La asintotología ha sido definida como “el arte de tratar sistemas matemáticos aplicados en casos límites ” [1] así como “la ciencia sobre la síntesis de simplicidad y exactitud por medio de la localización”. [2]
El campo de la asintótica se encuentra normalmente por primera vez en la geometría escolar con la introducción de la asíntota , una línea a la que tiende una curva en el infinito. La palabra Ασύμπτωτος (asymptotos) en griego significa no coincidente y pone fuerte énfasis en el punto de que la aproximación no se convierte en coincidencia. Es una característica destacada de la asintótica, pero esta propiedad por sí sola no cubre por completo la idea de asintótica y, etimológicamente, el término parece ser bastante insuficiente.
En física y otros campos de la ciencia , uno se encuentra frecuentemente con problemas de naturaleza asintótica, como amortiguamiento, órbita, estabilización de un movimiento perturbado, etc. Sus soluciones se prestan al análisis asintótico ( teoría de perturbaciones ), que se usa ampliamente en matemáticas aplicadas modernas , mecánica y física . Pero los métodos asintóticos reclaman ser más que una parte de las matemáticas clásicas. K. Friedrichs dijo: "La descripción asintótica no es sólo una herramienta conveniente en el análisis matemático de la naturaleza, tiene un significado más fundamental". M. Kruskal introdujo el término especial asintotología, definido arriba, y pidió una formalización de la experiencia acumulada para convertir el arte de la asintotología en una ciencia. Un término general es capaz de poseer un valor heurístico significativo. En su ensayo "El futuro de las matemáticas", [3] H. Poincaré escribió lo siguiente.
La invención de una nueva palabra será a menudo suficiente para poner de manifiesto la relación, y la palabra será creadora... Es casi imposible creer qué economía de pensamiento, como solía decir Mach, puede lograrse con un término bien elegido... Las matemáticas son el arte de dar el mismo nombre a cosas diferentes... Cuando se ha elegido bien el lenguaje, uno se sorprende al descubrir que todas las demostraciones hechas para un objeto conocido se aplican inmediatamente a muchos objetos nuevos: no es necesario cambiar nada, ni siquiera los términos, ya que los nombres se han vuelto los mismos... El simple hecho, entonces, a veces no tiene gran interés... sólo adquiere valor cuando algún pensador más cuidadoso percibe la conexión que pone de manifiesto y la simboliza mediante un término.
Además, “el éxito de la ‘ cibernética ’, de los ‘ atractores ’ y de la ‘ teoría de las catástrofes ’ ilustra la fecundidad de la creación de palabras como investigación científica”. [4]
Casi todas las teorías físicas, formuladas de la manera más general, son bastante difíciles desde el punto de vista matemático. Por lo tanto, tanto en la génesis de la teoría como en su desarrollo posterior, los casos límite más simples, que permiten soluciones analíticas, son de particular importancia. En esos límites, el número de ecuaciones suele disminuir, su orden se reduce, las ecuaciones no lineales pueden reemplazarse por ecuaciones lineales, el sistema inicial se promedia en un cierto sentido, etc.
Todas estas idealizaciones, por diferentes que parezcan, aumentan el grado de simetría del modelo matemático del fenómeno considerado.
En esencia, el enfoque asintótico a un problema complejo consiste en tratar el sistema gobernante insuficientemente simétrico lo más cerca posible de un cierto sistema simétrico.
Para intentar obtener una mejor aproximación a la solución exacta del problema planteado, es crucial que la determinación de soluciones correctivas, que se aparten del caso límite, sea mucho más sencilla que la investigación directa del sistema gobernante. A primera vista, las posibilidades de este enfoque parecen restringidas a la variación de los parámetros que determinan el sistema sólo dentro de un rango estrecho. Sin embargo, la experiencia en la investigación de diferentes problemas físicos muestra que si los parámetros del sistema han cambiado lo suficiente y el sistema se ha desviado mucho del caso límite simétrico, se puede encontrar otro sistema límite, a menudo con simetrías menos obvias, al que también se puede aplicar un análisis asintótico. Esto permite describir el comportamiento del sistema sobre la base de un pequeño número de casos límite en todo el rango de variaciones de los parámetros. Este enfoque corresponde al nivel máximo de intuición, promueve nuevos conocimientos y, finalmente, conduce a la formulación de nuevos conceptos físicos.
También es importante que el análisis asintótico ayude a establecer la conexión entre diferentes teorías físicas. El objetivo del enfoque asintótico es simplificar el objeto. Esta simplificación se logra disminuyendo la proximidad de la singularidad en consideración. Es típico que la precisión de las expansiones asintóticas crezca con la localización. La exactitud y la simplicidad se consideran comúnmente como nociones mutuamente excluyentes. Cuando tendemos a la simplicidad, sacrificamos la exactitud, y tratando de lograr la exactitud, no esperamos simplicidad. Sin embargo, bajo la localización, las antípodas convergen; la contradicción se resuelve en una síntesis llamada asintótica . En otras palabras, la simplicidad y la exactitud están acopladas por una relación de "principio de incertidumbre", mientras que el tamaño del dominio sirve como un pequeño parámetro: una medida de incertidumbre.
Ilustremos el “principio de incertidumbre asintótica”. Tomemos el desarrollo de la función en una sucesión asintótica : , → .
La suma parcial de la serie se designa con , y la exactitud de la aproximación en un punto dado se estima con . La simplicidad se caracteriza aquí por el número y la localidad por la longitud del intervalo .
Con base en las propiedades conocidas de la expansión asintótica , consideramos la interrelación por pares de valores , , y . En un valor fijo , la expansión converge inicialmente, es decir, la exactitud aumenta a costa de la simplicidad. Si fijamos , la exactitud y el tamaño del intervalo comienzan a competir. Cuanto más pequeño sea el intervalo, el valor dado de se alcanza de manera más sencilla.
Ilustraremos estas regularidades con un ejemplo sencillo. Consideremos la función integral exponencial: .
Integrando por partes, obtenemos el siguiente desarrollo asintótico → .
Pongamos , . Calculando las sumas parciales de esta serie y los valores y para diferentes rendimientos:
1/3 0,262 0,071 0,040 0,034 0,040 0,060 0,106 0,223 1/5 0,171 0,029 0,011 0,006 0,004 0,0035 0,0040 0,0043 1/7 0,127 0,016 0,005 0,002 0,001 0,0006 0,0005 0,0004
Por lo tanto, en un determinado , la exactitud primero aumenta con el crecimiento de y luego disminuye (por lo que se tiene una expansión asintótica). Para un determinado , se puede observar una mejora de la exactitud con la disminución de .
Por último, ¿vale la pena utilizar el análisis asintótico si las computadoras y los métodos numéricos han alcanzado un estado tan avanzado? Como ha mencionado el DG Crighton , [5]
El diseño de esquemas computacionales o experimentales sin la guía de información asintótica es, en el mejor de los casos, un desperdicio y, en el peor, peligroso, debido a la posible falla en la identificación de características cruciales (rígidas) del proceso y su localización en el espacio de coordenadas y parámetros. Además, toda la experiencia sugiere que las soluciones asintóticas son numéricamente útiles mucho más allá de su rango nominal de validez y, a menudo, se pueden usar directamente, al menos en una etapa preliminar de diseño del producto, por ejemplo, ahorrando la necesidad de un cálculo preciso hasta la etapa final de diseño, cuando muchas variables se han restringido a rangos estrechos.
