Ecuación diferencial parcial

Tipo de ecuación diferencial

Una visualización de una solución a la ecuación del calor bidimensional con la temperatura representada por la dirección vertical y el color.

En matemáticas , una ecuación diferencial parcial ( PDE ) es una ecuación que calcula una función entre varias derivadas parciales de una función multivariable .

A menudo se piensa que la función es una "incógnita" que debe resolverse, de manera similar a cómo se considera x como un número desconocido que debe resolverse en una ecuación algebraica como x ² − 3 x + 2 = 0 . Sin embargo, normalmente es imposible escribir fórmulas explícitas para soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. En consecuencia, existe una gran cantidad de investigaciones matemáticas y científicas modernas sobre métodos para aproximar numéricamente soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales utilizando computadoras. Las ecuaciones diferenciales parciales también ocupan un gran sector de la investigación matemática pura , en la que las preguntas habituales giran, en términos generales, sobre la identificación de características cualitativas generales de las soluciones de diversas ecuaciones diferenciales parciales, como la existencia, la unicidad, la regularidad y la estabilidad. ^[1] Entre las muchas preguntas abiertas se encuentran la existencia y la fluidez de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes , nombradas como uno de los Problemas del Premio del Milenio en 2000.

Las ecuaciones diferenciales parciales son omnipresentes en campos científicos de orientación matemática, como la física y la ingeniería . Por ejemplo, son fundamentales en la comprensión científica moderna del sonido , el calor , la difusión , la electrostática , la electrodinámica , la termodinámica , la dinámica de fluidos , la elasticidad , la relatividad general y la mecánica cuántica ( ecuación de Schrödinger , ecuación de Pauli , etc.). También surgen de muchas consideraciones puramente matemáticas, como la geometría diferencial y el cálculo de variaciones ; entre otras aplicaciones destacables, son la herramienta fundamental en la demostración de la conjetura de Poincaré desde la topología geométrica .

En parte debido a esta variedad de fuentes, existe un amplio espectro de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales parciales y se han desarrollado métodos para abordar muchas de las ecuaciones individuales que surgen. Como tal, generalmente se reconoce que no existe una "teoría general" de las ecuaciones diferenciales parciales, y que el conocimiento especializado está algo dividido entre varios subcampos esencialmente distintos. ^[2]

Las ecuaciones diferenciales ordinarias forman una subclase de ecuaciones diferenciales parciales, correspondientes a funciones de una sola variable. Las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas y las ecuaciones no locales son, a partir de 2020, extensiones de la noción "PDE" particularmente ampliamente estudiadas. Los temas más clásicos, sobre los que todavía hay mucha investigación activa, incluyen ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas , mecánica de fluidos , ecuaciones de Boltzmann y ecuaciones diferenciales parciales dispersivas . ^[3]

Introducción

Una función u ( x , y , z ) de tres variables es " armónica " o "una solución de la ecuación de Laplace " si satisface la condición

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$$

la mecánica clásica

$${\displaystyle u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}}$$

$${\displaystyle u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$

$${\displaystyle u(x,y,z)=\sin(xy)+z}$$

nolas ecuaciones diferenciales ordinariasmás o menos similares

La naturaleza de este fallo se puede ver más concretamente en el caso de la siguiente PDE: para una función v ( x , y ) de dos variables, considere la ecuación

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}=0.}$$

vv ( x , y ) = f ( x ) + g ( y )fg

La naturaleza de esta elección varía de PDE a PDE. Para entenderlo para cualquier ecuación dada, los teoremas de existencia y unicidad suelen ser principios organizativos importantes. En muchos libros de texto introductorios, el papel de los teoremas de existencia y unicidad para la EDO puede ser algo opaco; la mitad de existencia suele ser innecesaria, ya que se puede verificar directamente cualquier fórmula de solución propuesta, mientras que la mitad de unicidad a menudo solo está presente en segundo plano para garantizar que la fórmula de solución propuesta sea lo más general posible. Por el contrario, para la PDE, los teoremas de existencia y unicidad son a menudo el único medio por el cual uno puede navegar a través de la plétora de diferentes soluciones disponibles. Por este motivo, también son fundamentales a la hora de realizar una simulación puramente numérica, ya que es necesario comprender qué datos debe prescribir el usuario y qué debe dejar que el ordenador calcule.

