Coordenadas de Kruskal-Székeres

Sistema de coordenadas para la geometría de Schwarzschild.

Diagrama de Kruskal-Szekeres, ilustrado para 2 GM =1. Los cuadrantes son el interior del agujero negro (II), el interior del agujero blanco (IV) y las dos regiones exteriores (I y III). Las líneas de puntos de 45°, que separan estas cuatro regiones, son los horizontes de sucesos . Las hipérbolas más oscuras que delimitan la parte superior e inferior del diagrama son las singularidades físicas. Las hipérbolas más pálidas representan contornos de la coordenada r de Schwarzschild , y las líneas rectas que pasan por el origen representan contornos de la coordenada t de Schwarzschild .

En la relatividad general , las coordenadas Kruskal-Szekeres , que llevan el nombre de Martin Kruskal y George Szekeres , son un sistema de coordenadas para la geometría de Schwarzschild para un agujero negro . Estas coordenadas tienen la ventaja de que cubren toda la variedad espacio-temporal de la solución de Schwarzschild máximamente extendida y se comportan bien en todas partes fuera de la singularidad física. No hay ninguna singularidad de coordenadas engañosa en el horizonte.

Las coordenadas Kruskal-Szekeres también se aplican al espacio-tiempo alrededor de un objeto esférico, pero en ese caso no dan una descripción del espacio-tiempo dentro del radio del objeto. El espacio-tiempo en una región donde una estrella colapsa en un agujero negro se aproxima mediante las coordenadas de Kruskal-Szekeres (o mediante las coordenadas de Schwarzschild ). La superficie de la estrella permanece fuera del horizonte de sucesos en las coordenadas de Schwarzschild, pero lo cruza en las coordenadas de Kruskal-Szekeres. (En cualquier "agujero negro" que observamos , lo vemos en un momento en que su materia aún no ha terminado de colapsar, por lo que todavía no es realmente un agujero negro). De manera similar, los objetos que caen en un agujero negro permanecen fuera del horizonte de sucesos. en coordenadas de Schwarzschild, pero crúcelo en coordenadas de Kruskal-Szekeres.

Definición

Diagrama de Kruskal-Szekeres. Cada cuadro de la animación muestra una hipérbola azul como la superficie donde la coordenada radial de Schwarzschild es constante (y con un valor menor en cada cuadro sucesivo, hasta terminar en las singularidades).

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres en la geometría de un agujero negro se definen, a partir de las coordenadas de Schwarzschild , reemplazando t y r por una nueva coordenada temporal T y una nueva coordenada espacial : ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

${\displaystyle X=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

para la región exterior fuera del horizonte de sucesos y: ${\displaystyle r>2GM}$

${\displaystyle T=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

${\displaystyle X=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

para la región del interior . Aquí está la constante gravitacional multiplicada por el parámetro de masa de Schwarzschild, y este artículo usa unidades donde = 1. ${\displaystyle 0<r<2GM}$ ${\displaystyle GM}$ ${\displaystyle c}$

De ello se deduce que en la unión de la región exterior, el horizonte de sucesos y la región interior, la coordenada radial de Schwarzschild (que no debe confundirse con el radio de Schwarzschild ), se determina en términos de las coordenadas de Kruskal-Szekeres como la solución (única) de la ecuación: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}=2GM}$

${\displaystyle T^{2}-X^{2}=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}\ ,T^{2}-X^{2}<1}$

Usando la función Lambert W la solución se escribe como:

${\displaystyle r=2GM\left(1+W_{0}\left({\frac {X^{2}-T^{2}}{e}}\right)\right)}$.

Además, se ve inmediatamente que en la región exterior al agujero negro ${\displaystyle T^{2}-X^{2}<0,\ X>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {artanh} } (T/X)}$

mientras que en la región interna del agujero negro ${\displaystyle 0<T^{2}-X^{2}<1,\ T>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {artanh} } (X/T)}$

En estas nuevas coordenadas, la métrica de la variedad de agujeros negros de Schwarzschild viene dada por

${\displaystyle g={\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(-dT^{2}+dX^{2})+r^{2}g_{\Omega },}$

escrito usando la convención de firma métrica (− + + +) y donde el componente angular de la métrica (la métrica de Riemann de las 2 esferas) es:

${\displaystyle g_{\Omega }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$.

Expresar la métrica de esta forma muestra claramente que las geodésicas radiales nulas, es decir, con constante, son paralelas a una de las líneas . En las coordenadas de Schwarzschild, el radio de Schwarzschild es la coordenada radial del horizonte de sucesos . En las coordenadas de Kruskal-Szekeres, el horizonte de sucesos viene dado por . Tenga en cuenta que la métrica está perfectamente bien definida y no es singular en el horizonte de eventos. La singularidad de curvatura se encuentra en . ${\displaystyle \Omega =\Omega (\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle T=\pm X}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}=2GM}$ ${\displaystyle r=r_{\text{s}}=2GM}$ ${\displaystyle T^{2}-X^{2}=0}$ ${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

Solución Schwarzschild máximamente extendida

La transformación entre las coordenadas de Schwarzschild y las coordenadas de Kruskal-Szekeres se define para r  > 2 GM y se puede extender, como función analítica, al menos a la primera singularidad que ocurre en . Por tanto, la métrica anterior es una solución de las ecuaciones de Einstein en toda esta región. Los valores permitidos son ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ ${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

${\displaystyle -\infty <X<\infty \,}$

${\displaystyle -\infty <T^{2}-X^{2}<1}$

Tenga en cuenta que esta extensión supone que la solución es analítica en todas partes.

En la solución extendida al máximo, en realidad hay dos singularidades en r = 0, una para T positiva y otra para T negativa . La singularidad T negativa es el agujero negro invertido en el tiempo, a veces denominado " agujero blanco ". Las partículas pueden escapar de un agujero blanco pero nunca pueden regresar.

La geometría de Schwarzschild extendida al máximo se puede dividir en 4 regiones, cada una de las cuales puede cubrirse mediante un conjunto adecuado de coordenadas de Schwarzschild. Las coordenadas Kruskal-Szekeres, por otro lado, cubren toda la variedad espacio-temporal. Las cuatro regiones están separadas por horizontes de sucesos.

La transformación dada anteriormente entre las coordenadas de Schwarzschild y Kruskal-Szekeres se aplica sólo en las regiones I y II (si tomamos la raíz cuadrada como positiva). Se puede escribir una transformación similar en las otras dos regiones.

La coordenada de tiempo de Schwarzschild t está dada por

${\displaystyle \tanh \left({\frac {t}{4GM}}\right)={\begin{cases}T/X&{\text{(in I and III)}}\\X/T&{\text{(in II and IV)}}\end{cases}}}$

En cada región va de a con los infinitos en los horizontes de sucesos. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Basado en el requisito de que el proceso cuántico de la radiación de Hawking sea unitario , 't Hooft propuso ^[1] que las regiones I y III, y II y IV son sólo artefactos matemáticos que surgen de la elección de ramas para las raíces en lugar de universos paralelos y que la equivalencia relación

${\displaystyle (T,X,\Omega )\sim (-T,-X,-\Omega )}$

debe imponerse, ¿dónde está la antípoda de en la 2-esfera? Si pensamos que las regiones III y IV tienen coordenadas esféricas pero con una elección negativa para calcular la raíz cuadrada , entonces usamos correspondientemente puntos opuestos en la esfera para denotar el mismo punto en el espacio, así que, por ejemplo ${\displaystyle -\Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle (t^{\text{(I)}},r^{\text{(I)}},\Omega ^{\text{(I)}})=(t,r,\Omega )\sim (t^{\text{(III)}},r^{\text{(III)}},\Omega ^{\text{(III)}})=(t,-r,-\Omega ).}$

Esto significa que . Dado que se trata de una acción libre del grupo que preserva la métrica, se obtiene una variedad lorentziana bien definida (en todas partes excepto en la singularidad). Identifica el límite de la región interior II correspondiente al segmento de recta coordenada con el límite de la región exterior I correspondiente a . La identificación significa que mientras que cada par corresponde a una esfera, el punto (correspondiente al horizonte de sucesos en la imagen de Schwarzschild) no corresponde a una esfera sino al plano proyectivo , y la topología de la variedad subyacente ya no lo es . La variedad ya no está simplemente conectada , porque un bucle (que involucra porciones superluminales) que va desde un punto en el espacio-tiempo hacia sí mismo pero en las coordenadas opuestas de Kruskal-Szekeres no puede reducirse a un bucle nulo. ${\displaystyle r^{\text{(I)}}\Omega ^{\text{(I)}}=r^{\text{(III)}}\Omega ^{\text{(III)}}=r\Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle t^{\text{(II)}}=-\infty }$ ${\displaystyle T=-X,\ T>0,X<0}$ ${\displaystyle t^{\text{(I)}}=-\infty }$ ${\displaystyle T=-X,\ T<0,X>0}$ ${\displaystyle (T,X)\sim (-T,-X)\neq (0,0)}$ ${\displaystyle (T,X)=(0,0)}$ ${\displaystyle r=2GM}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}=S^{2}/\pm }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}-\mathrm {line} =\mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$

