrediente importante. Hoy en día, se considera una pista fundamental en los intentos de comprender la gravedad cuántica .
El trabajo más conocido de Kruskal fue el descubrimiento en la década de 1960 de la integrabilidad de ciertas ecuaciones diferenciales parciales no lineales que involucran funciones de una variable espacial así como del tiempo. Estos desarrollos comenzaron con una simulación informática pionera realizada por Kruskal y Norman Zabusky (con cierta ayuda de Harry Dym ) de una ecuación no lineal conocida como ecuación de Korteweg-de Vries (KdV). La ecuación KdV es un modelo asintótico de la propagación de ondas dispersivas no lineales . Pero Kruskal y Zabusky hicieron el sorprendente descubrimiento de una solución de "onda solitaria" de la ecuación KdV que se propaga de forma no dispersiva e incluso recupera su forma después de una colisión con otras ondas similares. Debido a las propiedades similares a las de las partículas de dicha onda, la llamaron " solitón ", un término que se popularizó casi de inmediato.
Este trabajo fue motivado en parte por la paradoja de recurrencia cercana que se había observado en una simulación por computadora muy temprana [12] de una cierta red no lineal por Enrico Fermi , John Pasta , Stanislaw Ulam y Mary Tsingou en Los Alamos en 1955. Esos autores habían observado un comportamiento casi recurrente a largo plazo de una cadena unidimensional de osciladores anarmónicos, en contraste con la rápida termalización que se había esperado. Kruskal y Zabusky simularon la ecuación KdV, que Kruskal había obtenido como un límite continuo de esa cadena unidimensional, y encontraron un comportamiento solitónico, que es lo opuesto a la termalización. Eso resultó ser el corazón del fenómeno.
Los fenómenos de las ondas solitarias han sido un misterio del siglo XIX que se remonta al trabajo de John Scott Russell , quien, en 1834, observó lo que ahora llamamos un solitón, propagándose en un canal, y lo persiguió a caballo. [13] A pesar de sus observaciones de solitones en experimentos con tanques de olas, Scott Russell nunca los reconoció como tales, debido a su enfoque en la "gran ola de traslación", la ola solitaria de mayor amplitud. Sus observaciones experimentales, presentadas en su Informe sobre las Ondas a la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia en 1844, fueron vistas con escepticismo por George Airy y George Stokes porque sus teorías lineales de las ondas de agua no podían explicarlas. Joseph Boussinesq (1871) y Lord Rayleigh (1876) publicaron teorías matemáticas que justificaban las observaciones de Scott Russell. En 1895, Diederik Korteweg y Gustav de Vries formularon la ecuación KdV para describir las olas en aguas poco profundas (como las olas en el canal observadas por Russell), pero las propiedades esenciales de esta ecuación no se entendieron hasta el trabajo de Kruskal y sus colaboradores en la década de 1960.
El comportamiento solitónico sugirió que la ecuación KdV debe tener leyes de conservación más allá de las obvias leyes de conservación de masa, energía y momento. Una cuarta ley de conservación fue descubierta por Gerald Whitham y una quinta por Kruskal y Zabusky. Varias nuevas leyes de conservación fueron descubiertas a mano por Robert Miura , quien también demostró que existían muchas leyes de conservación para una ecuación relacionada conocida como la ecuación de Korteweg-de Vries modificada (MKdV). [14] Con estas leyes de conservación, Miura mostró una conexión (llamada transformación de Miura) entre las soluciones de las ecuaciones KdV y MKdV. Esta fue una pista que permitió a Kruskal, con Clifford S. Gardner , John M. Greene y Miura (GGKM), [15] descubrir una técnica general para la solución exacta de la ecuación KdV y la comprensión de sus leyes de conservación. Este fue el método de dispersión inversa , un método sorprendente y elegante que demuestra que la ecuación KdV admite un número infinito de cantidades conservadas conmutativas de Poisson y es completamente integrable. Este descubrimiento proporcionó la base moderna para la comprensión del fenómeno del solitón: la onda solitaria se recrea en el estado saliente porque es la única manera de satisfacer todas las leyes de conservación. Poco después de GGKM, Peter Lax interpretó de manera famosa el método de dispersión inversa en términos de deformaciones isoespectrales y pares de Lax .
El método de dispersión inversa ha tenido una sorprendente variedad de generalizaciones y aplicaciones en diferentes áreas de las matemáticas y la física. El propio Kruskal fue pionero en algunas de las generalizaciones, como la existencia de infinitas cantidades conservadas para la ecuación de seno-Gordon . Esto condujo al descubrimiento de un método de dispersión inversa para esa ecuación por MJ Ablowitz , DJ Kaup, AC Newell y H. Segur (AKNS). [16] La ecuación de seno-Gordon es una ecuación de onda relativista en 1+1 dimensiones que también exhibe el fenómeno del solitón y que se convirtió en un modelo importante de la teoría de campos relativista resoluble . En un trabajo seminal que precedió a AKNS, Zakharov y Shabat descubrieron un método de dispersión inversa para la ecuación no lineal de Schrödinger.