Para discutir tales teoremas de existencia y unicidad, es necesario ser preciso acerca del dominio de la "función desconocida". De lo contrario, hablando sólo en términos como "una función de dos variables", es imposible formular los resultados de manera significativa. Es decir, el dominio de la función desconocida debe considerarse como parte de la estructura de la propia PDE.

A continuación se proporcionan dos ejemplos clásicos de tales teoremas de existencia y unicidad. Aunque las dos PDE en cuestión son muy similares, hay una diferencia sorprendente en el comportamiento: para la primera PDE, uno tiene la prescripción libre de una sola función, mientras que para la segunda PDE, uno tiene la prescripción libre de dos funciones.

• Sea B el disco de radio unitario alrededor del origen en el plano. Para cualquier función continua U en el círculo unitario, hay exactamente una función u en B tal que
  $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$
  y cuya restricción al círculo unitario viene dada por U.
• Para cualquier función f y g en la recta real R , hay exactamente una función u en R × (−1, 1) tal que
  $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$
  y con u ( x , 0 ) = f ( x ) y∂ tu/∂ y( x , 0) = g ( x ) para todos los valores de x .

Son posibles aún más fenómenos. Por ejemplo, la siguiente PDE , que surge naturalmente en el campo de la geometría diferencial , ilustra un ejemplo donde existe una fórmula de solución simple y completamente explícita, pero con la libre elección de solo tres números y ni siquiera una función.

• Si u es una función en R ² con
  $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial x}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial y}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}=0,}$$
  entonces hay números a , b y c con u ( x , y ) = ax + by + c .

A diferencia de los ejemplos anteriores, esta PDE no es lineal debido a las raíces cuadradas y los cuadrados. Una PDE lineal es aquella que, si es homogénea, la suma de dos soluciones cualesquiera también es una solución, y cualquier múltiplo constante de cualquier solución también es una solución.

Bien planteado

La buena postura se refiere a un paquete esquemático común de información sobre una PDE. Para decir que una PDE está bien planteada se debe tener:

• un teorema de existencia y unicidad, que afirma que mediante la prescripción de algunas funciones elegidas libremente, se puede seleccionar una solución específica de la PDE
• Al cambiar continuamente las opciones libres, uno cambia continuamente la solución correspondiente.

Esto es algo vago, por la necesidad de ser aplicable a varias PDE diferentes. El requisito de "continuidad", en particular, es ambiguo, ya que normalmente existen muchos medios desiguales para definirlo rigurosamente. Sin embargo, es algo inusual estudiar una PDE sin especificar la forma en que está bien planteada.

El método de la energía.

El método de la energía es un procedimiento matemático que se puede utilizar para verificar el buen planteamiento de los problemas de valores en la frontera inicial (IBVP). ^[4] En el siguiente ejemplo, se utiliza el método de la energía para decidir dónde y qué condiciones de contorno deben imponerse de modo que el IBVP resultante esté bien planteado. Considere la PDE hiperbólica unidimensional dada por

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad x\in [a,b],t>0,}$$

donde es una constante y es una función desconocida con condición inicial . Multiplicar e integrar sobre el dominio da ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x+\alpha \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x=0.}$$

Usando eso

$${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\quad {\text{and}}\quad \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}u(b,t)^{2}-{\frac {1}{2}}u(a,t)^{2},}$$

la integración por partes

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}+\alpha u(b,t)^{2}-\alpha u(a,t)^{2}=0.}$$

Aquí denota la norma estándar . Para estar bien planteado requerimos que la energía de la solución no sea creciente, es decir , aquella que se logra especificando en if y en if . Esto equivale a imponer únicamente condiciones límite en la afluencia. La buena postura permite el crecimiento en términos de datos (inicial y límite) y, por lo tanto, es suficiente demostrar que eso se cumple cuando todos los datos se establecen en cero. ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle x=b}$ ${\displaystyle \alpha <0}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$

Existencia de soluciones locales

El teorema de Cauchy-Kowalevski para los problemas de valores iniciales de Cauchy establece esencialmente que si todos los términos de una ecuación diferencial parcial están formados por funciones analíticas y se satisface una determinada condición de transversalidad (el hiperplano o, más generalmente, la hipersuperficie donde se plantean los datos iniciales debe ser no característico con respecto al operador diferencial parcial), entonces, en ciertas regiones, necesariamente existen soluciones que también son funciones analíticas. Este es un resultado fundamental en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales analíticas. Sorprendentemente, el teorema no se cumple en el contexto de funciones suaves; un ejemplo descubierto por Hans Lewy en 1957 consiste en una ecuación diferencial parcial lineal cuyos coeficientes son suaves (es decir, tienen derivadas de todos los órdenes) pero no analíticos para los cuales no existe solución. Por tanto, el alcance del teorema de Cauchy-Kowalevski está necesariamente limitado a funciones analíticas.

Clasificación

Notación

Al escribir PDE, es común indicar derivadas parciales mediante subíndices. Por ejemplo:

$${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).}$$

unu _iiu _ijij

La letra griega Δ denota el operador de Laplace ; si u es una función de n variables, entonces

$${\displaystyle \Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.}$$

∇ ²∇ ² umatriz de Hesseu

Ecuaciones de primer orden

Ecuaciones lineales y no lineales.

Ecuaciones lineales

Una PDE se llama lineal si es lineal en la incógnita y sus derivadas. Por ejemplo, para una función u de x e y , una PDE lineal de segundo orden tiene la forma

$${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$$

a _ifxyu _xyu _yxi _sonxylineal con coeficientes constantes.fhomogéneahomogéneala homogeneización asintótica

Ecuaciones no lineales

Tres tipos principales de PDE no lineales son PDE semilineales, PDE cuasilineales y PDE completamente no lineales.

Las PDE más cercanas a las lineales son las PDE semilineales , donde solo las derivadas de orden más alto aparecen como términos lineales, con coeficientes que son funciones de las variables independientes. Las derivadas de orden inferior y la función desconocida pueden aparecer arbitrariamente. Por ejemplo, una PDE semilineal general de segundo orden en dos variables es

$${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

En una PDE cuasilineal , las derivadas de orden más alto también aparecen sólo como términos lineales, pero con coeficientes posiblemente funciones de las derivadas desconocidas y de orden inferior:

$${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

la relatividad general de Einsteinecuaciones de Navier-Stokes

Una PDE sin propiedades de linealidad se denomina completamente no lineal y posee no linealidades en una o más de las derivadas de orden más alto. Un ejemplo es la ecuación de Monge-Ampère , que surge en la geometría diferencial . ^[5]

Ecuaciones lineales de segundo orden.

Las ecuaciones diferenciales parciales elípticas , parabólicas e hiperbólicas de orden dos han sido ampliamente estudiadas desde principios del siglo XX. Sin embargo, existen muchos otros tipos importantes de PDE, como la ecuación no lineal de Korteweg-de Vries de tercer orden . También existen híbridos como la ecuación de Euler-Tricomi , que varían de elíptica a hiperbólica para diferentes regiones del dominio. También existen extensiones importantes de estos tipos básicos a PDE de orden superior, pero dicho conocimiento es más especializado.

La clasificación elíptica/parabólica/hiperbólica proporciona una guía para las condiciones iniciales y de contorno apropiadas y para la suavidad de las soluciones. Suponiendo u _xy = u _yx , la PDE lineal general de segundo orden en dos variables independientes tiene la forma

$${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,}$$

donde losABCxeyA ² + B ² + C ² > 0xy

$${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$$

Más precisamente, reemplazar ∂ _x por X , y lo mismo para otras variables (formalmente esto se hace mediante una transformada de Fourier ), convierte una PDE de coeficiente constante en un polinomio del mismo grado, con los términos del grado más alto (un polinomio homogéneo , aquí una forma cuadrática ) siendo la más significativa para la clasificación.

Así como se clasifican las secciones cónicas y las formas cuadráticas en parabólicas, hiperbólicas y elípticas con base en el discriminante B ² − 4 AC , se puede hacer lo mismo para una PDE de segundo orden en un punto dado. Sin embargo, el discriminante en una PDE viene dado por B ² − AC debido a que la convención de que el término xy es 2 B en lugar de B ; formalmente, el discriminante (de la forma cuadrática asociada) es (2 B ) ² − 4 AC = 4( B ² − AC ) , eliminando el factor 4 por simplicidad.