Características cualitativas del diagrama de Kruskal-Szekeres

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres tienen una serie de características útiles que las hacen útiles para generar intuiciones sobre el espacio-tiempo de Schwarzschild. El principal de ellos es el hecho de que todas las geodésicas radiales similares a la luz (las líneas mundiales de rayos de luz que se mueven en dirección radial) parecen líneas rectas en un ángulo de 45 grados cuando se dibujan en un diagrama de Kruskal-Szekeres (esto se puede derivar de la ecuación métrica dada anteriormente, que garantiza que si entonces es el momento adecuado ). ^[2] Todas las líneas mundiales temporales de objetos más lentos que la luz tendrán en cada punto una pendiente más cercana al eje vertical del tiempo (la coordenada T ) que 45 grados. Entonces, un cono de luz dibujado en un diagrama de Kruskal-Szekeres tendrá el mismo aspecto que un cono de luz en un diagrama de Minkowski en la relatividad especial . ${\displaystyle dX=\pm dT\,}$ ${\displaystyle ds=0}$

Los horizontes de sucesos que delimitan las regiones interiores del agujero negro y del agujero blanco también son un par de líneas rectas a 45 grados, lo que refleja el hecho de que un rayo de luz emitido en el horizonte en dirección radial (apuntado hacia afuera en el caso del agujero negro, hacia adentro en el caso del agujero blanco) permanecería en el horizonte para siempre. Así, los dos horizontes del agujero negro coinciden con los límites del cono de luz futuro de un evento en el centro del diagrama (en T = X =0), mientras que los dos horizontes del agujero blanco coinciden con los límites del cono de luz pasado de este mismo evento. Cualquier evento dentro de la región interior del agujero negro tendrá un cono de luz futuro que permanecerá en esta región (de modo que cualquier línea mundial dentro del cono de luz futuro del evento eventualmente chocará con la singularidad del agujero negro, que aparece como una hipérbola delimitada por los dos agujeros negros). horizontes), y cualquier evento dentro de la región interior del agujero blanco tendrá un cono de luz pasado que permanecerá en esta región (de modo que cualquier línea de mundo dentro de este cono de luz pasado debe haberse originado en la singularidad del agujero blanco, una hipérbola delimitada por los dos horizontes blancos). horizontes del agujero). Tenga en cuenta que aunque el horizonte parece un cono que se expande hacia afuera, el área de esta superficie, dada por r , es simplemente una constante. Es decir, estas coordenadas pueden ser engañosas si no se tiene cuidado. ${\displaystyle 16\pi M^{2}}$

Puede resultar instructivo considerar cómo se verían las curvas de coordenadas constantes de Schwarzschild cuando se trazan en un diagrama de Kruskal-Szekeres. Resulta que las curvas de coordenada r constante en coordenadas de Schwarzschild siempre parecen hipérbolas delimitadas por un par de horizontes de sucesos a 45 grados, mientras que las líneas de coordenada t constante en coordenadas de Schwarzschild siempre parecen líneas rectas en varios ángulos que pasan por el centro. del diagrama. El horizonte de sucesos del agujero negro que bordea la región exterior I coincidiría con una coordenada t de Schwarzschild mientras que el horizonte de sucesos del agujero blanco que bordea esta región coincidiría con una coordenada t de Schwarzschild de , lo que refleja el hecho de que en las coordenadas de Schwarzschild una partícula que cae toma una longitud infinita coordinar el tiempo para alcanzar el horizonte (es decir, la distancia de la partícula desde el horizonte se acerca a cero cuando la coordenada t de Schwarzschild se acerca al infinito), y una partícula que se aleja del horizonte debe haberlo cruzado en un tiempo de coordenadas infinito en el pasado. Esto es sólo un artefacto de cómo se definen las coordenadas de Schwarzschild; una partícula en caída libre sólo tardará un tiempo propio finito (tiempo medido por su propio reloj) en pasar entre un observador exterior y un horizonte de sucesos, y si la línea mundial de la partícula se dibuja en el diagrama de Kruskal-Szekeres, esto también sólo tome un tiempo de coordenadas finito en las coordenadas Kruskal-Szekeres. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

