En matemáticas , el abuso de notación ocurre cuando un autor usa una notación matemática de una manera que no es completamente formalmente correcta, pero que podría ayudar a simplificar la exposición o sugerir la intuición correcta (mientras que posiblemente minimiza los errores y la confusión al mismo tiempo). Sin embargo, dado que el concepto de corrección formal/sintáctica depende tanto del tiempo como del contexto, ciertas notaciones en matemáticas que son marcadas como abuso en un contexto podrían ser formalmente correctas en uno o más contextos diferentes. Los abusos de notación dependientes del tiempo pueden ocurrir cuando se introducen notaciones nuevas en una teoría algún tiempo antes de que la teoría se formalice por primera vez; estos pueden corregirse formalmente solidificando y/o mejorando de otra manera la teoría. El abuso de notación debe contrastarse con el mal uso de la notación, que no tiene los beneficios de presentación del primero y debe evitarse (como el mal uso de las constantes de integración [1] ).
Un concepto relacionado es el abuso del lenguaje o abuso de la terminología, donde se utiliza incorrectamente un término —en lugar de una notación—. El abuso del lenguaje es una expresión casi sinónima para los abusos que no son de naturaleza notacional. Por ejemplo, mientras que la palabra representación designa apropiadamente un homomorfismo de grupo de un grupo G a GL( V ) , donde V es un espacio vectorial , es común llamar a V "una representación de G ". Otro abuso común del lenguaje consiste en identificar dos objetos matemáticos que son diferentes, pero canónicamente isomorfos . [2] Otros ejemplos incluyen la identificación de una función constante con su valor, la identificación de un grupo con una operación binaria con el nombre de su conjunto subyacente, o la identificación con el espacio euclidiano de dimensión tres equipado con un sistema de coordenadas cartesianas . [3]
Muchos objetos matemáticos consisten en un conjunto , a menudo llamado el conjunto subyacente, equipado con alguna estructura adicional, como una operación matemática o una topología . Es un abuso común de la notación utilizar la misma notación para el conjunto subyacente y el objeto estructurado (un fenómeno conocido como supresión de parámetros [3] ). Por ejemplo, puede denotar el conjunto de los números enteros , el grupo de números enteros junto con la adición , o el anillo de números enteros con la adición y la multiplicación . En general, no hay problema con esto si el objeto en referencia se entiende bien, y evitar tal abuso de notación podría incluso hacer que los textos matemáticos sean más pedantes y más difíciles de leer. Cuando este abuso de notación puede ser confuso, se puede distinguir entre estas estructuras denotando el grupo de números enteros con adición y el anillo de números enteros.
De manera similar, un espacio topológico consta de un conjunto X (el conjunto subyacente) y una topología que se caracteriza por un conjunto de subconjuntos de X (los conjuntos abiertos ). Lo más frecuente es que se considere solo una topología en X , por lo que no suele haber ningún problema en referirse a X como el conjunto subyacente y el par formado por X y su topología , aunque técnicamente sean objetos matemáticos distintos. Sin embargo, en algunas ocasiones podría ocurrir que se consideren simultáneamente dos topologías diferentes en el mismo conjunto. En cuyo caso, se debe tener cuidado y utilizar notaciones como y para distinguir entre los diferentes espacios topológicos.
En muchos libros de texto se pueden encontrar frases como "Sea una función...". Esto es un abuso de la notación, ya que el nombre de la función es y denota el valor de para el elemento de su dominio. Frases más precisas y correctas incluyen "Sea una función de la variable ..." o "Sea una función..." Este abuso de la notación se utiliza ampliamente, ya que simplifica la formulación y el uso sistemático de una notación correcta se vuelve rápidamente pedante.
Un abuso similar de la notación ocurre en oraciones como "Consideremos la función ...", cuando en realidad es una expresión polinómica , no una función per se. La función que se asocia a puede denotarse Sin embargo, este abuso de notación es ampliamente utilizado, ya que es más conciso pero generalmente no confuso.
Muchas estructuras matemáticas se definen a través de una propiedad que las caracteriza (a menudo una propiedad universal ). Una vez definida esta propiedad deseada, puede haber varias maneras de construir la estructura, y los resultados correspondientes son objetos formalmente diferentes, pero que tienen exactamente las mismas propiedades (es decir, isomorfos ). Como no hay manera de distinguir estos objetos isomorfos a través de sus propiedades, es estándar considerarlos como iguales, incluso si esto es formalmente incorrecto. [2]
Un ejemplo de esto es el producto cartesiano , que a menudo se considera asociativo:
Pero esto no es cierto en sentido estricto: si , y , la identidad implicaría que y , y por lo tanto no significaría nada. Sin embargo, estas igualdades pueden legitimarse y hacerse rigurosas en la teoría de categorías , utilizando la idea de un isomorfismo natural .
Otro ejemplo de abusos similares ocurre en afirmaciones como "hay dos grupos no abelianos de orden 8", que expresado de forma más estricta significa "hay dos clases de isomorfismo de grupos no abelianos de orden 8".
Hacer referencia a una clase de equivalencia de una relación de equivalencia por x en lugar de [ x ] es un abuso de notación. Formalmente, si un conjunto X está dividido por una relación de equivalencia ~, entonces para cada x ∈ X , la clase de equivalencia { y ∈ X | y ~ x } se denota [ x ]. Pero en la práctica, si el resto de la discusión se centra en las clases de equivalencia en lugar de en los elementos individuales del conjunto subyacente, entonces es común eliminar los corchetes en la discusión.
Por ejemplo, en aritmética modular , se puede formar un grupo finito de orden n dividiendo los números enteros mediante la relación de equivalencia " x ~ y si y solo si x ≡ y (mod n )". Los elementos de ese grupo serían entonces [0], [1], ..., [ n − 1], pero en la práctica se suelen denotar simplemente como 0, 1, ..., n − 1.
Otro ejemplo es el espacio de (clases de) funciones medibles sobre un espacio de medida , o clases de funciones integrables de Lebesgue , donde la relación de equivalencia es igualdad " en casi todas partes ".
Los términos "abuso del lenguaje" y "abuso de la notación" dependen del contexto. Escribir " f : A → B " para una función parcial de A a B es casi siempre un abuso de la notación, pero no en un contexto de teoría de categorías , donde f puede verse como un morfismo en la categoría de conjuntos y funciones parciales.