1. B ² − AC < 0 ( ecuación diferencial parcial elíptica ): Las soluciones de PDE elípticas son tan suaves como lo permiten los coeficientes, dentro del interior de la región donde se definen la ecuación y las soluciones. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación de Laplace son analíticas dentro del dominio donde se definen, pero las soluciones pueden asumir valores límite que no son uniformes. El movimiento de un fluido a velocidades subsónicas se puede aproximar con PDE elípticas, y la ecuación de Euler-Tricomi es elíptica donde x < 0 . Por cambio de variables, la ecuación siempre se puede expresar de la forma:
   $${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+\cdots =0.}$$
   Donde xey corresponden a variables modificadas. Se justifica así la ecuación de Laplace como ejemplo de este tipo. ^[6]
2. B ² − AC = 0 ( ecuación diferencial parcial parabólica ): las ecuaciones que son parabólicas en cada punto se pueden transformar en una forma análoga a la ecuación del calor mediante un cambio de variables independientes. Las soluciones se suavizan a medida que aumenta la variable de tiempo transformada. La ecuación de Euler-Tricomi tiene tipo parabólico en la recta donde x = 0 . Por cambio de variables, la ecuación siempre se puede expresar de la forma:
   $${\displaystyle u_{xx}+\cdots =0.}$$
   Donde x corresponde a variables cambiadas. Se justifica así la ecuación del calor , que tiene la forma , como ejemplo de este tipo. ^[6] ${\textstyle u_{t}-u_{xx}+\cdots =0}$
3. B ² − AC > 0 ( ecuación diferencial parcial hiperbólica ): las ecuaciones hiperbólicas retienen cualquier discontinuidad de funciones o derivadas en los datos iniciales. Un ejemplo es la ecuación de onda . El movimiento de un fluido a velocidades supersónicas se puede aproximar con PDE hiperbólicas, y la ecuación de Euler-Tricomi es hiperbólica donde x > 0 . Por cambio de variables, la ecuación siempre se puede expresar de la forma:
   $${\displaystyle u_{xx}-u_{yy}+\cdots =0.}$$
   Donde xey corresponden a variables modificadas. Se justifica así la ecuación de ondas como ejemplo de este tipo. ^[6]

Si hay n variables independientes x ₁ , x ₂ , …, x _n , una ecuación diferencial parcial lineal general de segundo orden tiene la forma

$${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad +{\text{lower-order terms}}=0.}$$

La clasificación depende de la firma de los valores propios de la matriz de coeficientes a _{i , j} .

1. Elíptica: los valores propios son todos positivos o todos negativos.
2. Parabólica: los valores propios son todos positivos o todos negativos, excepto uno que es cero.
3. Hiperbólico: solo hay un valor propio negativo y todos los demás son positivos, o solo hay un valor propio positivo y todos los demás son negativos.
4. Ultrahiperbólico: hay más de un valor propio positivo y más de un valor propio negativo, y no hay valores propios cero. ^[7]

La teoría de las ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas se ha estudiado durante siglos, en gran medida centrada o basada en los ejemplos estándar de la ecuación de Laplace , la ecuación del calor y la ecuación de onda .

Sistemas de ecuaciones de primer orden y superficies características.

La clasificación de ecuaciones diferenciales parciales se puede extender a sistemas de ecuaciones de primer orden, donde la incógnita u es ahora un vector con m componentes, y las matrices de coeficientes A _ν son matrices m por m para ν = 1, 2,…, n . . La ecuación diferencial parcial toma la forma

$${\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}$$

A _νBxuhipersuperficie S

$${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$$

φSsuperficie característicaL

$${\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.}$$

La interpretación geométrica de esta condición es la siguiente: si los datos para u están prescritos en la superficie S , entonces puede ser posible determinar la derivada normal de u en S a partir de la ecuación diferencial. Si los datos sobre S y la ecuación diferencial determinan la derivada normal de u sobre S , entonces S no es característico. Si los datos sobre S y la ecuación diferencial no determinan la derivada normal de u sobre S , entonces la superficie es característica y la ecuación diferencial restringe los datos sobre S : la ecuación diferencial es interna a S.