El sistema de coordenadas de Schwarzschild sólo puede cubrir una única región exterior y una única región interior, como las regiones I y II en el diagrama de Kruskal-Szekeres. El sistema de coordenadas Kruskal-Szekeres, por otro lado, puede cubrir un espacio-tiempo "máximamente extendido" que incluye la región cubierta por las coordenadas de Schwarzschild. Aquí, "máximamente extendido" se refiere a la idea de que el espacio-tiempo no debe tener ningún "borde": cualquier camino geodésico puede extenderse arbitrariamente en cualquier dirección a menos que se encuentre con una singularidad gravitacional . Técnicamente, esto significa que un espacio-tiempo máximamente extendido es "geodésicamente completo" (lo que significa que cualquier geodésica puede extenderse a valores positivos o negativos arbitrariamente grandes de su 'parámetro afín', ^[3] que en el caso de una geodésica temporal podría simplemente ser el momento adecuado ), o si alguna geodésica está incompleta, solo puede ser porque termina en una singularidad. ^{[4] [5]} Para satisfacer este requisito, se descubrió que, además de la región interior del agujero negro (región II), a la que entran las partículas cuando caen a través del horizonte de sucesos desde el exterior (región I), tiene que haber ser una región interior de agujero blanco separada (región IV) que nos permite extender las trayectorias de las partículas que un observador externo ve alejándose del horizonte de sucesos, junto con una región exterior separada (región III) que nos permite extender algunas posibles trayectorias de partículas en las dos regiones interiores. En realidad, existen múltiples formas posibles de extender la solución exterior de Schwarzschild a un espacio-tiempo máximamente extendido, pero la extensión Kruskal-Szekeres es única porque es una solución de vacío máxima, analítica y simplemente conectada en la que todas las geodésicas máximamente extendidas están completas o bien el escalar de curvatura diverge a lo largo de ellos en un tiempo afín finito. ^[6]

Variante de cono de luz

En la literatura, las coordenadas Kruskal-Szekeres a veces también aparecen en su variante de cono de luz:

${\displaystyle U=T-X}$

${\displaystyle V=T+X,}$

en el que la métrica está dada por

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(dUdV)+r^{2}d\Omega ^{2},}$

y r está definido implícitamente por la ecuación ^[7]

${\displaystyle UV=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}.}$

Estas coordenadas de cono de luz tienen la característica útil de que las geodésicas nulas salientes están dadas por , mientras que las geodésicas nulas entrantes están dadas por . Además, los horizontes de eventos (futuros y pasados) están dados por la ecuación y la singularidad de la curvatura está dada por la ecuación . ${\displaystyle U={\text{constant}}}$ ${\displaystyle V={\text{constant}}}$ ${\displaystyle UV=0}$ ${\displaystyle UV=1}$

Las coordenadas del cono de luz se derivan estrechamente de las coordenadas de Eddington-Finkelstein . ^[8]

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Coordenadas de Schwarzschild
• Coordenadas de Lemaître
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Coordenadas isotrópicas
• Coordenadas de Gullstrand-Painlevé

Notas

1. 't Hooft, Gerard (2019). "El Agujero Negro Cuántico como Laboratorio Teórico, un tratamiento pedagógico de un nuevo enfoque". arXiv : 1902.10469 [gr-qc].
2. Misner, Charles W.; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman . pag. 835.ISBN _ 978-0-7167-0344-0.
3. Hawking, Stephen W.; George FR Ellis (1975). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 257.ISBN _ 978-0-521-09906-6.
4. Hobson, Michael Paul; George Efstathiou; Anthony N. Lasenby (2006). Relatividad general: una introducción para físicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 270.ISBN _ 978-0-521-82951-9.
5. Ellis, George; Antonio Lanza; John Miller (1994). El renacimiento de la relatividad general y la cosmología: una encuesta para celebrar el 65 cumpleaños de Dennis Sciama . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 26 y 27. ISBN 978-0-521-43377-8.
6. Ashtekar, Abhay (2006). Cien años de relatividad . Compañía editorial científica mundial . pag. 97.ISBN _ 978-981-256-394-1.
7. Mujánov, Viatcheslav; Serguéi Winitzki (2007). Introducción a los efectos cuánticos en la gravedad . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 111-112. ISBN 978-0-521-86834-1.
8. Misner, Thorne y Wheeler, Gravitación.

Referencias

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman y compañía. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)