Método de pasos divididos

En el análisis numérico , el método de Fourier ( paso dividido ) es un método numérico pseudoespectral que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales como la ecuación no lineal de Schrödinger . El nombre surge por dos razones. En primer lugar, el método se basa en calcular la solución en pequeños pasos y tratar los pasos lineales y no lineales por separado (ver a continuación). En segundo lugar, es necesario realizar la transformada de Fourier de ida y vuelta porque el paso lineal se realiza en el dominio de la frecuencia, mientras que el paso no lineal se realiza en el dominio del tiempo .

Un ejemplo de uso de este método es en el campo de la propagación de pulsos de luz en fibras ópticas, donde la interacción de mecanismos lineales y no lineales dificulta la búsqueda de soluciones analíticas generales. Sin embargo, el método de pasos divididos proporciona una solución numérica al problema. Otra aplicación del método de pasos divididos que ha ido ganando mucha fuerza desde la década de 2010 es la simulación de la dinámica del peine de frecuencia de Kerr en microresonadores ópticos . ^{[1] [2] [3]} La relativa facilidad de implementación de la ecuación de Lugiato-Lefever con un coste numérico razonable, junto con su éxito en la reproducción de espectros experimentales y la predicción del comportamiento de los solitones en estos microresonadores, ha hecho que el método sea muy popular.

Descripción del método

Consideremos, por ejemplo, la ecuación no lineal de Schrödinger ^[4]

${\displaystyle {\partial A \over \partial z}=-{i\beta _{2} \over 2}{\partial ^{2}A \over \partial t^{2}}+i\gamma |A|^{2}A=[{\hat {D}}+{\hat {N}}]A,}$

donde describe la envolvente del pulso en el tiempo en la posición espacial . La ecuación se puede dividir en una parte lineal, ${\displaystyle A(t,z)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\partial A_{D} \over \partial z}=-{i\beta _{2} \over 2}{\partial ^{2}A \over \partial t^{2}}={\hat {D}}A,}$

y una parte no lineal,

${\displaystyle {\partial A_{N} \over \partial z}=i\gamma |A|^{2}A={\hat {N}}A.}$

Tanto la parte lineal como la no lineal tienen soluciones analíticas, pero la ecuación de Schrödinger no lineal que contiene ambas partes no tiene una solución analítica general.

Sin embargo, si sólo se da un "pequeño" paso a lo largo de , entonces las dos partes pueden tratarse por separado con sólo un "pequeño" error numérico. Por lo tanto, primero se puede dar un pequeño paso no lineal, ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle A_{N}(t,z+h)=\exp \left[i\gamma |A(t,z)|^{2}h\right]A(t,z),}$

utilizando la solución analítica. Nótese que este ansatz impone y en consecuencia . ${\displaystyle |A(z)|^{2}={\text{const}}.}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$

El paso de dispersión tiene una solución analítica en el dominio de la frecuencia , por lo que primero es necesario realizar la transformada de Fourier utilizando ${\displaystyle A_{N}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{N}(\omega ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }A_{N}(t,z)\exp[i(\omega -\omega _{0})t]dt}$,

donde es la frecuencia central del pulso. Se puede demostrar que utilizando la definición anterior de la transformada de Fourier , la solución analítica para el paso lineal, conmutada con la solución del dominio de frecuencia para el paso no lineal, es ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}(\omega ,z+h)=\exp \left[{i\beta _{2} \over 2}(\omega -\omega _{0})^{2}h\right]{\tilde {A}}_{N}(\omega ,z).}$

Tomando la transformada inversa de Fourier de se obtiene ; el pulso se ha propagado así un pequeño paso . Repitiendo las veces anteriores, el pulso se puede propagar sobre una longitud de . ${\displaystyle {\tilde {A}}(\omega ,z+h)}$ ${\displaystyle A\left(t,z+h\right)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Nh}$

Lo anterior muestra cómo utilizar el método para propagar una solución hacia adelante en el espacio; sin embargo, muchas aplicaciones de la física, como el estudio de la evolución de un paquete de ondas que describe una partícula, requieren que se propague la solución hacia adelante en el tiempo en lugar de en el espacio. La ecuación no lineal de Schrödinger, cuando se utiliza para controlar la evolución temporal de una función de onda, adopta la forma

${\displaystyle i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{{\hbar }^{2} \over {2m}}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+\gamma |\psi |^{2}\psi =[{\hat {D}}+{\hat {N}}]\psi ,}$

donde describe la función de onda en la posición y el tiempo . Nótese que ${\displaystyle \psi (x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\hat {D}}=-{{\hbar }^{2} \over {2m}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}}$y , y esa es la masa de la partícula y es la constante de Planck reducida . ${\displaystyle {\hat {N}}=\gamma |\psi |^{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \hbar }$

La solución formal de esta ecuación es una exponencial compleja, por lo que tenemos que

${\displaystyle \psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)}$.

Puesto que y son operadores, en general no conmutan. Sin embargo, se puede aplicar la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para demostrar que el error de tratarlos como si lo hicieran será de orden si tomamos un paso de tiempo pequeño pero finito . Por lo tanto, podemos escribir ${\displaystyle {\hat {D}}}$ ${\displaystyle {\hat {N}}}$ ${\displaystyle dt^{2}}$ ${\displaystyle dt}$

${\displaystyle \psi (x,t+dt)\approx e^{-idt{\hat {D}}/\hbar }e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)}$.

La parte de esta ecuación que involucra se puede calcular directamente usando la función de onda en el tiempo , pero para calcular la exponencial que involucra usamos el hecho de que en el espacio de frecuencia, el operador de derivada parcial se puede convertir en un número sustituyendo por , donde es la frecuencia (o más apropiadamente, el número de onda, ya que estamos tratando con una variable espacial y, por lo tanto, transformando a un espacio de frecuencias espaciales, es decir, números de onda) asociado con la transformada de Fourier de lo que sea que se esté operando. Por lo tanto, tomamos la transformada de Fourier de ${\displaystyle {\hat {N}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {D}}}$ ${\displaystyle ik}$ ${\displaystyle \partial \over \partial x}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)}$,

recuperar el número de onda asociado, calcular la cantidad

${\displaystyle e^{idtk^{2}}}$,

y utilícelo para encontrar el producto de los exponenciales complejos que involucran y en el espacio de frecuencia como se muestra a continuación: ${\displaystyle {\hat {N}}}$ ${\displaystyle {\hat {D}}}$

${\displaystyle e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]}$,

donde denota una transformada de Fourier. Luego, realizamos la transformada de Fourier inversa de esta expresión para encontrar el resultado final en el espacio físico, lo que da como resultado la expresión final ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \psi (x,t+dt)=F^{-1}[e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]]}$.

Una variación de este método es el método de Fourier de pasos divididos simetrizado, que toma medio paso de tiempo utilizando un operador, luego toma un paso de tiempo completo solo con el otro y luego toma un segundo paso de medio tiempo nuevamente solo con el primero. Este método es una mejora con respecto al método de Fourier de pasos divididos genérico porque su error es del orden de un paso de tiempo . Las transformadas de Fourier de este algoritmo se pueden calcular relativamente rápido utilizando la transformada rápida de Fourier (FFT) . Por lo tanto, el método de Fourier de pasos divididos puede ser mucho más rápido que los métodos de diferencias finitas típicos . ^[5] ${\displaystyle dt^{3}}$ ${\displaystyle dt}$

Referencias

1. Erkintalo, Miro ; Sylvestre, Thibaut; Randle, Hamish G.; Coen, Stéphane (1 de enero de 2013). "Modelado de peines de frecuencia de Kerr que abarcan una octava utilizando un modelo de Lugiato-Lefever de campo medio generalizado". Optics Letters . 38 (1): 37–39. arXiv : 1211.1697 . Bibcode :2013OptL...38...37C. doi :10.1364/OL.38.000037. ISSN  1539-4794. PMID  23282830. S2CID  7248349.
2. Maleki, L.; Seidel, D.; Ilchenko, VS; Liang, W.; Savchenkov, AA; Matsko, AB (1 de agosto de 2011). "Peines de frecuencia Kerr bloqueados por modo". Optics Letters . 36 (15): 2845–2847. Bibcode :2011OptL...36.2845M. doi :10.1364/OL.36.002845. ISSN  1539-4794. PMID  21808332.
3. Hansson, Tobias; Wabnitz, Stefan (2016). "Dinámica de la generación de peines de frecuencia de microrresonadores: modelos y estabilidad" (PDF) . Nanophotonics . 5 (2): 231–243. Bibcode :2016Nanop...5...12H. doi : 10.1515/nanoph-2016-0012 . ISSN  2192-8606.
4. Agrawal, Govind P. (2001). Fibra óptica no lineal (3.ª ed.). San Diego, CA, EE. UU.: Academic Press. ISBN 0-12-045143-3.
5. TR Taha y MJ Ablowitz (1984). "Aspectos analíticos y numéricos de ciertas ecuaciones de evolución no lineal. II. Ecuación numérica no lineal de Schrödinger". J. Comput. Phys . 55 (2): 203–230. Bibcode :1984JCoPh..55..203T. doi :10.1016/0021-9991(84)90003-2.

Referencias externas

• Thomas E. Murphy, Software, http://www.photonics.umd.edu/software/ssprop/
• Andrés A. Rieznik, Software, http://www.freeopticsproject.org
• Prof. G. Agrawal, Software, http://www.optics.rochester.edu/workgroups/agrawal/grouphomepage.php?pageid=software
• Thomas Schreiber, Software, http://www.fiberdesk.com
• Edward J. Grace, Software, http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24016