1. Un sistema de primer orden Lu = 0 es elíptico si ninguna superficie es característica para L : los valores de u en S y la ecuación diferencial siempre determinan la derivada normal de u en S.
2. Un sistema de primer orden es hiperbólico en un punto si hay una superficie espacial S con normal ξ en ese punto. Esto significa que, dado cualquier vector no trivial η ortogonal a ξ , y un multiplicador escalar λ , la ecuación Q ( λξ + η ) = 0 tiene m raíces reales λ ₁ , λ ₂ ,…, λ _m . El sistema es estrictamente hiperbólico si estas raíces son siempre distintas. La interpretación geométrica de esta condición es la siguiente: la forma característica Q ( ζ ) = 0 define un cono (el cono normal) con coordenadas homogéneas ζ. En el caso hiperbólico, este cono tiene m láminas, y el eje ζ = λξ discurre por el interior de estas láminas: no corta a ninguna de ellas. Pero cuando se desplaza del origen por η, este eje cruza cada hoja. En el caso elíptico, el cono normal no tiene láminas reales.

Soluciones analíticas

Separación de variables

Las PDE lineales pueden reducirse a sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante la importante técnica de separación de variables. Esta técnica se basa en una característica de las soluciones de ecuaciones diferenciales: si se puede encontrar cualquier solución que resuelva la ecuación y satisfaga las condiciones de contorno, entonces es la solución (esto también se aplica a las EDO). Suponemos como ansatz que la dependencia de una solución de los parámetros espacio y tiempo se puede escribir como un producto de términos que dependen cada uno de un solo parámetro, y luego vemos si esto se puede hacer para resolver el problema. ^[8]

En el método de separación de variables, se reduce una PDE a una PDE en menos variables, lo que es una ecuación diferencial ordinaria si está en una variable; estas, a su vez, son más fáciles de resolver.

Esto es posible para PDE simples, que se denominan ecuaciones diferenciales parciales separables , y el dominio es generalmente un rectángulo (un producto de intervalos). Las PDE separables corresponden a matrices diagonales ; si se piensa en "el valor de x fijo " como una coordenada, cada coordenada se puede entender por separado.

Esto se generaliza al método de las características y también se utiliza en transformaciones integrales .

Método de características

En casos especiales, se pueden encontrar curvas características en las que la ecuación se reduce a una EDO: cambiar las coordenadas en el dominio para enderezar estas curvas permite la separación de variables, y se denomina método de las características .

De manera más general, se pueden encontrar superficies características. Para obtener una solución de una ecuación diferencial parcial de segundo orden, consulte el método de Charpit .

transformación integral

Una transformación integral puede transformar la PDE en una más simple, en particular, una PDE separable. Esto corresponde a diagonalizar un operador.

Un ejemplo importante de esto es el análisis de Fourier , que diagonaliza la ecuación del calor utilizando la base propia de ondas sinusoidales.

Si el dominio es finito o periódico, una suma infinita de soluciones, como una serie de Fourier, es apropiada, pero generalmente se requiere una integral de soluciones, como una integral de Fourier, para dominios infinitos. La solución para una fuente puntual para la ecuación de calor dada anteriormente es un ejemplo del uso de una integral de Fourier.

Cambio de variables

A menudo, una PDE se puede reducir a una forma más simple con una solución conocida mediante un cambio adecuado de variables . Por ejemplo, la ecuación de Black-Scholes

$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$$

ecuación del calor

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$

^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\[5px]x&=\ln \left(S\right),\\[5px]\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}}$$

Solución fundamental

Las ecuaciones no homogéneas ^{[ se necesita aclaración ]} a menudo se pueden resolver (para PDE de coeficiente constante, siempre se pueden resolver) encontrando la solución fundamental (la solución para una fuente puntual) y luego tomando la convolución con las condiciones de contorno para obtener la solución.

Esto es análogo en el procesamiento de señales a entender un filtro por su respuesta de impulso .

Principio de superposición

El principio de superposición se aplica a cualquier sistema lineal, incluidos los sistemas lineales de PDE. Una visualización común de este concepto es la interacción de dos ondas en fase que se combinan para dar como resultado una mayor amplitud, por ejemplo sin x + sin x = 2 sin x . El mismo principio se puede observar en las PDE donde las soluciones pueden ser reales o complejas y aditivas. Si u ₁ y u ₂ son soluciones de PDE lineal en algún espacio funcional R , entonces u = c ₁ u ₁ + c ₂ u ₂ con cualesquiera constantes c ₁ y c ₂ también son una solución de esa PDE en el mismo espacio funcional.

Métodos para ecuaciones no lineales.

No existen métodos generalmente aplicables para resolver PDE no lineales. Aún así, los resultados de existencia y unicidad (como el teorema de Cauchy-Kowalevski ) a menudo son posibles, al igual que las pruebas de importantes propiedades cualitativas y cuantitativas de las soluciones (obtener estos resultados es una parte importante del análisis ). La solución computacional para las PDE no lineales, el método de paso dividido , existe para ecuaciones específicas como la ecuación de Schrödinger no lineal .

Sin embargo, se pueden utilizar algunas técnicas para varios tipos de ecuaciones. El principio h es el método más poderoso para resolver ecuaciones indeterminadas . La teoría de Riquier-Janet es un método eficaz para obtener información sobre muchos sistemas analíticos sobredeterminados .

El método de las características se puede utilizar en algunos casos muy especiales para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales. ^[10]

En algunos casos, una PDE se puede resolver mediante un análisis de perturbaciones en el que la solución se considera una corrección de una ecuación con una solución conocida. Las alternativas son técnicas de análisis numérico , desde simples esquemas de diferencias finitas hasta los métodos más maduros de redes múltiples y elementos finitos . Muchos problemas interesantes en ciencia e ingeniería se resuelven de esta manera utilizando computadoras , a veces supercomputadoras de alto rendimiento .

Método del grupo de mentiras

A partir de 1870, el trabajo de Sophus Lie puso la teoría de las ecuaciones diferenciales sobre una base más satisfactoria. Demostró que las teorías de integración de los matemáticos más antiguos pueden, mediante la introducción de lo que ahora se llaman grupos de Lie , derivar a una fuente común; y que las ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten las mismas transformaciones infinitesimales presentan dificultades de integración comparables. También enfatizó el tema de las transformaciones del contacto .

Un enfoque general para resolver PDE utiliza la propiedad de simetría de las ecuaciones diferenciales, las transformaciones infinitas continuas de soluciones en soluciones ( teoría de Lie ). La teoría de grupos continuos , las álgebras de Lie y la geometría diferencial se utilizan para comprender la estructura de ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales para generar ecuaciones integrables, encontrar sus pares Lax , operadores de recursividad, transformada de Bäcklund y, finalmente, encontrar soluciones analíticas exactas a la PDE.

Se ha reconocido que los métodos de simetría estudian ecuaciones diferenciales que surgen en matemáticas, física, ingeniería y muchas otras disciplinas.

Métodos semianalíticos

El método de descomposición de Adomian , ^[11] el método de parámetros pequeños artificiales de Lyapunov y su método de perturbación de homotopía son todos casos especiales del método de análisis de homotopía más general . ^[12] Estos son métodos de expansión en serie y, a excepción del método de Lyapunov, son independientes de pequeños parámetros físicos en comparación con la conocida teoría de la perturbación , lo que les da a estos métodos mayor flexibilidad y generalidad de solución.

Soluciones numéricas

Los tres métodos numéricos más utilizados para resolver PDE son el método de elementos finitos (FEM), los métodos de volúmenes finitos (FVM) y los métodos de diferencias finitas (FDM), así como otro tipo de métodos llamados métodos sin malla , que fueron creados para resolver problemas donde Los métodos antes mencionados son limitados. El FEM ocupa una posición destacada entre estos métodos y especialmente su versión de orden superior excepcionalmente eficiente hp-FEM . Otras versiones híbridas de los métodos FEM y Meshfree incluyen el método de elementos finitos generalizado (GFEM), el método de elementos finitos extendido (XFEM), el método de elementos finitos espectrales (SFEM), el método de elementos finitos sin malla , el método de elementos finitos discontinuos de Galerkin (DGFEM), el método de elementos finitos método de Galerkin libre (EFGM), método de Galerkin libre de elementos de interpolación (IEFGM), etc.

Método de elementos finitos

El método de elementos finitos (FEM) (su aplicación práctica a menudo se conoce como análisis de elementos finitos (FEA)) es una técnica numérica para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales parciales (PDE), así como de ecuaciones integrales. ^{[13] [14]} El enfoque de solución se basa en eliminar completamente la ecuación diferencial (problemas de estado estacionario) o convertir la PDE en un sistema aproximado de ecuaciones diferenciales ordinarias, que luego se integran numéricamente utilizando técnicas estándar como el método de Euler. Runge-Kutta, etc.

método de diferencias finitas

Los métodos de diferencias finitas son métodos numéricos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales utilizando ecuaciones en diferencias finitas para aproximar derivadas.

Método de volumen finito

De manera similar al método de diferencias finitas o al método de elementos finitos, los valores se calculan en lugares discretos en una geometría mallada. "Volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada punto de nodo en una malla. En el método de volumen finito, las integrales de superficie en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de volumen, utilizando el teorema de divergencia . Luego, estos términos se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Debido a que el flujo que entra en un volumen dado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos conservan la masa por diseño.

Método de ecuación diferencial difusa

La ecuación diferencial difusa se basa en la lógica difusa.

Método de inclusión diferencial difusa

El método de inclusión diferencial difusa utiliza lógica difusa con transformada de Laplace para resolver PDE.

Aplicaciones

Las ecuaciones diferenciales parciales se utilizan en muchos campos Astronomía , Cosmología , Mecánica cuántica , Transferencia de calor , Electromagnetismo , Dinámica de fluidos , Elasticidad (física) , Tensor de elasticidad , Operador tensorial , Geometría analítica , Inteligencia artificial , Aprendizaje profundo , Modelo de lenguaje

Ejemplos

• ecuación de calor
• Ecuación de onda
• Ecuación de continuidad
• Ecuación de Klein-Gordon
• ecuación de laplace
• ecuación de poisson
• ecuaciones de maxwell
• ecuación de Helmholtz
• ecuación de Lagrange
• ecuación de jacobi
• ecuación de Schrödinger
• Sistema de reacción-difusión utilizado en IA y aprendizaje profundo.
• Codificación escalable sin pérdidas para conversión de formatos de archivos de audio y vídeo a MPEG4.

Ver también

Algunas PDE comunes

• ecuación de calor
• Ecuación de onda
• ecuación de laplace
• ecuación de Helmholtz
• Ecuación de Klein-Gordon
• ecuación de poisson
• Ecuación de Navier-Stokes
• La ecuación de las hamburguesas

Tipos de condiciones de contorno

• Condición de frontera de Dirichlet
• Condición de frontera de Neumann
• Condición de contorno de Robin
• problema de cauchy

Temas variados

• paquete de jet
• Transformada de Laplace aplicada a ecuaciones diferenciales
• Lista de temas de sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales.
• Ecuación diferencial matricial
• Ecuaciones diferenciales parciales numéricas
• Ecuación algebraica diferencial parcial
• Relación de recurrencia
• Procesos estocásticos y problemas de valores en la frontera.

Referencias

1. "Regularidad y singularidades en PDE elípticas: más allá de las fórmulas de monotonicidad | Proyecto EllipticPDE | Hoja informativa | H2020". CORDIS | Comisión Europea . Consultado el 5 de febrero de 2024 .
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Otras lecturas

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enlaces externos

• "Ecuación diferencial, parcial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones diferenciales parciales: soluciones exactas en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones diferenciales parciales: índice en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones diferenciales parciales: métodos en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Problemas de ejemplo con soluciones en exampleproblems.com
• Ecuaciones diferenciales parciales en mathworld.wolfram.com
• Ecuaciones diferenciales parciales con Mathematica
• Ecuaciones diferenciales parciales en Cleve Moler: Computación numérica con MATLAB
• Ecuaciones diferenciales parciales en nag.com
• Sanderson, Grant (21 de abril de 2019). "¿Pero qué es una ecuación diferencial parcial?". 3Azul1Marrón . Archivado desde el original el 2 de noviembre de 2021, a través de YouTube .