Ecuación de Schrödinger no lineal

Forma no lineal de la ecuación de Schrödinger

Valor absoluto de la envolvente compleja de soluciones de respiración analíticas exactas de la ecuación no lineal de Schrödinger (NLS) en forma adimensional . (A) El respiro de Akhmediev; (B) el respirador peregrino ; (C) el respiradero Kuznetsov-Ma. ^[1]

En física teórica , la ecuación de Schrödinger no lineal (unidimensional) ( NLSE ) es una variación no lineal de la ecuación de Schrödinger . Es una ecuación de campo clásica cuyas principales aplicaciones son la propagación de la luz en fibras ópticas no lineales y guías de ondas planas ^[2] y a los condensados ​​de Bose-Einstein confinados a trampas altamente anisotrópicas en forma de cigarro , en el régimen de campo medio . ^{[3] Además, la ecuación aparece en los estudios de} ondas de gravedad de pequeña amplitud en la superficie de aguas profundas no viscosas (viscosidad cero); ^[2] las ondas de Langmuir en plasmas calientes ; ^[2] la propagación de haces de ondas difractadas en planos en las regiones de enfoque de la ionosfera; ^[4] la propagación de los solitones de hélice alfa de Davydov , que son responsables del transporte de energía a lo largo de cadenas moleculares; ^[5] y muchos otros. De manera más general, el NLSE aparece como una de las ecuaciones universales que describen la evolución de paquetes de ondas cuasi monocromáticas que varían lentamente en medios débilmente no lineales que tienen dispersión . ^{[2] A diferencia de la} ecuación lineal de Schrödinger , la NLSE nunca describe la evolución temporal de un estado cuántico. ^{[ cita necesaria ]} El 1D NLSE es un ejemplo de un modelo integrable .

En mecánica cuántica , el NLSE 1D es un caso especial del campo de Schrödinger no lineal clásico , que a su vez es un límite clásico de un campo de Schrödinger cuántico. Por el contrario, cuando el campo de Schrödinger clásico se cuantifica canónicamente , se convierte en una teoría cuántica de campos (que es lineal, a pesar de que se llama ″ecuación cuántica de Schrödinger no lineal ″) que describe partículas puntuales bosónicas con interacciones de función delta: las partículas Se repelen o atraen cuando están en el mismo punto. De hecho, cuando el número de partículas es finito, esta teoría cuántica de campos es equivalente al modelo de Lieb-Liniger . Tanto las ecuaciones de Schrödinger cuánticas como las clásicas 1D no lineales son integrables. De especial interés es el límite de la repulsión de fuerza infinita, en cuyo caso el modelo de Lieb-Liniger se convierte en el gas Tonks-Girardeau (también llamado gas Bose de núcleo duro o gas Bose impenetrable). En este límite, los bosones pueden, mediante un cambio de variables que es una generalización continua de la transformación de Jordan-Wigner , transformarse en un sistema unidimensional de fermiones sin espín ^{[nb 1]} que no interactúan . ^[6]

La ecuación de Schrödinger no lineal es una forma simplificada de 1+1 dimensiones de la ecuación de Ginzburg-Landau introducida en 1950 en su trabajo sobre superconductividad, y fue escrita explícitamente por RY Chiao, E. Garmire y CH Townes (1964, ecuación (5 )) en su estudio de haces ópticos.

La versión multidimensional reemplaza la segunda derivada espacial por la laplaciana. En más de una dimensión, la ecuación no es integrable, permite un colapso y turbulencia de olas. ^[7]

Ecuación

La ecuación de Schrödinger no lineal es una ecuación diferencial parcial no lineal , aplicable a la mecánica clásica y cuántica .

ecuación clásica

La ecuación de campo clásica (en forma adimensional ) es: ^[8]

Ecuación de Schrödinger no lineal (teoría clásica de campos)

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-{1 \over 2}\partial _{x}^{2}\psi +\kappa |\psi |^{2}\psi }$

para el campo complejo ψ ( x , t ).

Esta ecuación surge del hamiltoniano ^[8]

${\displaystyle H=\int \mathrm {d} x\left[{1 \over 2}|\partial _{x}\psi |^{2}+{\kappa \over 2}|\psi |^{4}\right]}$

con los corchetes de Poisson

${\displaystyle \{\psi (x),\psi (y)\}=\{\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)\}=0\,}$

${\displaystyle \{\psi ^{*}(x),\psi (y)\}=i\delta (x-y).\,}$

A diferencia de su contraparte lineal, nunca describe la evolución temporal de un estado cuántico. ^{[ cita necesaria ]}

El caso con κ negativo se llama enfoque y permite soluciones de solitones brillantes (localizadas en el espacio y con atenuación espacial hacia el infinito), así como soluciones de respiración . Puede resolverse exactamente mediante el uso de la transformada de dispersión inversa , como lo muestran Zakharov y Shabat (1972) (ver más abajo). El otro caso, con κ positivo, es el NLS desenfocado que tiene soluciones de solitones oscuros (que tienen una amplitud constante en el infinito y una caída espacial local en la amplitud). ^[9]

Mecánica cuántica

Para obtener la versión cuantificada , simplemente reemplace los soportes de Poisson por conmutadores.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\psi (x),\psi (y)]&=[\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)]=0\\{}[\psi ^{*}(x),\psi (y)]&=-\delta (x-y)\end{aligned}}}$

y orden normal el hamiltoniano

${\displaystyle H=\int dx\left[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{\dagger }\partial _{x}\psi +{\kappa \over 2}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi \right].}$

La versión cuántica fue resuelta por Bethe ansatz de Lieb y Liniger . La termodinámica fue descrita por Chen-Ning Yang . Korepin también evaluó las funciones de correlación cuántica en 1993. ^[6] El modelo tiene leyes de conservación más altas: Davies y Korepin en 1989 las expresaron en términos de campos locales. ^[10]

Resolviendo la ecuación

La ecuación de Schrödinger no lineal es integrable en 1d: Zakharov y Shabat (1972) la resolvieron con la transformada de dispersión inversa . El correspondiente sistema lineal de ecuaciones se conoce como sistema Zakharov-Shabat:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{x}&=J\phi \Lambda +U\phi \\\phi _{t}&=2J\phi \Lambda ^{2}+2U\phi \Lambda +\left(JU^{2}-JU_{x}\right)\phi ,\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\quad J=i\sigma _{z}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad U=i{\begin{pmatrix}0&q\\r&0\end{pmatrix}}.}$

La ecuación de Schrödinger no lineal surge como condición de compatibilidad del sistema Zakharov-Shabat:

${\displaystyle \phi _{xt}=\phi _{tx}\quad \Rightarrow \quad U_{t}=-JU_{xx}+2JU^{2}U\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}iq_{t}=q_{xx}+2qrq\\ir_{t}=-r_{xx}-2qrr.\end{cases}}}$

Al establecer q = r * o q = − r * se obtiene la ecuación de Schrödinger no lineal con interacción atractiva o repulsiva.

Un enfoque alternativo utiliza directamente el sistema Zakharov-Shabat y emplea la siguiente transformación de Darboux:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi \to \phi [1]&=\phi \Lambda -\sigma \phi \\U\to U[1]&=U+[J,\sigma ]\\\sigma &=\varphi \Omega \varphi ^{-1}\end{aligned}}}$

lo que deja al sistema invariante.

Aquí, φ es otra solución matricial invertible (diferente de ϕ ) del sistema Zakharov-Shabat con parámetro espectral Ω:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{x}&=J\varphi \Omega +U\varphi \\\varphi _{t}&=2J\varphi \Omega ^{2}+2U\varphi \Omega +\left(JU^{2}-JU_{x}\right)\varphi .\end{aligned}}}$

Partiendo de la solución trivial U = 0 e iterando se obtienen las soluciones con n solitones .

La ecuación NLS es una ecuación diferencial parcial como la ecuación de Gross-Pitaevskii . Generalmente no tiene solución analítica y para su solución se utilizan los mismos métodos numéricos utilizados para resolver la ecuación de Gross-Pitaevskii, como los métodos de paso dividido de Crank-Nicolson ^[11] y el espectral de Fourier ^{[12] .} Existen diferentes programas en Fortran y C para su solución. ^{[13] [14]}

invariancia galileana

La ecuación de Schrödinger no lineal es invariante galileana en el siguiente sentido:

Dada una solución ψ ( x, t ), se puede obtener una nueva solución reemplazando x con x + vt en todas partes de ψ ( x, t ) y agregando un factor de fase de : ${\displaystyle e^{-iv(x+vt/2)}\,}$

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[v]}(x,t)=\psi (x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)}.}$

La ecuación de Schrödinger no lineal en fibra óptica

En óptica , la ecuación de Schrödinger no lineal se da en el sistema de Manakov , un modelo de propagación de ondas en fibra óptica. La función ψ representa una onda y la ecuación de Schrödinger no lineal describe la propagación de la onda a través de un medio no lineal. La derivada de segundo orden representa la dispersión, mientras que el término κ representa la no linealidad. La ecuación modela muchos efectos de no linealidad en una fibra, incluidos, entre otros, la modulación de fase propia , la mezcla de cuatro ondas , la generación de segundos armónicos , la dispersión Raman estimulada , los solitones ópticos , los pulsos ultracortos , etc.

La ecuación de Schrödinger no lineal en ondas de agua.

Un solitón de envoltura secante hiperbólica (sech) para ondas superficiales en aguas profundas.
Línea azul: ondas de agua.
Línea roja: solitón envolvente.

Para las ondas de agua , la ecuación de Schrödinger no lineal describe la evolución de la envolvente de los grupos de ondas moduladas . En un artículo de 1968, Vladimir E. Zakharov describe la estructura hamiltoniana de las ondas del agua. En el mismo artículo, Zakharov muestra que para grupos de ondas lentamente moduladas, la amplitud de la onda satisface aproximadamente la ecuación no lineal de Schrödinger. ^[15] El valor del parámetro de no linealidad к depende de la profundidad relativa del agua. Para aguas profundas, con una profundidad de agua grande en comparación con la longitud de onda de las ondas del agua, к es negativo y pueden ocurrir solitones envolventes . Además, la velocidad de grupo de estos solitones envolventes podría aumentar mediante una aceleración inducida por un flujo de agua externo dependiente del tiempo. ^[dieciséis]

Para aguas poco profundas, con longitudes de onda superiores a 4,6 veces la profundidad del agua, el parámetro de no linealidad к es positivo y no existen grupos de olas con solitones envolventes . En aguas poco profundas , existen solitones u ondas de traslación de elevación de la superficie , pero no se rigen por la ecuación no lineal de Schrödinger.

Se cree que la ecuación no lineal de Schrödinger es importante para explicar la formación de ondas rebeldes . ^[17]

El campo complejo ψ , tal como aparece en la ecuación no lineal de Schrödinger, está relacionado con la amplitud y la fase de las ondas del agua. Considere una onda portadora de modulación lenta con una elevación de la superficie del agua η de la forma:

${\displaystyle \eta =a(x_{0},t_{0})\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\omega _{0}\,t_{0}-\theta (x_{0},t_{0})\right],}$

donde a ( x ₀ , t ₀ ) y θ ( x ₀ , t ₀ ) son la amplitud y la fase lentamente moduladas . Además, ω ₀ y k _{0 son la} frecuencia angular (constante) y el número de onda de las ondas portadoras, que deben satisfacer la relación de dispersión ω ₀ = Ω( k ₀ ). Entonces

${\displaystyle \psi =a\;\exp \left(i\theta \right).}$

Entonces su módulo | ψ | es la amplitud de la onda a , y su argumento arg( ψ ) es la fase θ .

La relación entre las coordenadas físicas ( x ₀ , t ₀ ) y las coordenadas ( x, t ), tal como se usan en la ecuación no lineal de Schrödinger dada anteriormente, está dada por:

${\displaystyle x=k_{0}\left[x_{0}-\Omega '(k_{0})\;t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{2}\left[-\Omega ''(k_{0})\right]\;t_{0}}$

Por lo tanto ( x, t ) es un sistema de coordenadas transformado que se mueve con la velocidad de grupo Ω'( k ₀ ) de las ondas portadoras. La curvatura de la relación de dispersión Ω"( k ₀ ), que representa la dispersión de la velocidad del grupo , siempre es negativa para las ondas de agua. bajo la acción de la gravedad, para cualquier profundidad de agua.

Para las olas en la superficie del agua en aguas profundas, los coeficientes de importancia para la ecuación de Schrödinger no lineal son:

${\displaystyle \kappa =-2k_{0}^{2},\quad \Omega (k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega _{0}\,\!}$  entonces  ${\displaystyle \Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}}},\quad \Omega ''(k_{0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}$

donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra.

En las coordenadas originales ( x ₀ , t ₀ ), la ecuación de Schrödinger no lineal para ondas de agua dice: ^[18]

${\displaystyle i\,\partial _{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial _{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2}}\Omega ''(k_{0})\,\partial _{x_{0}x_{0}}A-\nu \,|A|^{2}\,A=0,}$

con (es decir, el conjugado complejo de ) y So para ondas de aguas profundas. ${\displaystyle A=\psi ^{*}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).}$ ${\displaystyle \nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}}$

Contraparte equivalente de calibre

NLSE (1) es un calibre equivalente a la siguiente ecuación isotrópica de Landau-Lifshitz (LLE) o ecuación del ferromagneto de Heisenberg

${\displaystyle {\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.\qquad }$

Tenga en cuenta que esta ecuación admite varias generalizaciones integrables y no integrables en 2 + 1 dimensiones como la ecuación de Ishimori , etc.

Formulación de curvatura cero

El NLSE equivale a que la curvatura de una determinada conexión sea igual a cero. ^[19] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Explícitamente, con coordenadas en , los componentes de la conexión están dados por ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

$${\displaystyle A_{x}={\begin{pmatrix}i\lambda &i\varphi ^{*}\\i\varphi &-i\lambda \end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle A_{t}={\begin{pmatrix}2i\lambda ^{2}-i|\varphi |^{2}&2i\lambda \varphi ^{*}+\varphi _{x}^{*}\\2i\lambda \varphi -\varphi _{x}&-2i\lambda ^{2}+i|\varphi |^{2}\end{pmatrix}}}$$

matrices de Pauli ${\displaystyle \sigma _{i}}$

$${\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0}$$

es equivalente a la NLSE . La ecuación de curvatura cero se llama así porque corresponde a que la curvatura sea igual a cero si está definida . ${\displaystyle i\varphi _{t}+\varphi _{xx}+2|\varphi |^{2}\varphi =0}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}$

El par de matrices y también se conocen como par Lax para el NLSE, en el sentido de que la ecuación de curvatura cero recupera la PDE en lugar de satisfacer la ecuación de Lax. ${\displaystyle A_{x}}$ ${\displaystyle A_{t}}$

Relación con los vórtices

Hasimoto (1972) demostró que el trabajo de da Ríos  (1906) sobre filamentos de vórtice está estrechamente relacionado con la ecuación no lineal de Schrödinger. Posteriormente, Salman (2013) utilizó esta correspondencia para demostrar que también pueden surgir soluciones de respiración para un filamento de vórtice.

Ver también

• sistema AKNS
• ecuación de eckhaus
• Interacción cuartica para un modelo relacionado en la teoría cuántica de campos.
• Solitón (óptica)
• Ecuación logarítmica de Schrödinger

Notas

1. Una posible fuente de confusión aquí es el teorema de la estadística de espín , que exige que los fermiones tengan un espín semientero; sin embargo, es un teorema de las teorías relativistas de campos cuánticos de 3+1 dimensiones y, por lo tanto, no es aplicable en este caso 1D no relativista.

Referencias

Notas

1. Figura 1 de: Onorato, M.; Promento, D.; Clauss, G .; Klein, M. (2013), "Olas rebeldes: de las soluciones de respiración Schrödinger no lineales a la prueba de mantenimiento del mar", PLOS ONE , 8 (2): e54629, Bibcode :2013PLoSO...854629O, doi : 10.1371/journal.pone. 0054629 , PMC  3566097 , PMID  23405086
2. Malomed, Boris (2005), "Ecuaciones de Schrödinger no lineales", en Scott, Alwyn (ed.), Encyclopedia of Nonlinear Science , Nueva York: Routledge, págs.
3. Pitaevskii, L.; Stringari, S. (2003), Condensación de Bose-Einstein , Oxford, Reino Unido: Clarendon
4. Gurevich, AV (1978), Fenómenos no lineales en la ionosfera , Berlín: Springer
5. Balakrishnan, R. (1985). "Propagación de solitones en medios no uniformes". Revisión física A. 32 (2): 1144-1149. Código bibliográfico : 1985PhRvA..32.1144B. doi :10.1103/PhysRevA.32.1144. PMID  9896172.
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Otro

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• da Rios, Luigi Sante (1906), "Sul moto d'un liquido indefinito con un filetto vorticoso di forma qualunque", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo (en italiano), 22 : 117–135, doi :10.1007/BF03018608, JFM  37.0764.01, S2CID  120549348
• Hasimoto, Hidenori (1972), "Un solitón sobre un filamento de vórtice", Journal of Fluid Mechanics , 51 (3): 477–485, Bibcode :1972JFM....51..477H, doi :10.1017/S0022112072002307, S2CID  123315958
• Salman, Hayder (2013), "Respiradores en vórtices de superfluidos cuantificados", Phys. Rev. Lett. , 111 (16): 165301, arXiv : 1307.7531 , Bibcode : 2013PhRvL.111p5301S, doi : 10.1103/PhysRevLett.111.165301, PMID  24182275, S2CID  25062555
• Zakharov, VE; Shabat, AB (1972), "Teoría exacta del autoenfoque bidimensional y la automodulación unidimensional de ondas en medios no lineales", Journal of Experimental and Theoretical Physics , 34 (1): 62–69, Bibcode :1972JETP ...34...62Z, MR  0406174, archivado desde el original el 7 de marzo de 2016 , consultado el 11 de mayo de 2013

enlaces externos

• "Sistemas de Schrodinger no lineales". Scholarpedia .
• Conferencia tutorial sobre la ecuación de Schrodinger no lineal (vídeo).
• Ecuación de Schrodinger no lineal con no linealidad cúbica en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Schrodinger no lineal con una no linealidad de ley de potencia en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Schrodinger no lineal de forma general en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Aspectos matemáticos de la ecuación de Schrödinger no lineal en Dispersive Wiki