Hoy en día se sabe que los solitones están presentes en todas partes en la naturaleza, desde la física hasta la biología. En 1986, Kruskal y Zabusky compartieron la Medalla de Oro Howard N. Potts del Instituto Franklin "por sus contribuciones a la física matemática y las primeras combinaciones creativas de análisis y computación, pero sobre todo por su trabajo seminal en las propiedades de los solitones". Al otorgar el Premio Steele de 2006 a Gardner, Greene, Kruskal y Miura, la Sociedad Matemática Americana afirmó que antes de su trabajo "no existía una teoría general para la solución exacta de ninguna clase importante de ecuaciones diferenciales no lineales". La AMS agregó: "En las aplicaciones de las matemáticas, los solitones y sus descendientes (kinks, anti-kinks, instantones y respiradores) han entrado y cambiado campos tan diversos como la óptica no lineal, la física del plasma y las ciencias oceánicas, atmosféricas y planetarias. La no linealidad ha experimentado una revolución: de una molestia que debe eliminarse, a una nueva herramienta que debe explotarse".
Kruskal recibió la Medalla Nacional de Ciencias en 1993 "por su influencia como líder en la ciencia no lineal durante más de dos décadas como el principal arquitecto de la teoría de soluciones solitones de ecuaciones no lineales de evolución".
En un artículo [17] que examinaba el estado de las matemáticas a finales del milenio, el eminente matemático Philip A. Griffiths escribió que el descubrimiento de la integrabilidad de la ecuación KdV "exhibió de la manera más hermosa la unidad de las matemáticas. Implicó desarrollos en computación y en análisis matemático, que es la forma tradicional de estudiar ecuaciones diferenciales. Resulta que uno puede entender las soluciones a estas ecuaciones diferenciales a través de ciertas construcciones muy elegantes en geometría algebraica . Las soluciones también están íntimamente relacionadas con la teoría de la representación , en el sentido de que estas ecuaciones resultan tener un número infinito de simetrías ocultas. Finalmente, se relacionan con problemas de geometría elemental".
En la década de 1980, Kruskal desarrolló un profundo interés por las ecuaciones de Painlevé . Con frecuencia surgen como reducciones de simetría de ecuaciones de solitones, y Kruskal se sintió intrigado por la íntima relación que parecía existir entre las propiedades que caracterizan a estas ecuaciones y los sistemas completamente integrables. Gran parte de su investigación posterior estuvo impulsada por el deseo de comprender esta relación y desarrollar nuevos métodos directos y simples para estudiar las ecuaciones de Painlevé. Kruskal rara vez estaba satisfecho con los enfoques estándar para las ecuaciones diferenciales.
Las seis ecuaciones de Painlevé tienen una propiedad característica llamada propiedad de Painlevé: sus soluciones son univaluadas alrededor de todas las singularidades cuyas ubicaciones dependen de las condiciones iniciales. En opinión de Kruskal, dado que esta propiedad define las ecuaciones de Painlevé, se debería poder empezar con ella, sin ninguna estructura innecesaria adicional, para elaborar toda la información necesaria sobre sus soluciones. El primer resultado fue un estudio asintótico de las ecuaciones de Painlevé con Nalini Joshi , inusual en ese momento porque no requería el uso de problemas lineales asociados. Su persistente cuestionamiento de los resultados clásicos condujo a un método directo y simple, también desarrollado con Joshi, para demostrar la propiedad de Painlevé de las ecuaciones de Painlevé.
En la última parte de su carrera, uno de los principales intereses de Kruskal fue la teoría de los números surrealistas . Los números surrealistas, que se definen de forma constructiva, tienen todas las propiedades y operaciones básicas de los números reales. Incluyen los números reales junto con muchos tipos de infinitos e infinitesimales. Kruskal contribuyó a la fundación de la teoría, a la definición de funciones surrealistas y al análisis de su estructura. Descubrió un vínculo notable entre los números surrealistas, las asintóticas y las asintóticas exponenciales. Una importante pregunta abierta, planteada por Conway, Kruskal y Norton a fines de la década de 1970, e investigada por Kruskal con gran tenacidad, es si las funciones surrealistas con un comportamiento suficientemente bueno poseen integrales definidas. Esta pregunta fue respondida negativamente en la generalidad completa, que Conway et al. habían esperado, por Costin, Friedman y Ehrlich en 2015. [18] Sin embargo, el análisis de Costin et al. muestra que existen integrales definidas para una clase suficientemente amplia de funciones surrealistas para las cuales la visión de Kruskal del análisis asintótico, concebida en sentido amplio, se aplica. En el momento de su muerte, Kruskal estaba escribiendo un libro sobre análisis surrealista con O. Costin.
Kruskal acuñó el término asintotología para describir el "arte de tratar con sistemas matemáticos aplicados en casos límite". [19] Formuló siete principios de asintotología: 1. El principio de simplificación; 2. El principio de recursión; 3. El principio de interpretación; 4. El principio de comportamiento salvaje; 5. El principio de aniquilación; 6. El principio de equilibrio máximo; 7. El principio del sinsentido matemático.
El término asintótico no se utiliza tan ampliamente como el término solitón . Se han utilizado con éxito métodos asintóticos de diversos tipos casi desde el nacimiento de la ciencia misma. Sin embargo, Kruskal intentó demostrar que la asintóticología es una rama especial del conocimiento, intermedia, en cierto sentido, entre la ciencia y el arte. Su propuesta ha resultado muy fructífera. [20] [21] [22]
Los honores y premios que recibió Kruskal incluyeron:
